Mittarin invarianssi

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 2. toukokuuta 2022 tarkistetusta versiosta . vahvistus vaatii 1 muokkauksen .

Mittariinvarianssi on fyysisen kentän teoriaennusteiden invarianssi suhteessa (paikallisiin) mittarimuunnoksiin — koordinaateista riippuvaisiin kenttämuunnoksiin, jotka kuvaavat siirtymää kantojen välillä tämän kentän sisäisten symmetrioiden avaruudessa.

Mittarin invarianssi määritettiin ensimmäisen kerran klassisessa sähködynamiikassa . Kentän globaali (koordinaatista riippumaton) mittarin invarianssi Noetherin lauseen nojalla johtaa tämän kentän varauksen säilymislakiin (erityisesti sähködynamiikan osalta sähkövarauksen säilymislakiin ). Varautuneiden kenttien paikallinen (koordinaateista riippuvainen) mittainvarianssi teorian dynaamisten yhtälöiden säilyttämiseksi edellyttää uusien, ns. mittarikenttien käyttöönottoa.

Mittarin invarianssin vaatimus on yksi alkeishiukkasfysiikan keskeisistä säännöksistä . Mittarin invarianssin avulla on mahdollista kuvata sähkömagneettista , heikkoa ja voimakasta vuorovaikutusta itsestään yhtenäisellä tavalla standardimallissa . Erityisesti sähkömagneettinen kenttä "näkyy" jossain kvanttikenttäteoriassa teorian Lagrangian paikallismittarin invarianssin lisävaatimuksen alla. Tämän periaatteen mukaan on mahdollista "päätellä" kvanttielektrodynamiikan (QED) Lagrangian Dirac-kentän (elektronikenttä tai elektroni-positronikenttä) Lagrangian perusteella.

Symmetria fysiikassa
muunnos	Vastaava invarianssi	Vastaava suojelulaki _
↕ Lähetysaika _	Ajan yhtenäisyys	…energiaa
⊠ C , P , CP ja T - symmetriat	Ajan isotropia	... pariteetti
↔ Lähetystila _	Avaruuden homogeenisuus	…impulssi
↺ Avaruuden kierto	Avaruuden isotropia	… vauhtia
⇆ Lorentz-ryhmä (tehostaa)	Suhteellisuusteoria Lorentzin kovarianssi	… massakeskuksen liikkeet
~ Mittarimuunnos	Mittarin invarianssi	... veloittaa

Klassisessa sähködynamiikassa

Antaa olla mielivaltainen koordinaattien ja ajan skalaarifunktio . Sitten jos muutamme potentiaalia seuraavasti: $f=f(x,y,z,t)$

\varphi '=\varphi -{\frac {1}{c}}{\frac {\partial f}{\partial t)),\qquad \mathbf {A} '=\mathbf {A} + \nabla f,

missä φ ja A ovat skalaari- ja vektoripotentiaalit,

silloin järjestelmän todellinen havaittu käyttäytyminen ei muutu.

Tämä on ilmeistä siitä tosiasiasta, että sähkö- ja magneettikenttien arvot pysyvät samoina tällaisessa muutoksessa. $\mathbf {E}$ $\mathbf {B}$

Kompleksiluvun vaiheriippumattomuus

Yksinkertaistettuna mittarin invarianssin perusidea voidaan selittää seuraavasti. Kvanttimekaniikan fyysistä järjestelmää kuvaava pääominaisuus , aaltofunktio , on kompleksisuure . Kuitenkin kaikki havaittavissa olevat suureet, jotka on konstruoitu bilineaarisina aaltofunktioiden yhdistelminä, osoittautuvat todellisiksi (kuten sen pitääkin olla - konkreettisessa maailmassamme kaikki suuret ovat todellisia). Tuloksena käy ilmi, että mikään teorian ennusteissa ei muutu, jos aaltofunktiot kerrotaan kompleksiluvulla, joka on absoluuttisesti yhtä suuri kuin yksi - . (Adjoint-funktio kerrotaan vastaavasti konjugaatin kompleksiluvulla). Tämä on aivan luonnollista: kompleksiluvun vaiheen itseisarvo on mielivaltainen asia, eikä sen pitäisi vaikuttaa teorian ennusteisiin. $e^{{i\alpha}}$

Siten kvanttimekaniikka on muuttumaton globaaleilla vaihekierroilla , joita kutsutaan muuten globaaleiksi mittarimuunnoksiksi .

Ajatus mittarin invarianssista

Onko kvanttimekaniikka invarianttia suhteessa paikallisiin vaihekiertoihin ( paikallinen mittarimuunnos )? Toisin sanoen, muuttuuko mikään, jos käännämme aaltofunktiota yhdessä pisteessä yhteen vaiheeseen ja toisessa pisteessä toiseen? Kyllä, se muuttuu. Erityisesti on ilmeistä, että Schrödingerin yhtälön oikea puoli muuttuu, ja lähes mielivaltaisella tavalla, ja siten järjestelmän kehitys ajassa. Toisin sanoen vapaan hiukkasen kvanttimekaniikka osoittautuu ei-invariantiksi paikallisten vaihekiertojen suhteen. ${\displaystyle e^{i\alpha (\mathbf {x} )))$

Onko invarianssin palauttaminen mahdollista? Kyllä sinä voit. Tätä varten on kuitenkin tarpeen ottaa käyttöön uusi fyysinen kenttä , joka "tuntea" sisätilan, jossa tuotamme vaihekiertoja. Tämän seurauksena paikallisten vaihekiertojen aikana sekä aaltofunktiot että uusi kenttä muuntuvat lisäksi siten, että näiden vaihekiertojen aiheuttamat yhtälöiden muutokset kompensoivat, "kalibroivat" toisiaan. Toisin sanoen kvanttimekaniikasta, jossa on uusi lisäkenttä, on tullut mittarin invariantti.

Jos nyt tutkimme uuden kentän ominaisuuksia, se muistuttaa sähkömagneettista kenttää , jota havaitsemme maailmassamme. Erityisesti tämän kentän vuorovaikutus aineen kanssa osuu juuri yhteen sähkömagneettisen kentän vuorovaikutuksen kanssa. Siksi on aivan luonnollista tunnistaa nämä kaksi kenttää teoriaa rakennettaessa.

Näin ollen mittarin invarianssin vaatimus osoittautui odottamattoman käteväksi tavaksi tuoda sähkömagneettinen kenttä myös teoriaan. Sitä ei tarvinnut tarkastella erikseen, se ilmestyi teoriassa melkein "itsekseen".

Mittarikentät vakiomallin perustana

G. Weil ehdotti ensimmäisen yhtenäisen gravitaatio- ja sähkömagneettisten kenttien teorian, joka perustuu mittarin invarianssiin . Moderni mittarikenttien teoria kehittää ja yleistää hänen ajatuksiaan [1] , jotka perustuvat monimutkaisemman muodon mittamuunnoksiin, jotka ovat vastuussa muuttumattomuudesta jossain monimutkaisemmassa sisäisten vapausasteiden tilassa.

Esimerkiksi väriavaruuden kvarkkikiertojen invarianssi johtaa siihen, että voimakkaita vuorovaikutuksia voidaan kuvata myös mittarikentiksi. Heikkoa vuorovaikutusta ei voida kuvata erikseen mittausvuorovaikutuksiksi, mutta on olemassa odottamattoman tyylikäs menetelmä kuvata sähkömagneettista ja heikkoa vuorovaikutusta samanaikaisesti kahdeksi erilaiseksi ilmentymäksi tietyn mittarin sähköheikon kentästä.

Siten kaikki perusvuorovaikutukset johdetaan mittarin invarianssin perusteella. Fysikaalisen teorian rakentamisen kannalta tämä on erittäin taloudellinen ja onnistunut järjestelmä.

Gravitaatiovuorovaikutus erottuu toisistaan. Se osoittautuu myös mittarikentäksi, ja yleinen suhteellisuusteoria on juuri gravitaatiovuorovaikutuksen mittariteoria. Se on kuitenkin ensinnäkin muotoiltu, ei kvanttitasolla, eikä vieläkään ole selvää, kuinka se kvantisoidaan tarkasti, ja toiseksi tila, jossa pyöritykset suoritetaan, on meidän neliulotteinen aika-avaruus , ei sisäinen. vuorovaikutuksen symmetria-avaruus.

Historia

Varhaisin mittasymmetriaa sisältävä kenttäteoria oli Maxwellin klassisen sähködynamiikan formulaatio vuosina 1864-1865, jossa todettiin, että mikään vektorikenttä, jonka roottori katoaa, ei muutu, kun funktion gradientti lisätään, toisin sanoen tällaiselle lisäykselle. vektoripotentiaaliin ei muuta magneettikenttää [2] . Tämän symmetrian merkitys jäi huomaamatta varhaisimmista formulaatioista. Samoin hiljaa Hilbert johti Einsteinin kenttäyhtälöt olettamalla toiminnan invarianssia yleisellä koordinaattimuunnolla. Myöhemmin Hermann Weyl , yrittäessään yhdistää yleisen suhteellisuusteorian ja sähkömagnetismin , ehdotti, että invarianssi uudelleenskaalaus (tai "mittari") on myös yleisen suhteellisuusteorian paikallinen symmetria [3] . Kvanttimekaniikan kehittämisen jälkeen Weil, Vladimir Fock ja Fritz London muuttivat mittaa korvaamalla skaalaustekijän monimutkaisella suurella ja muuttivat asteikkomuunnoksen vaihemuutokseksi - tämä on U(1)-mittarin symmetria. Tämä selitti sähkömagneettisen kentän vaikutuksen varautuneen perushiukkasen aaltofunktioon . Tämä oli ensimmäinen laajalti hyväksytty mittariteoria, jonka Pauli teki suosituksi vuonna 1941 [4] .

Vuonna 1954 pyrkiessään ratkaisemaan suuren sekaannuksen hiukkasfysiikassa Zhenning Yang ja Robert Mills esittelivät ei-Abelin mittausteorian mallina ymmärtämään vahvaa voimaa, joka pitää nukleoneja yhdessä atomiytimissä [5] . ( Abdus Salamin alaisuudessa työskentelevä Ronald Shaw esitteli käsitteen itsenäisesti väitöskirjassaan.) Yleistäen sähkömagnetismin mittarin invarianssia, he yrittivät rakentaa teorian, joka perustuu (ei-Abelin) symmetriaryhmän SU(2) toimintaan. protonien ja neutronien isospin - dupletti . Tämä on samanlainen kuin U(1 ) -ryhmän toiminta spinorikentillä kvanttielektrodynamiikassa . Hiukkasfysiikassa on painotettu kvantisoitujen mittarien teorioiden käyttöä.

Myöhemmin tätä ajatusta sovellettiin heikon vuorovaikutuksen kvanttikenttäteoriassa ja sen yhdistelmässä sähkömagnetismin kanssa sähköheikon teoriassa. Mittariteoriat tulivat entistä houkuttelevammiksi, kun kävi ilmi, että ei-abelilaiset mittariteoriat toistavat ominaisuuden, jota kutsutaan asymptoottiseksi vapaudeksi , jota pidettiin vahvan vuorovaikutuksen tärkeänä ominaisuutena. Tämä sai aikaan voimakkaan vuorovaikutuksen mittariteorian etsimisen. Tämä teoria, joka nyt tunnetaan nimellä kvanttikromodynamiikka , on mittariteoria, jossa on SU(3)-ryhmän vaikutus kvarkin väritriplettiin . Standardimalli yhdistää sähkömagnetismin, heikon vuorovaikutuksen ja voimakkaan vuorovaikutuksen kuvauksen mittariteorian kielellä.

1970-luvulla Michael Atiyah alkoi tutkia klassisten Yang-Mills- yhtälöiden ratkaisumatematiikkaa . Vuonna 1983 Atiyahin oppilas Simon Donaldson osoitti tähän työhön pohjautuen, että tasaisten 4 - monistojen erottuva luokittelu eroaa suuresti niiden luokittelusta homeomorfiaan asti [6] . Michael Friedman käytti Donaldsonin työtä näyttääkseen eksoottisia rakenteita R4 : ssä , eli eksoottisia erilaistuvia rakenteita euklidisessa 4 -avaruudessa. Tämä johti kasvavaan kiinnostukseen mittariteoriaa kohtaan sellaisenaan riippumatta sen edistymisestä perusfysiikassa. Vuonna 1994 Edward Witten ja Nathan Seiberg keksivät supersymmetriaan perustuvia mittariteoreettisia menetelmiä , jotka mahdollistivat joidenkin topologisten invarianttien laskemisen [7] [7] ( Seiberg-Wittenin invariantit ). Tämä mittariteorian panos matematiikkaan on johtanut uuteen kiinnostukseen alaa kohtaan.

Mittariteorioiden tärkeyttä fysiikassa havainnollistaa matemaattisen formalismin valtava menestys luomalla yhtenäiset puitteet kvanttikenttäteorioiden kuvaamiselle : sähkömagnetismi , heikko vuorovaikutus ja vahva vuorovaikutus . Tämä teoria, joka tunnetaan nimellä standardimalli , kuvaa tarkasti kokeellisia ennusteita kolmesta luonnon neljästä perusvoimasta, ja se on mittariteoria, jonka mittaryhmä on SU(3) × SU(2) × U(1) . Nykyaikaiset teoriat, kuten merkkijonoteoria , sekä yleinen suhteellisuusteoria ovat tavalla tai toisella mittariteorioita.

Katso Pickering [8] saadaksesi lisätietoja mittari- ja kvanttikenttäteorioiden historiasta.

Globaali ulottuman symmetria U(1)

Noetherin lauseen mukaan toiminnan muuttumattomuus jonkin jatkuvan symmetriaoperaation (-ryhmän) suhteen johtaa vastaavaan säilymislakiin [9] . Myös käänteinen väite, että jokaisella säilyneellä suurella on oma symmetriansa, pitää paikkansa, mikä voidaan havaita sähkövarauksen säilymisen esimerkissä [10] . Olkoon kahden todellisen vapaan skalaarikentän järjestelmän Lagrangian muotoinen [ 11] $\phi _{1}$ $\phi _{2}$

{\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}(\partial _{\mu }\phi _{1})(\partial ^{\mu }\phi _{1} )-{\frac {1}{2}}m^{2}\phi _{1}^{2}+{\frac {1}{2}}(\partial _{\mu }\phi _{ 2})(\partial ^{\mu }\phi _{2})-{\frac {1}{2}}m^{2}\phi _{2}^{2}\,,

( 1.1 )

niin näitä kahta kenttää voidaan muodollisesti tarkastella kaksiulotteisessa isotooppiavaruudessa, jonka yksikkövektorit ovat muodossa $({\vec {i)),{\vec {j)))$

{\vec {\phi }}=\phi _{1}{\vec {i}}+\phi _{2}{\vec {j}}\,.

( 1.2 )

Tämä esitys mahdollistaa mittarin muunnoksen geometrisen merkityksen paljastamisen. Tässä tapauksessa Lagrangian (1.1) saa yksinkertaisen muodon

{\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}(\partial _{\mu }{\vec {\phi }})(\partial ^{\mu }{\vec { \phi )))-{\frac {1}{2}}m^{2}{\vec {\phi }}\cdot {\vec {\phi }}\,,

( 1.3 )

joka ei muutu mittarin muunnoksissa

{\begin{aligned}\phi _{1}^{'}&=\phi _{1}\cos \alpha +\phi _{2}\sin \alpha \,,\\\phi _ {2}^{'}&=-\phi _{1}\sin \alpha +\phi _{2}\cos \alpha \,.\end{aligned}}

( 1.4 )

Tällainen kierto isotooppiavaruudessa kulman läpi on kaksiulotteisten rotaatioiden ortogonaalisen ryhmän O(2) tai sille isomorfisen ryhmän U(1) elementti, ei muuta järjestelmän (1.3) Lagrangea [11] . . Jos tarkastellaan näitä kenttiä kompleksisten kenttien parina, niin Lagrangin (1.1) voidaan kirjoittaa muodossa [12] $\alpha$ $\phi =(\phi _{1}+i\phi _{2})/{\sqrt {2)),\,\phi ^{*}=(\phi _{1}-i\ phi _{2})/{\sqrt {2}}\,,$

{\mathcal {L}}=(\partial _{\mu }\phi )(\partial ^{\mu }\phi ^{*})-m^{2}\phi ^{*}\ phi\,,

( 1.5 )

ja monimutkaisten kenttien mittarimuunnos muuttuu

\phi _{1}^{'}+i\phi _{2}^{'}=e^{-i\alpha }(\phi _{1}+i\phi _{2}) ,\,\phi _{1}^{'}-i\phi _{2}^{'}=e^{i\alpha }(\phi _{1}-i\phi _{2})\ ,.

( 1.6 )

Tällä symmetrialla on globaali luonne, koska se ei vaikuta aika-avaruuskoordinaatteihin [12] [10] .

Paikallismittarin symmetria

Herää kysymys, onko mahdollista korvata globaali symmetria paikallisella eli aika-avaruuden pisteestä riippuen , mutta samalla Lagrangin ominaisuudet säilyvät. Osoittautuu, että Lagrange muuttaa muotoaan funktion ylimääräisten derivaattojen vuoksi [11] . Lagrangia on kuitenkin mahdollista muuttaa siten, että se säilyy paikallisten raidemuutosten vaikutuksesta. Tätä varten otetaan käyttöön uusi vektorikenttä, joka on vuorovaikutuksessa Noether-virran kanssa. Lagrangian lisäyksellä (1.5) on muoto $\phi (x)\rightarrow e^{-i\alpha (x)}\phi (x),\,\phi ^{*}(x)\rightarrow e^{i\alpha (x)} \phi ^{*}(x)$ $\alpha(x)$ $A_{{\mu ))$

{\mathcal {L_{1))}=-ie(\phi ^{*}\partial ^{\mu }\phi -\phi \partial ^{\mu }\phi ^{*})A_ {\mu }\,,

( 1.7 )

missä on dimensioton kytkentävakio [13] . Tämä johtaa siihen, että Lagrangian vaihtelu vaikuttaa kaikkien kenttien tuloksiin, ja päästäkseen eroon siitä otetaan käyttöön vielä yksi termi $e$

{\mathcal {L_{2}}}=e^{2}A_{\mu }A^{\mu }\phi ^{*}\phi \,,

( 1.8 )

joka palauttaa täysin uuden Lagrangian mittarin invarianssin [13] . Koska käyttöönotetun vektorikentän on myös annettava ilmainen panos Lagrangian, sille otetaan käyttöön 4-ulotteinen kenttäroottori vakiokaavan mukaisesti - tämä on sähkömagneettisen kentän voimakkuuden tensori. Kun lisäykset (1.5) , (1.7) ja (1.8) vapaan vektorikentän Lagrangiaan lisätään, saadaan kompleksisen skalaarikentän sähködynamiikan Lagrange [14] : ${\mathcal {L}}+{\mathcal {L_{1}}}+{\mathcal {L_{2}}}\,$ $A_{{\mu ))$ $F_{{\mu \nu }}=\osittainen _{{\mu }}A_{{\nu }}-\osittainen _{{\nu }}A_{{\mu }}$ $\phi$

{\mathcal {L}}_{tot}=(\partial _{\mu }\phi )(\partial ^{\mu }\phi ^{*})-m^{2}\phi ^ {*}\phi -ie(\phi ^{*}\partial ^{\mu }\phi -\phi \partial ^{\mu }\phi ^{*})A_{\mu }+e^{2 }A_{\mu }A^{\mu }\phi ^{*}\phi -{\frac {1}{16\pi }}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }\, ,

( 1.9 )

jossa kenttä vastaa sähkövarausta ja kompleksikenttä vastaa päinvastaisen etumerkin omaavaa varausta Tätä lähestymistapaa sähkömagneettisen vuorovaikutuksen käyttöönotossa käytti Weil 1900-luvun 20-luvulla [15] . $\phi$ $e,$ $\phi ^{*}$ $-e.$

Mittarisymmetria osoittautui liittyvän vuorovaikutuksen muotoon [15] . Symmetria määrittää myös yksiselitteisesti hiukkasten vuorovaikutuksen dynamiikan. Paikallismittarin symmetrian käsitettä voidaan soveltaa kvarkeihin ja se auttaa rakentamaan teoriaa vahvoista vuorovaikutuksista [10] .

Katso myös

Muistiinpanot

↑ Uchiyama, 1986 , s. 174.
↑ Vizgin, 1985 , s. 261.
↑ Vizgin, 1985 , s. 265.
↑ Pauli, Wolfgang (1941). "Alkuainehiukkasten relativistiset kenttäteoriat". Rev. Mod. Phys . 13 (3): 203-32. Bibcode : 1941RvMP...13..203P . DOI : 10.1103/revmodphys.13.203 .
↑ Yang CN, Mills RL (1954). "Isotooppisen pyörimisen ja isotooppisen mittarin invarianssin säilyminen". Phys. Rev. 96 : 191-195. Bibcode : 1954PhRv...96..191Y . DOI : 10.1103/PhysRev.96.191 .
↑ Donaldson, Simon K. (1983). "Itse kaksoisliitännät ja tasaisten 4-jakotukien topologia". Sonni. amer. Matematiikka. soc. 8 (1): 81-83. DOI : 10.1090/S0273-0979-1983-15090-5 .
↑ 1 2 Seiberg, N. & Witten, E. (1994a), Sähkömagneettinen kaksinaisuus, monopolikondensaatio ja rajoittuminen N=2-supersymmetrisessä Yang-Millsin teoriassa , Nuclear Physics B Vol . 426 (1): 19-52 . DOI 10.1016/0550-3213(94)90124-4 ; Erratum , Nuclear Physics B , osa 430 (2): 485-486, 1994 , DOI 10.1016/0550-3213(94)00449-8
↑ Pickering, A. Kvarkkien rakentaminen. - University of Chicago Press , 1984. - ISBN 0-226-66799-5 .
↑ Sadovsky, 2003 , s. 24.
↑ 1 2 3 S. S. Gershtein. Mikä on värivaraus tai mitkä voimat sitovat kvarkeja // Sorovskin koulutuslehti. - 2000. - Nro 6 . - S. 78-84 .
↑ 1 2 3 Sadovsky, 2003 , s. 27.
↑ 1 2 Sadovsky, 2003 , s. 26.
↑ 1 2 Sadovsky, 2003 , s. 29.
↑ Sadovsky, 2003 , s. kolmekymmentä.
↑ 1 2 Sadovsky, 2003 , s. 31.

Kirjallisuus

Vizgin V.P. Yhdistetyt kenttäteoriat XX vuosisadan ensimmäisellä kolmanneksella. - M .: Nauka, 1985. - 304 s.
Sadovsky MV Luennot kvanttikenttäteoriasta . - Izhevsk: Tietotekniikan tutkimuslaitos, 2003. - 480 s. - ISBN 5-93972-241-5 .
Jackson JD ja Okun LB Mittarin invarianssin historialliset juuret // Rev. Mod. Phys.. - 2001. - T. 73 . - S. 663 . - doi : 10.1103/RevModPhys.73.663 . - arXiv : hep-ph/0012061 .
G. 't Hooft, Gauge teoriat alkuainehiukkasten välisistä voimista , " Advances in the Physical Sciences ", 1981, osa 135, no. 3, s. 379. ( Scientific Americanin artikkelin käännös , kesäkuu 1980, osa 242, s. 90.)
Konopleva N.P., Popov V.N .. Kalibrointikentät. - M .: Atomizdat , 1972.
Slavnov AA, Faddeev LD Johdatus mittarikenttien kvanttiteoriaan. - 2. painos, tarkistettu. ja ylimääräistä - M .: Nauka , 1988.
Sardanashvili G. A. Nykyaikaiset kenttäteorian menetelmät. 1. Geometria ja klassiset kentät. - M .: URSS , 1996. - ISBN 5-88417-087-4 .
Sardanashvili G. A. Nykyaikaiset kenttäteorian menetelmät. 4. Geometria ja kvanttikentät. - M .: URSS , 2000. - ISBN 5-88417-221-4 .
Uchiyama R. Mihin fysiikka on tullut. Suhteellisuusteoriasta mittarikenttien teoriaan. - M . : Knowledge, 1986. - 224 s.
Voloshin M. B. , Ter-Martirosyan K. A. Teoria alkuainehiukkasten vuorovaikutuksista. — M .: Energoatomizdat, 1984. — 288 s.
Ivanenko D.D. (toim.). Alkuainehiukkaset ja kompensointikentät. - M .: Mir, 1964. - 298 s.

Sanakirjat ja tietosanakirjat	Britannica (verkossa)