Monoidi (luokkateoria)

Kategoriateoriassa monoidikategorian monoidi on objekti M yhdessä kahden morfismin kanssa ${\näyttötyyli (M,\mu ,\eta )}$ $(\mathbf {C} ,\otimes ,I)$

$\mu :M\otimes M\to M$ (kutsutaan kertolaskuksi ),
ja (kutsutaan yksiköksi ), $\eta :I\to M$

siten, että seuraava viisikulmainen kaavio

sekä kaavio

ovat kommutatiivisia . Merkintätapa on sama kuin artikkelissa Monoidiluokka : I on luokan yksikkö , ja ovat assosiaattori ja morfismit, jotka vastaavat vasenta ja oikeaa kertolaskua yhdellä. $\alpha$ $\lambda$ $\rho$

Kaksinkertaisesti monoidiluokan C komonoidi on kaksoiskategorian monoidi . $\mathbf {C} ^{\mathrm {op} }$

Olkoon luokassa C myös symmetriamuunnos . Silloin monoidin sanotaan olevan symmetrinen jos $\gamma$ $M$

\mu \circ \gamma =\mu

Esimerkkejä

Monoidi kategoriassa Set (jota pidetään monoidikategoriana suhteessa suoraan tuloon ) on monoidi yleisessä algebrallisessa merkityksessä.
Monoidi Abelin ryhmien luokassa (jossa tensoritulo -moduuleina) on rengas . $\mathbb {Z}$
Eckmann-Hilton-lauseesta seuraa , että monoidi renkaiden luokassa (yksikön kanssa) on kommutatiivinen rengas .
Kommutatiivisen renkaan R yläpuolella olevien moduulien kategoriassa oleva monoidi on R - algebra .
Monoidi vektoriavaruuksien luokassa kentän k - k - algebra , vastaavasti komonoidi - k - coalgebra .
Minkä tahansa C -luokan endofunktorien kategorialla [C,C] ( funktiot itseensä) [C,C] on monoidirakenne , joka on indusoitu koostumuksen toiminnasta. Monoidi endofunktorien kategoriassa [C,C] on monadi C : ssä .

Monoidien luokka

Olkoon ja kaksi monoidia monoidikategoriassa C , morfismi on monoidimorfismi, jos ${\näyttötyyli (M,\mu ,\eta )}$ $(M',\mu ',\eta ')$ $f:M\to M'$

$f\circ \mu =\mu '\circ (f\otimes f)$ ,
$f\circ \eta =\eta '$ .

C :n monoidien luokka, joilla on edellä määritellyt morfismit, on kirjoitettu muodossa . $\mathbf {ma} _{\mathbf {C} }$

Kirjallisuus

McLane S. Kategoriat työskentelevälle matemaatikolle - M .: Fizmatlit, 2004.
Mati Kilp, Ulrich Knauer, Alexander V. Mikhalov, Monoids, Acts and Categories (2000), Walter de Gruyter, Berliini - ISBN 3-11-015248-7