Jatkumohypoteesi

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 15. huhtikuuta 2022 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 2 muokkausta .

jatkumohypoteesi
Nimetty	jatkumo
Löytäjä tai keksijä	Georg Kantor
avauspäivämäärä	1877
Kaava, joka kuvaa lakia tai lausetta	$\aleph _{0}\leq \kappa \leq 2^{\aleph _{0}}\Rightarrow \kappa =\aleph _{0}\lor \kappa =2^{\aleph _{0} }$
Kuka päätti	Kurt Gödel ja Paul Cohen

Jatkuvuushypoteesi ( jatkuvuusongelma , Hilbertin ensimmäinen ongelma ) on Georg Cantorin vuonna 1877 esittämä oletus , että mikä tahansa jatkumon ääretön osajoukko on joko laskettava tai jatkuva . Toisin sanoen hypoteesi olettaa, että jatkumon kardinaalisuus on pienin, ylittää laskettavan joukon kardinaalisuuden, eikä laskettavan joukon ja jatkumon välillä ole "välikardinaaliteettia". Erityisesti tämä oletus tarkoittaa, että mille tahansa äärettömälle reaalilukujoukolle voidaan aina muodostaa yksi yhteen vastaavuus joko tämän joukon elementtien ja kokonaislukujoukon välillä tai tämän joukon elementtien ja joukon välillä. kaikki todelliset luvut.

Ensimmäiset yritykset todistaa tämä väite naiivin joukkoteorian avulla eivät onnistuneet, myöhemmin osoitetaan, että hypoteesia on mahdotonta todistaa tai kumota Zermelo-Fraenkel-aksiomatiikassa (sekä valinnan aksiooman kanssa että ilman ).

Jatkuvuushypoteesi todistetaan ainutlaatuisesti Zermelo-Fraenkel-järjestelmässä determinismin aksioomalla (ZF+AD).

Historia

Jatkuvuushypoteesi oli ensimmäinen 23:sta matemaattisesta ongelmasta , jotka Hilbert esitti II kansainvälisessä matemaatikoiden kongressissa Pariisissa vuonna 1900 . Siksi jatkumohypoteesi tunnetaan myös Hilbertin ensimmäisenä ongelmana .

Vuonna 1940 Gödel osoitti, että jatkumohypoteesin kumoamista ei voida todistaa ZFC:ssä, Zermelo-Fraenkel- aksioomajärjestelmässä valinnan aksioomalla , ja vuonna 1963 Cohen pakotusmenetelmäänsä käyttäen jatkumohypoteesi ei ollut todistettavissa myös : ssä. 1] . Molemmat tulokset perustuvat ZFC- yhteensopivuusoletukseen , joka on välttämätön, koska kaikki väitteet epäjohdonmukaisessa teoriassa ovat triviaalisti todistettavissa. Siten jatkumohypoteesi on riippumaton ZFC:stä.

Jos oletetaan jatkumohypoteesin negaatiota, on järkevää esittää kysymys: mille järjestysluvuille yhtäläisyys voi täyttyä ? Vastauksen tähän kysymykseen antaa Eastonin lause vuonna 1970 $\mathrm {ZFC+\neg CH}$ $\alpha$ ${\mathfrak {c}}=\aleph _{\alpha }$

Vastaavat formulaatiot

On olemassa useita väitteitä, jotka vastaavat jatkumohypoteesia:

Suora viiva voidaan värjätä lukemattomalla määrällä värejä siten, että ehto [2] ei täyty millekään yksiväriselle lukuneljälle . $\mathbb {R}$ $a,b,c,d$ $a+b=c+d$
Taso voidaan peittää kokonaan laskettavalla joukkojen perheellä, joista jokaisella on muoto (eli jokaisella pystysuoralla viivalla on ainutlaatuinen leikkauspiste) tai (jolla on ainutlaatuinen leikkauspiste jokaisen vaakaviivan kanssa) [3] . $\mathbb {R} ^{2}$ $y=f(x)$ $x=f(y)$
Avaruus voidaan jakaa 3 joukkoon siten, että ne leikkaavat minkä tahansa akselien suuntaisen suoran ja vastaavasti vain rajallisessa määrässä pisteitä (jokaisella joukolla on oma akselinsa) [4] . $\mathbb {R} ^{3}$ $Härkä$ $Oy$ $Oz$
Avaruus voidaan jakaa 3 joukkoon siten, että jokaiselle niistä on sellainen piste , että tämä joukko leikkaa minkä tahansa linjan, joka kulkee kautta , vain äärellisessä määrässä pisteitä [5] . $\mathbb {R} ^{3}$ $P$ $P$

Muunnelmia ja yleistyksiä

Yleistetty jatkumohypoteesi koostuu oletuksesta, että yhtäläisyys pätee mille tahansa äärettömälle kardinaalille ; missä tarkoittaa seuraavaa kardinaalia. Toisin sanoen missä tahansa joukossa, joka on suurempi kuin jokin ääretön joukko , on osajoukko, joka vastaa Boolen [6] . $\kappa$ ${\displaystyle 2^{\kappa }=\kappa ^{+))$ $\kappa ^{+}$ $\kappa$ $S$ ${\mathcal {P}}(S)$

Yleistetty jatkumohypoteesi ei myöskään ole ristiriidassa Zermelo-Fraenkel-aksiomaatiikan kanssa, ja kuten Sierpinski vuonna 1947 ja Specker vuonna 1952 osoittivat, valinnan aksiooma seuraa siitä .

Katso myös

Martinin aksiooma

Muistiinpanot

↑ Paul J. Cohenin joukkoteoria ja jatkumohypoteesi. - M .: Mir, 1969. - S. 347.
↑ Stephen Fenner, William Gasar. Combinatoricsin lausunto, joka on riippumaton ZFC:stä (An Exposition) , arkistoitu 27. marraskuuta 2021 Wayback Machinessa
↑ Vaclav Sierpinski . Kardinaali ja järjestysnumerot. - Warszawa : Polish Scientific Publishers, 1965. (englanniksi)
↑ Vaclav Sierpinski . Joukkojen teoriasta. - M . : Koulutus, 1966.
↑ Arkistoitu kopio . Käyttöpäivä: 9. heinäkuuta 2012. Arkistoitu alkuperäisestä 18. helmikuuta 2013. (määrätön)
↑ Jatkuvuusongelma / A. G. Dragalin // Suuri Neuvostoliiton Encyclopedia : [30 nidettä] / ch. toim. A. M. Prokhorov . - 3. painos - M . : Neuvostoliiton tietosanakirja, 1969-1978.

Kirjallisuus

Katin Yu.E. Continuum-ongelman historiasta // Luonnontieteiden historia ja metodologia. - M .: MGU, 1970. - Numero. 9 . - S. 248-261 .
Manin Yu. I. Jatkuvuuden ongelma // Itogi nauki i tekhniki. Sarja ”Matematiikan nykyaikaiset ongelmat. Viimeisimmät saavutukset. - 1975. - nro 5. - S. 5-72. — ISSN 0202-747X.

Hilbertin ongelmia
yksi 2 3 neljä 5 6 7 kahdeksan 9 kymmenen yksitoista 12 13 neljätoista viisitoista 16 17 kahdeksantoista 19 kaksikymmentä 21 22 23 ( 24 )