Tilavuus (geometria)

Tilavuus on joukon ( mitan ) additiivinen funktio , joka kuvaa sen varaaman tilan alueen kapasiteettia. Alun perin se syntyi ja sitä sovellettiin ilman tiukkaa määritelmää kolmiulotteisen euklidisen avaruuden kappaleiden suhteen . Ensimmäiset tarkat määritelmät antoivat Peano ( 1887 ) ja Jordan ( 1892 ). Myöhemmin Lebesgue yleisti käsitteen laajempaan joukkojen luokkaan.

Lähestymistavat määritelmään

Volyymin määrittämiseksi on olemassa useita merkittävästi erilaisia lähestymistapoja, jotka täydentävät toisiaan ja ovat johdonmukaisia "hyvien sarjojen" lopputuloksessa. Yleensä tilavuuden käsite ymmärretään Jordanin mittana , mutta joskus Lebesguen mittana . Riemannilaisille jakoputkille tilavuuden käsite otetaan käyttöön samalla tavalla kuin pinta -alan käsite .

Tilavuuskäsite sallii luonnollisia yleistyksiä -ulotteisen tilavuuden käsitteeseen -ulotteisessa avaruudessa , myös mielivaltaisen mittasuhteen Riemannin ja pseudo-Riemannin avaruuden tapauksessa . $n$ $n$

Yksinkertaisimpien kappaleiden volyymit

Kuva	Kaava	Merkintä
Kuutio	$c^{3}$	$c$ - kuution reuna
Prisma	$Sh$	$S$ - pohjapinta-ala, - prisman korkeus $h$
Sylinteri	$\pi r^{2}h$	$r$ on säde , on sylinterin korkeus $h$
Pallo	${\frac {4}{3}}\pi r^{3}$	$r$ - säde
Ellipsoidi	${\frac {4}{3}}\pi abc$	$a,\;b,\;c$ - pääakselit
Pyramidi	${\frac {1}{3}}Ah$	$A$ - pohjan pinta-ala, - pyramidin korkeus $h$
Kartio	${\frac {1}{3}}\pi r^{2}h$	$r$ - pohjan säde, - kartion korkeus $h$

Arkhimedes pystyi toteamaan, että sylinteriin kirjoitettu pallo ja kartiot, joilla on yhteinen kärki, liittyvät toisiinsa seuraavasti:

два конуса : сфера : цилиндр как 1:2:3.

Arkhimedes pyysi lyömään haudalleen sylinteriin kaiverretun pallon.

Yleinen integraalikaava

Kappaleen tilavuus kolmiulotteisessa avaruudessa lasketaan kolmoisintegraalina : $D$

V=\iiiint \limits _{D}1\dxdydz

( suorakulmaisina koordinaateina )

V=\iiint \limits _{D}r\,dr\,d\theta \,dz

( sylinterikoordinaateissa )

V=\iiint \limits _{D}\rho ^{2}\sin \varphi \,d\rho \,d\theta \,d\varphi

( pallokoordinaateissa )

Katso myös

Muistiinpanot

Kirjallisuus

Vodnev V. T., Naumovich A. F., Naumovich N. F., Matemaattiset peruskaavat. Käsikirja / Toim. Bogdanova Yu. S. Ed. toiseksi tarkistettu ja ylimääräisiä Minsk, "Korkein koulu", 1988
Merzon G.A., Yashchenko I.V. Pituus, pinta-ala, tilavuus. - MTSNMO, 2011. - ISBN 9785940577409 .
Tsypkin A.G. Matematiikan käsikirja lukioille. - 4. painos, Rev. ja lisää.-M.: Nauka. Ch. toim. Fys.-Math. lit., 1988. - 432 s.