Chi-jakelu

chi-jakelu
Todennäköisyystiheys
jakelutoiminto
Vaihtoehdot	$k>0\,$ (vapauden asteet)
Kuljettaja	$x\in [0,\infty )$
Todennäköisyystiheys	${\frac {1}{2^{(k/2)-1}\Gamma (k/2)))\;x^{k-1}e^{-x^{2}/2 }$
jakelutoiminto	$P(k/2,x^{2}/2)\,$
Odotettu arvo	$\mu ={\sqrt {2}}\,{\frac {\Gamma ((k+1)/2)}{\Gamma (k/2)))$
Mediaani	noin ${\displaystyle {\sqrt {k{\bigg (}1-{\frac {2}{9k}}{\bigg )}^{3))))$
Muoti	${\sqrt {k-1}}\,$ jos $k\geq 1$
Dispersio	$\sigma ^{2}=k-\mu ^{2}\,$
Epäsymmetriakerroin	$\gamma _{1}={\frac {\mu }{\sigma ^{3))}\,(1-2\sigma ^{2})$
Kurtoosikerroin	${\frac {2}{\sigma ^{2}}}(1-\mu \sigma \gamma _{1}-\sigma ^{2})$
Differentiaalinen entropia	$\ln(\Gamma (k/2))+\,$ ${\frac {1}{2}}(k\!-\!\ln(2)\!-\!(k\!-\!1)\psi _{0}(k/2) )$
Hetkien funktion luominen	Katso tekstistä
ominaista toimintoa	Katso tekstistä

Chi-jakauma on satunnaismuuttujan jatkuva todennäköisyysjakauma, joka on riippumattomien normaalien satunnaismuuttujien neliösumman neliöjuuri. Se liittyy khin neliöjakaumaan ja on lain mukaan jakautuneen satunnaismuuttujan neliöjuuren jakauma . $\chi ^{2}$

Jos ne ovat itsenäisiä, normaalijakautuneita satunnaismuuttujia, joiden matemaattinen odotusarvo (keskiarvo) on nolla ja varianssi on 1, tilastot ${\displaystyle Z_{1},\ldots ,Z_{k))$

{\displaystyle Y={\sqrt {\sum _{i=1}^{k}Z_{i}^{2))))

jaetaan chi-lain mukaan. Vastaavasti, jos keskihajonnan estimaatti jaetaan arvolla , jossa on khi-jakauman keskiarvo, saadaan normaalijakauman keskihajonnan puolueeton arvio. Chi-jakaumassa on yksi parametri - , joka määrittää vapausasteiden lukumäärän (eli numeron ). $s$ $\mu _{1}/{\sqrt {n-1))$ ${\displaystyle \mu _{1))$ $k$ $Z_{i}$

Tunnetuimmat esimerkit ovat Rayleigh-jakauma (vapausasteiden lukumäärä on kaksi) ja Maxwell-Boltzmann-tilasto (vapausasteiden lukumäärä on kolme).

Määritelmä

Todennäköisyystiheys

Chi-jakauman todennäköisyystiheys on

f(x;k)={\begin{cases}{\dfrac {x^{k-1}e^{-x^{2}/2}}{2^{k/2-1} \Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)}},&x\geqslant 0;\\0,&x<0.\end{cases}}

missä on gammafunktio . $\Gamma(z)$

Jakelufunktio

Jakelufunktio on:

F(x;k)=P(k/2,x^{2}/2)\,

missä on regularisoitu gammafunktio . $P(k,x)$

Luodaan funktioita

Momenttien generoiva funktio on:

M(t)=M\left({\frac {k}{2)),{\frac {1}{2)),{\frac {t^{2}}{2}}\oikea )+t{\sqrt {2}}\,{\frac {\Gamma ((k+1)/2)}{\Gamma (k/2)))M\left({\frac {k+1} {2)),{\frac {3}{2)),{\frac {t^{2}}{2}}\right),

missä on rappeutunut Kummerin hypergeometrinen funktio . Tyypillinen toiminto on: ${\näyttötyyli M(a,b,z)}$

\varphi (t;k)=M\left({\frac {k}{2)),{\frac {1}{2)),{\frac {-t^{2)){2 }}\oikea)+it{\sqrt {2}}\,{\frac {\Gamma ((k+1)/2)}{\Gamma (k/2)))M\left({\frac { k+1}{2)),{\frac {3}{2)),{\frac {-t^{2}}{2}}\right).

Ominaisuudet

Moments

Momentit lasketaan kaavalla:

\mu _{j}=2^{j/2}{\frac {\Gamma ((k+j)/2)}{\Gamma (k/2)))

missä on gammafunktio . Ensimmäiset kuusi hetkeä annetaan seuraavilla kaavoilla: $\Gamma(z)$

\mu _{1}={\sqrt {2}}\,\,{\frac {\Gamma ((k\!+\!1)/2)}{\Gamma (k/2)} }

\mu _{2}=k\,

\mu _{3}=2{\sqrt {2}}\,\,{\frac {\Gamma ((k\!+\!3)/2)}{\Gamma (k/2) }}=(k+1)\mu _{1}

\mu _{4}=k(k+2)\,

\mu _{5}=4{\sqrt {2}}\,\,{\frac {\Gamma ((k\!+\!5)/2)}{\Gamma (k/2) }}=(k+1)(k+3)\mu _{1}

\mu _{6}=k(k+2)(k+4)\,

jossa oikeanpuoleiset lausekkeet saadaan käyttämällä gammafunktion toistuvuusrelaatiota :

\Gamma (x+1)=x\Gamma (x)\,

Myös näistä lausekkeista voidaan saada seuraavat kaavat:

Keskimääräinen : $\mu ={\sqrt {2}}\,\,{\frac {\Gamma ((k+1)/2)}{\Gamma (k/2)))$

Varianssi : - kahden ensimmäisen hetken lausekkeista. $\sigma ^{2}=k-\mu ^{2}\,$

Epäsymmetriakerroin : $\gamma _{1}={\frac {\mu }{\sigma ^{3))}\,(1-2\sigma ^{2})$

Kurtoosikerroin : $\gamma _{2}={\frac {2}{\sigma ^{2))}(1-\mu \sigma \gamma _{1}-\sigma ^{2})$

Entropia

Differentiaalientropia saadaan kaavasta:

S=\ln(\Gamma (k/2))+{\frac {1}{2))(k\!-\!\ln(2)\!-\!(k\!-\ !1)\psi ^{0}(k/2))

missä on polygamma-funktio . $\psi ^{0}(z)$

Suhde muihin jakeluihin

Jos , niin ( khin neliön jakauma ) ${\displaystyle X\sim \chi _{k))$ ${\displaystyle X^{2}\sim \chi _{k}^{2))$
$\lim _{k\to \infty }{\tfrac {\chi _{k}-\mu _{k)){\sigma _{k))}{\xrightarrow {d))\ N( 0,1)\,$ ( normaalijakauma )
Jos , niin $X\sim N(0,1)\,$ $|X|\sim \chi _{1}\,$
Jos , niin ( seminormaalijakauma ) mille tahansa $X\sim \chi _{1}\,$ $\sigma X\sim HN(\sigma )\,$ $\sigma >0\,$
$\chi _{2}\sim \mathrm {Rayleigh} (1)\,$ ( Rayleigh - jakelu )
$\chi _{3}\sim \mathrm {Maxwell} (1)\,$ ( Maxwell - jakelu )
$\|{\boldsymbol {N}}_{i=1,\ldots ,k}{(0,1)}\|_{2}\sim \chi _{k}$ ( tavallisten normaalien satunnaismuuttujien toinen normi on chi-jakauma vapausasteilla) $k$ $k$
Chi-jakauma on gamma-jakauman , Nakagami -jakauman ja ei-keskeisen chi-jakauman erikoistapaus .

Chi- ja khin neliöjakaumien tyypit

Nimi	Tilastot
chi-neliöjakauma	$\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}-\mu _{i}}{\sigma _{i}}}\oikea)^{2}$
ei-keskinen chi-neliöjakauma	$\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}}{\sigma _{i}}}\oikea)^{2}$
chi-jakelu	${\sqrt {\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}-\mu _{i)){\sigma _{i))}\oikea) ^{2}}}$
ei-keskeinen chi-jakelu	${\sqrt {\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}}}$

Katso myös

Nakagami jakelu

Kirjallisuus

Martha L. Abell, James P. Braselton, John Arthur Rafter, John A. Rafter, Statistics with Mathematica (1999), 237f.
Jan W. Gooch, Encyclopedic Dictionary of Polymers voi. 1 (2010), liite E, s. 972 .

Linkit

http://mathworld.wolfram.com/ChiDistribution.html