Jaksottainen sarja

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 13. tammikuuta 2022 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 4 muokkausta .

Jaksollinen sarja on sekvenssi , jossa samat elementit toistuvat yhä uudelleen ja uudelleen:

a_{1},a_{2},\dots ,a_{p},\,a_{1},a_{2},\dots ,a_{p},\,a_{1},a_{ 2},\pisteet ,a_{p},\pisteet

Toistuvien elementtien lukumäärää p kutsutaan jaksoksi [1] .

Määritelmä

Jaksollinen sekvenssi (jaksolla p) tai p - jaksollinen sarja on sekvenssi , joka täyttää suhteen n [1] [2] [3] [4] [5] kaikille arvoille . Jos jonoa tarkastellaan funktiona , jonka alue on luonnollisten lukujen joukko , jaksollinen sarja on vain erityinen jaksollinen funktio . Pienintä p , jolle jaksollinen sekvenssi on p - jaksollinen, kutsutaan sen pienimmäksi jaksoksi [1] [6] . $a_{1},a_{2},a_{3},\dots$ $a_{n+p}=a_{n}$

Esimerkkejä

Mikä tahansa vakiofunktio on 1 -jaksollinen [4] .

Jakso on jaksollinen pienimmällä jaksolla 2 [2] . ${\näyttötyyli 1,2,1,2,1,2,\pisteet }$

Numerosarja desimaalimuodossa 1/7 on jaksollinen jakso, jonka jakso on 6:

{\frac {1}{7}}=0{,}142857\,142857\,142857\,\ldots

Yleisesti ottaen minkä tahansa rationaaliluvun desimaaliesityksen numerosarja on lopulta jaksollinen (katso alla) [7] .

Potenssien sarja −1 on jaksollinen periodilla kaksi:

-1,1,-1,1,-1,1,\ldots

Yleisesti ottaen minkä tahansa yksikköjuuren tehosekvenssi on jaksollinen. Sama pätee minkä tahansa ryhmän äärellisen järjestyksen elementin tehoihin .

Jaksollinen piste funktiolle f : X → X on piste x , jonka rata

x,\,f(x),\,f(f(x)),\,f^{3}(x),\,f^{4}(x),\,\ldots

on jaksollinen sarja. Tässä tarkoitetaan funktion f n - kertaista koostumusta , jota käytetään x :ään [6] . Jaksopisteillä on tärkeä rooli dynaamisten järjestelmien teoriassa . Jokaisella funktiolla äärellisestä joukosta itseensä on jaksollinen piste. Jakson löytäminen on algoritminen tehtävä sellaisen pisteen löytämiseksi. $f^{n}(x)$

Identiteetit

Osittainen summa

\sum _{n=1}^{kp+m}a_{n}=k\cdot \sum _{n=1}^{p}a_{n}+\sum _{n=1} ^{m}a_{n}

Missä k ja m<p ovat luonnollisia lukuja.

Osatyöt

\prod _{n=1}^{kp+m}a_{n}=({\prod _{n=1}^{p}a_{n)))^{k}\cdot \prod _{n=1}^{m}a_{n}

Missä k ja m<p ovat luonnollisia lukuja.

Jaksottaiset 0, 1 jaksot

Mikä tahansa jaksollinen sekvenssi voidaan muodostaa nollasta ja ykkösistä koostuvien jaksollisten sekvenssien elementtikohtaisella yhteen-, vähennys-, kerto- ja jakojaksolla. Nollien ja ykkösten jaksolliset sekvenssit voidaan ilmaista trigonometristen funktioiden summina:

\sum _{k=1}^{1}\cos(-\pi {\frac {n(k-1)}{1)))/1=1,1,1,1,1, 1,1,1,1...

\sum _{k=1}^{2}\cos(2\pi {\frac {n(k-1)}{2)))/2=0,1,0,1,0, 1,0,1,0...

\sum _{k=1}^{3}\cos(2\pi {\frac {n(k-1)}{3)))/3=0,0,1,0,0, 1,0,0,1,0,0,1,0,0,1...

...

\sum _{k=1}^{N}\cos(2\pi {\frac {n(k-1)}{N)))/N=0,0,0...,1

jakso jaksolla N

Yleistykset

Jakso on lopulta jaksollinen , jos se voidaan tehdä jaksolliseksi hylkäämällä jokin äärellinen termijoukko alusta alkaen. Esimerkiksi numerosarja luvun 1/56 desimaalimuodossa on viime kädessä jaksollinen:

1/56 = 0,017 857142 857142 857142 ... [1] .

Jakso on asymptoottisesti jaksollinen , jos sen termit pyrkivät jaksolliseen sekvenssiin. Toisin sanoen sekvenssi on asymptoottisesti jaksollinen, jos on olemassa jaksollinen sekvenssi , jolle $x_{1},x_{2},x_{3},\dots$ $a_{1},a_{2},a_{3},\dots$

\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}-a_{n}=0.

[4] [8] [9]

Esimerkiksi sarja

1/3, 2/3, 1/4, 3/4, 1/5, 4/5, ...

on asymptoottisesti jaksollinen, koska sen termit pyrkivät jaksolliseen sekvenssiin 0, 1, 0, 1, 0, 1, ...

Muistiinpanot

↑ 1 2 3 4 Lopulta jaksollinen jakso - Encyclopedia of Mathematics . encyclopediaofmath.org (7. helmikuuta 2011). Haettu 13. elokuuta 2021. Arkistoitu alkuperäisestä 11. joulukuuta 2021. (määrätön)
↑ 1 2 Weisstein, Eric W. Periodic Sequence . mathworld.wolfram.com . Haettu 13. elokuuta 2021. Arkistoitu alkuperäisestä 13. elokuuta 2021.
↑ Bosma, Wieb Jaksottaisten sekvenssien monimutkaisuus . www.math.ru.nl. _ Haettu 13. elokuuta 2021. Arkistoitu alkuperäisestä 17. helmikuuta 2022. (määrätön)
↑ 1 2 3 Janglajew, Schmeidel, 2012 , s. 195.
↑ Menezes, van Oorschot, Vanstone, 2018 .
↑ 1 2 Weisstein, Eric W. Pienin jakso . mathworld.wolfram.com . Haettu 13. elokuuta 2021. Arkistoitu alkuperäisestä 13. elokuuta 2021.
↑ Hosch, William L. Rational luku . Encyclopedia Britannica (1. kesäkuuta 2018). Haettu 13. elokuuta 2021. Arkistoitu alkuperäisestä 11. joulukuuta 2021.
↑ Cheng, 2017 .
↑ Shlezinger, Todros, 2019 , s. 260–271.

Kirjallisuus

Klara Janglajew, Ewa Schmeidel. Epähomogeenisten lineaaristen eroyhtälöiden ratkaisujen jaksollisuus // Advances in Difference Equations. - 2012. - marraskuu ( osa 2012 , numero 1 ). — ISSN 1687-1847 . doi : 10.1186 / 1687-1847-2012-195 .
Alfred J. Menezes, Paul C. van Oorschot, Scott A. Vanstone. Sovellettavan kryptografian käsikirja . - CRC Press, 2018. - ISBN 978-0-429-88132-9 .
Sui Sun Cheng. Uutta kehitystä differentiaaliyhtälöissä ja sovelluksissa: Kolmannen kansainvälisen differentiaaliyhtälöiden konferenssin julkaisuja . - Routledge, 2017. - ISBN 978-1-351-42880-4 .
Nir Shlezinger, Koby Todros. Ei-Gaussin syklostationaarisia signaaleja käyttävien LMS-suodattimien suorituskykyanalyysi // Signaalinkäsittely. - 2019. - tammikuu ( osa 154 ). — ISSN 0165-1684 . - doi : 10.1016/j.sigpro.2018.08.008 . - arXiv : 1708.00635 .

Jaksot ja rivit
Jaksot	Numerosarja Perusjärjestys Lineaarinen toistuva sekvenssi Fibonaccin numerot kiharat numerot Factorial Barker-sekvenssi de bruijn sekvenssi
Rivit, perus	Rivin summa Loput rivistä Ehdollinen konvergenssi Vaihteleva sarja Rivien moniosa
Numerosarja ( operaatiot numerosarjoilla )	harmoninen sarja Leibniz-sarja Sarja käänteisiä neliöitä Käänteisten alkulukujen sarja Dirichlet rivi Mercator-sarja Rivi Grandi 1 - 2 + 3 - 4 + ... 1 + 2 + 3 + 4 + ...
toiminnallisia rivejä	Taylor-sarja Laurent-sarja Fourier-sarja Trigonometrinen Fourier-sarja trigonometrinen sarja Wiener-sarja
Muut rivityypit	Neumann-sarja Puiseux'n rivi