Raja (luokkateoria)

Kategoriateorian raja on  käsite, joka yleistää tällaisten rakenteiden, kuten tulon , karteesisen neliön ja käänteisrajan , ominaisuuksia . Koliitin kaksoiskäsite yleistää sellaisten rakenteiden ominaisuudet, kuten disjoint union , coproduct , codecartes square ja direct limit .

Limiitit ja kolimitit sekä niihin läheisesti liittyvät universaalin ominaisuuden ja adjointfunktorien käsitteet ovat korkean abstraktiotason käsitteitä. Niiden ymmärtämiseksi paremmin on hyödyllistä tutkia ensin esimerkkejä rakenteista, joita nämä käsitteet yleistävät.

Määritelmä

Limiitit ja kolimitit määritellään kaavioiden avulla . Tyyppikaavio J kategoriassa C  on funktionaali:

Kategoria J on indeksointiluokka ja funktorilla F on rooli luokan C objektien ja morfismien merkitsemisenä luokan J kannalta . Suurin mielenkiinto on tapaus, jossa J  on pieni tai äärellinen luokka. Tässä tapauksessa kaaviota F  : J → C kutsutaan pieneksi tai äärelliseksi.

Olkoon  F  : J → C tyypin J kaavio luokassa C . Kartio F :n päällä  on objekti N C : ssä yhdessä morfismiperheen ψ X  : N → F ( X ) kanssa, jotka on indeksoitu luokan J objekteilla X siten, että mille tahansa morfismille f  : X → Y J : ssä on totta, että F on totta. ( f ) o ψ X = ψ Y.

Kaavion F  : J → C raja  on kartio ( L , φ) F :n yli siten, että millä tahansa kartiolla ( N , ψ) yli F on ainutlaatuinen morfismi u  : N → L siten, että φ X o u = ψ X kaikille X - J . [yksi]

Koliliitin käsite  määritellään samalla tavalla – kaikki nuolet on käännettävä ylösalaisin. Nimittäin:

Kaavion F  : J → C kookoni on luokan C  kohde N yhdessä morfismiperheen kanssa:

jokaiselle J :n X :lle siten, että ψ Y o F ( f ) = ψ X on totta mille tahansa morfismille f  : X → Y J : ssä .

Kaavion F  : J → C  kolliitti on kookoskartio ( L , φ ) siten, että millä tahansa muulla kookolla ( N , ψ) on ainutlaatuinen morfismi u  : L → N siten, että u o φ X = ψ X kaikille X J. _ _

Kuten kaikki universaalit objektit, rajoja ja kolimitteja ei aina ole olemassa, mutta jos ne ovat olemassa, ne määritellään isomorfismiin asti.

Esimerkkejä rajoituksista

Kategorisen rajan määritelmä on riittävän laaja yleistääkseen muita usein käytettyjä kategorisia rakenteita. Esimerkeissä tarkastellaan kaavion F rajaa ( L , φ )  : J → C.

• pääteobjekteja. Jos J  on tyhjä luokka, C :ssä on vain yksi J -tyypin kaavio,  tyhjä. Tyhjän kaavion päällä oleva kartio on yksinkertaisesti mikä tahansa luokan C kohde . F :n yläpuolella oleva raja  on mikä tahansa sellainen objekti, johon on ainutlaatuinen morfismi mistä tahansa objektista, toisin sanoen pääteobjektista.
• Taideteoksia . Tässä J on diskreetti luokka (ilman morfismeja), ja funktorin F  määrittelemä diagrammi on J :llä indeksoitu  objektien C perhe ja raja on niiden tulo yhdessä tekijöihin kohdistuvien projektioiden kanssa, projektiot muodostavat morfismien perheen määritelmästä kartio.
• Taajuuskorjain . Tässä J  on kahden kohteen ja kahden rinnakkaisen morfismin luokka, sitten F  on kaksi rinnakkaista morfismia ja raja on niiden taajuuskorjain.
  • Ydin  on taajuuskorjaimen erikoistapaus, jossa yksi morfismeista on nolla.
• Karteesinen neliö . Tässä J koostuu kolmesta oliosta ja morfismista ensimmäisestä ja toisesta oliosta kolmanteen.
• Jos J  on yhden elementin luokka ja identiteettimorfismi, niin raja on se elementti, johon J on kartoitettu .
• Topologiset rajat. Toimintojen rajat ovat suodatinrajojen erikoistapaus , jotka liittyvät kategorisiin rajoihin seuraavalla tavalla. Tarkastellaan annetussa topologisessa avaruudessa X F ,  joukko suodattimia X , piste x ∈ X , V ( x ) ∈ F  , lähialueiden suodatin x , A ∈ F  , jokin tietty suodatin ja  joukko ohuempia suodattimia kuin A ja konvergoimassa x :ään . Suodattimilla F voidaan määritellä luokkarakenne sanomalla, että nuoli A → B on olemassa silloin ja vain jos A ⊆ B . Pesäytymisestä tulee funktionaali ja seuraava väite pitää paikkansa: x  on A :n topologinen raja jos ja vain jos A  on kategorinen raja. [2]

Ominaisuudet

Olemassaolo

Kategorialla sanotaan olevan J -tyypin rajat, jos jollakin tyypin J kaaviolla on raja.

Luokkaa kutsutaan täydelliseksi , jos sillä on raja mille tahansa pienelle kaaviolle (eli kaaviolle, jonka elementit muodostavat joukon). Äärimmäisen täydelliset ja täydentävät kategoriat määritellään samalla tavalla.

Yleinen ominaisuus

Tarkastellaan luokkaa C kaaviolla J . Funktorit C J voidaan ajatella tyypin J kaavioiden kategoriana C :ssä . Diagonaalifunktio  on funktori, joka kuvaa luokan C alkion N vakiofunktioksi Δ( N ) : J → C , joka kuvaa kaiken N .

Kun kaavio F : J → C (ymmärretään objektina C J ), luonnollinen muunnos ψ : Δ( N ) → F (ymmärretään luokan C J morfismina ) on sama kuin kartio N :stä F :hen . ψ :n komponentit  ovat morfismeja ψ X  : N → F ( X ) . Rajan ja koliitin määritelmät voidaan kirjoittaa uudelleen muotoon [3] :

• F :n raja  on yleisnuoli välillä Δ arvoon F .
• Koliliitti F  on universaali nuoli F :stä Δ :hen .

Funktiot ja rajat

Funktori G  : C → D indusoi kartoituksen Cone( F ) -kartiosta kartioon( GF ) . G säilyttää rajat F :ssä, jos ( GL , G φ) on GF :  n raja , kun ( L , φ) on F :  n raja [4] . Funktori G säilyttää kaikki tyypin J rajat, jos se säilyttää kaikkien kaavioiden F  : J → C rajat . Voidaan esimerkiksi sanoa, että G säilyttää tulot, taajuuskorjaimet jne. Jatkuva funktori  on funktori, joka säilyttää kaikki pienet rajat. Samanlaiset määritelmät otetaan käyttöön koliiteille.

Tärkeä adjointfunktiontorien ominaisuus on  , että jokainen oikea adjunktiivinen funktori on jatkuva ja jokainen vasen adjunktiivinen funktori on äärellisen jatkuva [5] .

Funktori G  : C → D nostaa rajat kaaviolle F  : J → C , jos se tosiasia, että ( L , φ) on GF :  n raja , viittaa siihen, että F :ssä on olemassa raja ( L ′, φ′) siten , että G ( L ′, φ′) = ( L , φ) [6] . Funktori G nostaa tyypin J rajoja, jos se nostaa rajoja kaikille tyypin J kaavioille . Koliiteille on kaksi määritelmää.

Muistiinpanot

1. ↑ Goldblatt, 1983 , s. 70-71.
2. ↑ Mathematics Stack Exchange, Stephan F. Kroneckin vastaus . Haettu 6. huhtikuuta 2014. Arkistoitu alkuperäisestä 1. toukokuuta 2013. (määrätön)
3. ↑ McLane, 2004 , s. 81, 83.
4. ↑ McLane, 2004 , s. 137.
5. ↑ McLane, 2004 , s. 140.
6. ↑ Adamek, 1990 , s. 227.

Kirjallisuus

• McLane S. Luku 3. Universaalit rakenteet ja rajat // Categories for the working mathematician = Categories for the working mathematician / Per. englannista. toim. V. A. Artamonova. - M . : Fizmatlit, 2004. - S. 68-94. — 352 s. — ISBN 5-9221-0400-4 .

• R. Goldblatt. Topoi. Kategorinen logiikan analyysi. - M .: Mir, 1983. - 487 s.
• Adámek, Jiří, Herrlich, Horst ja Strecker, George E. Abstract and Concrete Categories . — 1990. Alunperin julkaistiin. John Wiley & Sons. ISBN 0-471-60922-6 . (nyt ilmainen online-versio).