Yleistetyt Fibonacci-luvut

Fibonacci-luvut muodostavat rekursiolla määritellyn sekvenssin

F_{0}=0,

F_{1}=1,

{\displaystyle F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2))

kokonaisluvulle . _

n>1

Eli kahdesta alkuarvosta alkaen jokainen luku on yhtä suuri kuin kahden edellisen summa.

Fibonacci-sekvenssiä on tutkittu laajasti ja yleistetty monin tavoin, kuten aloittamalla sekvenssi muilla luvuilla kuin 0 tai 1 tai lisäämällä enemmän kuin kaksi edeltävää numeroa seuraavan luvun muodostamiseksi. Tässä artikkelissa kuvataan erilaisia Fibonacci-lukujen laajennuksia ja yleistyksiä.

Laajennus negatiivisiin lukuihin

Jos käytät rekursiota , voit laajentaa Fibonacci-luvut negatiivisiksi luvuiksi. Saamme: ${\displaystyle F_{n-2}=F_{n}-F_{n-1))$

... −8, 5, −3, 2, −1, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, ...

yleisellä termillä kaava . ${\displaystyle F_{-n}=(-1)^{n+1}F_{n))$

Katso myös Negafibonacci - numerot .

Laajennus reaali- ja kompleksilukuihin

On monia mahdollisia yleistyksiä, jotka laajentavat Fibonacci-luvut reaalilukuihin (ja joskus kompleksilukuihin ). Ne käyttävät kultaista suhdetta φ ja perustuvat Binet'n kaavaan

F_{n}={\frac {\varphi ^{n}-(-\varphi )^{-n}}{\sqrt {5}}}.

Analyyttinen toiminto

\operatorname {Fe} (x)={\frac {\varphi ^{x}-\varphi ^{-x}}{\sqrt {5}}}

on ominaisuus, että parillisille kokonaisluvuille n [1] . Samoin analyyttisen toiminnon osalta $\operaattorin nimi {Fe} (n)=F_{n}$

\operatorname {Fo} (x)={\frac {\varphi ^{x}+\varphi ^{-x}}{\sqrt {5}}}

pätee kaikkiin parittoihin kokonaislukuihin n . $\operaattorin nimi {Fo} (n)=F_{n}$

Yhdistämällä kaikki saamme analyyttisen funktion

\operatorname {Fib} (x)={\frac {\varphi ^{x}-\cos(x\pi )\varphi ^{-x}}{\sqrt {5}}},

jolle pätee kaikki kokonaisluvut n [2] . ${\displaystyle \operaattorin nimi {Fib} (n)=F_{n))$

Koska kaikille kompleksiluvuille z , tämä funktio antaa myös Fibonacci-sekvenssin laajennuksen koko kompleksitasolle. Näin ollen voimme laskea yleisen Fibonacci-funktion kompleksiselle muuttujalle, esim. $\operaattorin nimi {Fib} (z+2)=\operaattorin nimi {Fib} (z+1)+\operaattorin nimi {Fib} (z)$

\operaattorin nimi {Fib} (3+4i)\noin -5248{,}5-14195{,}9i.

Vector tila

Termiä Fibonacci-sekvenssi voidaan soveltaa mihin tahansa funktioon g , joka kuvaa kokonaislukumuuttujan johonkin kenttään, jolle . Nämä funktiot ovat täsmälleen muodon funktioita , joten Fibonacci-sekvenssit muodostavat vektoriavaruuden, jonka perusta on funktiot ja . $g(n+2)=g(n)+g(n+1)$ $g(n)=F(n)g(1)+F(n-1)g(0)$ $F(n)$ $F(n-1)$

Mikä tahansa Abelin ryhmä (jota pidetään Z - moduulina ) voidaan ottaa funktion g alueeksi . Sitten Fibonacci-sekvenssit muodostavat 2-ulotteisen Z - moduulin.

Samanlaisia kokonaislukujonoja

Kokonaisluku Fibonacci-sekvenssit

Fibonaccin kokonaislukujen sekvenssien 2-ulotteinen Z -moduuli koostuu kaikista kokonaislukujonoista, jotka täyttävät suhteen . Ilmaistuna kahdella ensimmäisellä alkuarvolla saamme $g(n+2)=g(n)+g(n+1)$

g(n)=F(n)g(1)+F(n-1)g(0)=g(1){\frac {\varphi ^{n}-(-\varphi )^{ -n}}{\sqrt {5}}}+g(0){\frac {\varphi ^{n-1}-(-\varphi )^{1-n}}{\sqrt {5}}} ,

missä φ on kultainen suhde.

Kahden peräkkäisen elementin välinen suhde konvergoi kultaiseen leikkaukseen, paitsi siinä tapauksessa, että sekvenssi koostuu nollista ja sarjoista, joissa kahden ensimmäisen ehdon suhde on yhtä suuri . ${\displaystyle (-\varphi )^{-1))$

Sarja voidaan kirjoittaa muodossa

a\varphi ^{n}+b(-\varphi )^{-n},

jossa jos ja vain jos . Tässä muodossa yksinkertaisin ei-triviaali esimerkki on ja tämä sarja koostuu Lucas-luvuista : $a = 0$ $b=0$ $a=b=1$

L_{n}=\varphi ^{n}+(-\varphi )^{-n}.

Meillä on ja . Esitetty: $L_{1}=1$ $L_{2}=3$

{\begin{aligned}\varphi ^{n}&=\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}={\frac { L(n)+F(n){\sqrt {5}}}{2}},\\L(n)&=F(n-1)+F(n+1).\end{tasattu}}

Mikä tahansa ei-triviaali Fibonaccin kokonaislukujen sekvenssi (mahdollisesti äärellisen määrän paikkojen siirron jälkeen) on yksi Wythoff-taulukon riveistä . Itse Fibonacci-sekvenssi on ensimmäinen rivi ja siirretty Lucas-sekvenssi on toinen rivi [3] .

Katso myös Fibonacci-lukujen sekvenssit modulo n .

Luke sekvenssit

Toinen Fibonacci- sekvenssien yleistys ovat Lucas-sekvenssit , jotka määritellään seuraavasti:

U(0)=0

U(1)=1

U(n+2)=PU(n+1)-QU(n)

jossa tavallinen Fibonacci-sekvenssi on erikoistapaus ja . Toinen Luke-sekvenssi alkaa , . Tällaisilla sarjoilla on sovelluksia lukuteoriassa ja primaliteettitestauksessa . $P=1$ $Q=-1$ $V(0)=2$ $V(1)=P$

Siinä tapauksessa, kun , tätä sekvenssiä kutsutaan P -Fibonacci-sekvenssiksi . Esimerkiksi Pell-sekvenssiä kutsutaan myös Fibonacci 2 -sekvenssiksi . $Q=-1$

3-Fibonacci-sekvenssi

0, 1, 3, 10, 33, 109, 360, 1189, 3927, 12970, 42837, 141481, 467280, 1543321, 5097243, 5097243, 168350620, 168350620, 168350620, 390, 390, 390 , 3950

4-Fibonacci-sekvenssi

0, 1, 4, 17, 72, 305, 1292, 5473, 23184, 98209, 416020, 1762289, 7465176, 31622993, peräkkäin 133957148, 133957148, 133957148, 133957148, 405, 405, 405, 405, 405, 407 , 405

5-Fibonacci-sekvenssi

1 _ _ _

6-Fibonacci-sekvenssi

0, 1, 6, 37, 228, 1405, 8658, 53353, 328776, 2026009, 12484830, 76934989, 474094764, 29215094764, 29215094764, 29215094764, 29215094764, 29215094764, 29215094764, 6 29215035021 6

n -Fibonacci-vakio on arvo, johon n - Fibonacci-sekvenssinvierekkäisten lukujen suhdeSitä kutsutaan myös arvometallin n -suhteeksi ja se on yhtälön ainoa positiivinen juuri. Esimerkiksi siinä tapauksessa,että vakio on, tai kultaleikkaus , ja josvakio on 1 + √ 2 , tai hopealeikkaus . Yleisessä tapauksessa n - vakio on. $x^{2}-nx-1=0$ $n = 1$ ${\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ $n = 2$ ${\tfrac {n+{\sqrt {n^{2}+4}}}{2}}$

Yleisessä tapauksessa sitä voidaan kutsua - Fibonacci -sekvenssiksi tai sitä voidaan kutsua Lucas -sekvenssiksi . $U(n)$ ${\näyttötyyli (P,-Q)}$ $V(n)$ ${\näyttötyyli (P,-Q)}$

(1,2)-Fibonacci-sekvenssi

01 _ _ _

(1,3)-Fibonacci-sekvenssi

sekvenssi A006130 OEIS : ssä

(2,2)-Fibonacci-sekvenssi

2 _ _ _

(3,3)-Fibonacci-sekvenssi

0, 1, 3, 12, 45, 171, 648, 2457, 9315, 35316, 133893, 507627, 1924560, 7296561, 276663363, 104879772, 397629405, 1507527531 , 5715470808

Korkealuokkaiset Fibonacci-luvut

Fibonacci-sekvenssi, jonka kertaluku on n , on kokonaislukujen sarja, jossa jokainen alkio on edellisen n elementin summa (lukuun ottamatta sekvenssin n ensimmäistä alkiota ). Tavalliset Fibonacci-luvut ovat luokkaa 2. Tapaukset ja ne tutkitaan huolellisesti. Ei-negatiivisten kokonaislukujen kertoimien lukumäärä enintään n :n osiin on Fibonaccin luokkaa n . Enintään n peräkkäistä nollaa sisältävien merkkijonojen lukumäärän 0 ja 1, joiden pituus on m , seuraaja on myös Fibonaccin luokkaa n . $n = 3$ $n = 4$

Mark Barr tutki näitä sekvenssejä, niiden termisuhderajoja ja niiden termisuhderajoja vuonna 1913 [4] .

Tribonaccin numerot

Tribonacci-luvut ovat samanlaisia kuin Fibonacci-luvut, mutta kahden ennalta määritellyn luvun sijasta sarja alkaa kolmella numerolla, ja jokainen seuraava termi on kolmen edellisen summa:

0 , 0 , 1 , 1 , 2 , 4 , 7 , 13 , 24 , 44 , 81 , 149 , 274 , 504 , 927 , 1705 , 3136 , 5768 , 3136 , 5768 , 10609 , 30 , 0 6 5 013 , 3 6 0 9 13

Tribonaccin vakio

{\frac {1+{\sqrt[{3}]{19+3{\sqrt {33))))+{\sqrt[{3}]{19-3{\sqrt {33)) }}}{3}}\noin 1,839286755214161,

sekvenssi A058265 OEIS : ssä

on arvo, johon kahden vierekkäisen tribonacci-luvun suhde pyrkii. Luku on polynomin juuri ja täyttää myös yhtälön . Tribonacci-vakio on tärkeä snub- kuution tutkimuksessa . $x^{3}-x^{2}-x-1=0$ $x+x^{-3}=2$

Tribonacci -vakion käänteisluku suhdelukuna ilmaistuna voidaan kirjoittaa seuraavasti: $\xi ^{3}+\xi ^{2}+\xi =1$

\xi ={\frac {{\sqrt[{3}]{17+3{\sqrt {33))))-{\sqrt[{3}]{-17+3{\sqrt {33 }}}}-1}{3}}={\frac {3}{1+{\sqrt[{3}]{19+3{\sqrt {33}}}}+{\sqrt[{3} ]{19-3{\sqrt {33}}}}}}\noin 0,543689012.

Tribonacci-luvut saadaan myös kaavalla [5]

T(n)=\left\lfloor 3b{\frac {\left({\frac {1}{3}}\left(a_{+}+a_{-}+1\right)\right) ^{n}}{b^{2}-2b+4}}\oikea\rceil

jossa ⌊ • ⌉ tarkoittaa lähintä kokonaislukua ja

{\begin{aligned}a_{\pm }&={\sqrt[{3}]{19\pm 3{\sqrt {33))))\\b&={\sqrt[{3}] {586+102{\sqrt {33}}}}\end{aligned}}

. Tetranacci-luvut

Tetranacci-luvut alkavat neljällä ennalta määritetyllä termillä, ja jokainen seuraava termi lasketaan sarjan neljän edellisen termin summana. Ensimmäiset tetranacci-luvut:

0,0,0,1,1,2,4,8,15,29,56,108,208,401,773,1490,2872,5536,10671,20569,39648,76424,147312,283953,147312,283953 , _5 … _3_7 _5 _ _ _ (sekvenssi A000078 OEIS : ssä )

Tetranacci-vakio on arvo, johon tetranacci-sekvenssin vierekkäisten jäsenten suhde pyrkii. Tämä vakio on polynomin juuri ja on suunnilleen yhtä suuri kuin 1,927561975482925 A086088 ja täyttää yhtälön . $x^{4}-x^{3}-x^{2}-x-1=0$ $x+x^{-4}=2$

Tetranacci-vakio ilmaistaan radikaaleina [6]

\left(p_{1}+{\tfrac {1}{4}}\right)+{\sqrt {\left(p_{1}+{\tfrac {1}{4}}\right) ^{2}-{\frac {2\lambda _{1}}{p_{1}}}\left(p_{1}+{\tfrac {1}{4}}\right)+{\frac { 7}{24p_{1}}}}+{\tfrac {1}{6}}}}

missä

{\begin{aligned}p_{1}&={\sqrt {\lambda _{1}+{\tfrac {11}{48))))\\\lambda _{1}&={\ frac {{\sqrt[{3}]{3{\sqrt {1689}}-65}}-{\sqrt[{3}]{3{\sqrt {1689}}+65}}}{12{\ sqrt[{3}]{2}}}}.\end{aligned}}

Korkeammat tilaukset

Pentanaccien (5. kertaluokka), heksanaccien (6. kerta) ja heptanaccien (7. kerta) lukumäärät laskettiin.

Pentaccin numerot (5. kertaluokka):

0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 31, 61, 120, 236, 464, 912, 1793, 3525, 6930, 13624, ... OEIS - sekvenssi A001591

Hexanacci-luvut (6. kertaluokka):

0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 63, 125, 248, 492, 976, 1936, 3840, 7617, 15109, ... OEIS - sekvenssi A001592

Heptanacci-luvut (7. kertaluokka):

0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 127, 253, 504, 1004, 2000, 3984, 7936, 15808, ... OEIS8 sekvenssi91221

Octacci-luvut (8. kertaluokka):

0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 255, 509, 1016, 2028, 4048, 8080, 16128, ... A079262 OEIS : ssä

Nonacci-luvut (9. järjestys):

0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 511, 1021, 2040, 4076, 8144, 16272,. .sekvenssi A104144 OEIS : ssä

N -nacci-sekvenssin peräkkäisten termien suhteen raja pyrkii yhtälön juureen ( A103814 , A118427 , A118428 ). $x+x^{-n}=2$

Vaihtoehtoinen rekursiivinen kaava kahden peräkkäisen n -nacci -luvun r -suhteen rajalle

{\displaystyle r=\sum _{k=0}^{n-1}r^{-k))

Erikoistapaus on perinteinen Fibonacci-sekvenssi ja antaa kultaisen leikkauksen . $n = 2$ $\varphi =1+{\tfrac {1}{\varphi }}$

Yllä olevat suhdekaavat pätevät mielivaltaisista luvuista luoduille n -nacci-sekvensseille. Tämän suhteen raja on 2, koska n pyrkii äärettömään. Numerojonon "äärettömästi-nacci", jos yrität kuvata sitä, pitäisi alkaa äärettömällä määrällä nollia, jonka jälkeen pitäisi olla sekvenssi

[..., 0, 0, 1,] 1, 2, 4, 8, 16, 32, …,

eli yksinkertaisesti kahden potenssit.

Minkä tahansa sekvenssin raja on r - ominaisuusyhtälön positiivinen juuri [6] $n>0$

x^{n}-\sum _{i=0}^{n-1}x^{i}=0.

Juuri r on välissä . Karakterikaavayhtälön negatiivinen juuri on välillä (−1, 0), jos n on parillinen. Tällä juurilla ja jokaisella ominaisyhtälön kompleksisella juurella on moduuli [6] . $2(1-2^{-n})<r<2$ $3^{-n}<\vert r\vert <1$

Sekvenssi minkä tahansa [6] positiiviselle juurille r $n>0$

2-2\sum _{i>0}{\frac {1}{i}}{\binom {(n+1)i-2}{i-1}}{\frac {1}{ 2^{(n+1)i}}}.

Karakteriyhtälöllä ei ole ratkaisua radikaalien suhteen, jos [6] . $5\leqslant n\leqslant 11$

n -nacci-sekvenssin k -s alkio saadaan kaavalla

F_{k}^{(n)}=\left\lfloor {\frac {r^{k-1}(r-1)}{(n+1)r-2n))\right\rceil ,

missä ⌊ • ⌉ tarkoittaa lähintä kokonaislukua ja r on n -nacci-vakio, joka on lähimpänä lukua 2 oleva juuri [7] . $x+x^{-n}=2$

Kolikonheitto- ongelma liittyy n - nacci-sekvenssiin. Todennäköisyys, että hännät eivät esiinny n kertaa peräkkäin m ideaalikolikon heitoissa on [ 8] . ${\displaystyle {\tfrac {1}{2^{m}}}F_{m+2}^{(n)))$

Fibonaccin sana

Analogisesti numeerisen analogin kanssa, sana Fibonacci määritellään seuraavasti

F_{n}:=F(n):={\begin{cases}{\text{b}}&,n=0;\\{\text{a}}&,n=1;\ \F(n-1)+F(n-2)&,n>1.\\\end{cases}}

jossa + tarkoittaa kahden merkkijonon ketjutusta. Fibonacci-merkkijonosarja alkaa

b, a, ab, aba, abaab, abaababa, abaababaabaab, … OEIS - sekvenssi A106750

Kunkin Fibonacci-merkkijonon pituus on yhtä suuri kuin Fibonacci-luku ja jokaiselle Fibonacci-luvulle on Fibonacci-merkkijono.

Fibonacci - merkkijonot osoittautuvat huonoimman tapauksen syötteiksi joillekin algoritmeille .

Jos "a" ja "b" edustavat kahta eri materiaalia tai atomisidoksen pituutta, Fibonacci-merkkijonoa vastaava rakenne on Fibonaccin kvasikide , ei-jaksollinen kvasikiderakenne , jolla on epätavalliset spektriominaisuudet .

Taitetut Fibonacci-sekvenssit

Taitettu Fibonacci-sekvenssi saadaan soveltamalla laskosoperaatiota Fibonacci -sekvenssiin yhden tai useamman kerran. Määritä [9] :

F_{n}^{(0)}=F_{n}

{\displaystyle F_{n}^{(r+1)}=\sum _{i=0}^{n}F_{i}F_{ni}^{(r)))

Ensimmäiset jaksot

r = 1: 0, 0, 1, 2, 5, 10, 20, 38, 71, ... A001629 . r = 2: 0, 0, 0, 1, 3, 9, 22, 51, 111, ... A001628 . r = 3: 0, 0, 0, 0, 1, 4, 14, 40, 105, ... A001872 .

Sekvenssit voidaan laskea käyttämällä rekursiivista kaavaa

F_{n+1}^{(r+1)}=F_{n}^{(r+1)}+F_{n-1}^{(r+1)}+F_{n} ^{(r)}

r: nnen konvoluution generoiva funktio on

s^{(r)}(x)=\sum _{k=0}^{\infty }F_{n}^{(r)}x^{n}=\left({\frac { x}{1-xx^{2}}}\oikea)^{r}.

Sekvenssit liittyvät Fibonaccin polynomien sekvenssiin relaatiolla

F_{n}^{(r)}=r!F_{n}^{(r)}(1)

missä on rth johdannainen . Vastaavasti on kerroin, kun se laajennetaan valtuuksien summana . $F_{n}^{(r)}(x)$ $F_{n}(x)$ ${\displaystyle F_{n}^{(r)))$ ${\näyttötyyli (x-1)^{r))$ $F_{n}(x)$ ${\näyttötyyli (x-1)}$

Ensimmäinen konvoluutio voidaan kirjoittaa Fibonaccin ja Lucasin lukujen avulla ${\displaystyle F_{n}^{(1)))$

F_{n}^{(1)}={\frac {nL_{n}-F_{n}}{5}}

ja tyydyttää toistuvuussuhteen

F_{n+1}^{(1)}=2F_{n}^{(1)}+F_{n-1}^{(1)}-2F_{n-2}^{(1 )}-F_{n-3}^{(1)}.

Samanlainen lauseke löytyy arvolle r > 1 , ja sen monimutkaisuus lisääntyy r :n kasvaessa . Numerot ovat Hosoyan kolmion rivien summia . ${\displaystyle F_{n}{(1)))$

Kuten Fibonacci-lukujen kohdalla, näille sekvensseille on olemassa joitain kombinatorisia tulkintoja. Esimerkiksi kuinka monta tapaa kirjoittaa n − 2 numeroiden 0, 1 ja 2 järjestetyksi summaksi, jossa 0:ta käytetään tasan kerran. Erityisesti ja vastaavasti 4 - 2 = 2 voidaan kirjoittaa 0 + 1 + 1 , 0 + 2 , 1 + 0 + 1 , 1 + 1 + 0 , 2 + 0 . [kymmenen] ${\displaystyle F_{n}^{(1)))$ $F_{4}^{(1)}=5$

Muut yleistykset

Fibonacci-polynomit ovat toinen Fibonacci-lukujen yleistys.

Padovan-sekvenssi muodostuu toistumisrelaatiosta . $P(n)=P(n-2)+P(n-3)$

Satunnainen Fibonacci-sekvenssi voidaan määritellä kolikon heittelyksi sekvenssin jokaiselle asemalle n ja valinnaksipäiden jahännojen tapauksessa. Furstenbergin ja Kestenin työn mukaan tämä sarja kasvaa lähes varmasti eksponentiaalisesti vakionopeudella. Kasvuvakion laski vuonna 1999 Diwakar Viswanath, ja se tunnetaan nimellä " Viswanath-vakio ". $F(n)=F(n-1)+F(n-2)$ $F(n)=F(n-1)-F(n-2)$

Repfigit eli Keithin luku on kokonaisluku, joka saadaan Fibonacci-sekvenssistä alkaen numerosarjasta, joka edustaa luvun numerosarjaa. Esimerkiksi numerolle 47 Fibonacci-sekvenssi alkaa numeroilla 4 ja 7 ja sisältää luvun 47 kuudentena terminä ( (4, 7, 11, 18, 29, 47) ). Valaan numero voidaan saada tribonacci-sarjana, jos se sisältää 3 numeroa, tetranacci-sekvenssinä, jos numero sisältää 4 numeroa jne. Valaan ensimmäiset numerot ovat:

14, 19, 28, 47, 61, 75, 197, 742, 1104, 1537, 2208, 2580, 3684, 4788, 7385, 7647, 7909, ... OEIS - sekvenssi A007629

Koska relaatiota tyydyttävä sekvenssijoukko suljetaan elementtikohtaisesti yhteenlaskettaessa ja kertomalla vakiolla, sitä voidaan pitää vektoriavaruutena . Jokainen tällainen sekvenssi määräytyy yksiselitteisesti kahden elementin valinnalla, joten vektoriavaruus on kaksiulotteinen. Jos merkitsemme tällaista sarjaa (sarjan kahdella ensimmäisellä termillä), Fibonacci-luvut ja siirtyneet Fibonacci-luvut ovat tämän avaruuden kanoninen perusta $S(n)=S(n-1)+S(n-2)$ ${\näyttötyyli (S(0),S(1))}$ $F(n)=(0,1)$ $F(n-1)=(1,0)$

S(n)=S(0)F(n-1)+S(1)F(n)

kaikille sellaisille sekvensseille S . Esimerkiksi, jos S on Lucasin sekvenssi 2, 1, 3, 4, 7, 11, ... , meillä on

L(n)=2F(n-1)+F(n)

N -generoitu Fibonacci-sekvenssi

Voimme määritellä N - generoidun Fibonacci-sekvenssin (jossa N on positiivinen rationaalinen luku).

Jos

N=2^{a_{1}}\cdot 3^{a_{2}}\cdot 5^{a_{3}}\cdot 7^{a_{4}}\cdot 11^{a_{ 5}}\cdot 13^{a_{6}}\cdot ...\cdot P_{r}^{a_{r}},

missä P r on r :s alkuluku, määrittelemme

F_{N}(n)=a_{1}F_{N}(n-1)+a_{2}F_{N}(n-2)+a_{3}F_{N}(n- 3)+a_{4}F_{N}(n-4)+a_{5}F_{N}(n-5)+...

Jos , oletamme , ja tapauksessa , oletamme . ${\näyttötyyli n=r-1}$ $F_{N}(n)=1$ $n<r-1$ $F_{N}(n)=0$

Jakso	N	OEIS- sekvenssi
Fibonaccin sekvenssi	6	A000045
Pell-sekvenssi	12	A000129
Jacobsthal-sekvenssi	kahdeksantoista	A001045
Tribonaccin sekvenssi	kolmekymmentä	A000073
Tetranacci-sekvenssi	210	A000288
Padovan sekvenssi	viisitoista	A000931

Semi-Fibonacci-sekvenssi

Semi-Fibbonacian sekvenssi ( A030067 ) määritellään samalla rekursiivisella kaavalla termeille, joissa on parittomat indeksit ja , mutta parillisille indekseille se vaatii , . Erotut parittomat termit ( A030068 ) täyttävät yhtälön ja kasvavat tiukasti. Ne antavat paljon puolifibonacci-lukuja $a(2n+1)=a(2n)+a(2n-1)$ $a(1)=1$ $a(2n)=a(n)$ $n\geqslant 1$ $s(n)=a(2n-1)$ $s(n+1)=s(n)+a(n)$

1, 2, 3, 5, 6, 9, 11, 16, 17, 23, 26, 35, 37, 48, 53, 69, 70, 87, 93, 116, 119, 145, 154, ... sekvenssi A030068 OEIS : ssä _

joille kaava on totta . $s(n)=a(2^{k}(2n-1)),k=0,1,...$

Muistiinpanot

↑ Mikä on Fibonacci-luku?
↑ Pravin Chandra, Eric W. Weisstein . Fibonacci-numero (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
↑ Morrison, 1980 , s. 134-136.
↑ Gardner, 1961 , s. 101.
↑ Simon Plouffe, 1993 . Haettu 20. heinäkuuta 2022. Arkistoitu alkuperäisestä 11. heinäkuuta 2022. (määrätön)
↑ 1 2 3 4 5 Wolfram, 1998 .
↑ Du, Zhao Hui, 2008
↑ Eric W. Weisstein Kolikonheitto Wolfram MathWorldissä . _
↑ Hoggatt, Bicknell-Johnson, 1977 , s. 117-122.
↑ Sloane's A001629 Arkistoitu 12. lokakuuta 2017 Wayback Machinessa . On -line Encyclopedia of Integer Sequences . OEIS-säätiö.

Kirjallisuus

Morrison DR Stolarskyn joukko Wythoff-pareja // Kokoelma käsikirjoituksia, jotka liittyvät Fibonacci-sekvenssiin . - Santa Clara, CA: Fibonacci Association, 1980. - S. 134-136. Arkistoitu 4. maaliskuuta 2016 Wayback Machinessa
Martin Gardner. The Scientific American Book of Mathematical Puzzles and Diversions, Voi. II. - Simon ja Schuster, 1961. - s. 101.
Wolfram DA Ratkaise yleistettyjä Fibonacci-toistumista // Fib. Quart .. - 1998. - T. 36 , no. 2 .
Hoggatt VE Jr., Bicknell-Johnson M. Fibonacci Convolution Sequences // Fib. Quart. - 1977. - T. 15 .

Linkit

Hazewinkel, Michiel, toim. (2001), Tribonacci-numero , Encyclopedia of Mathematics , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4

fibonacci
Kirjat	Abakuksen kirja (1202) Neliöiden kirja (1225)
teorioita	Fibonaccin numerot Ahne algoritmi Egyptin murtoluvuille
liittyvät aiheet	Fibonacci-luvut kulttuurissa Luettelo Fibonaccin mukaan nimetyistä esineistä Fibonacci-lukujen yleistäminen Fibonacci Association Quarterly