Ars Magna (Cardano)

Ars Magna
lat. Artis magnae, sive de reguls algebraicis

Tekijä	Gerolamo Cardano
Alkuperäinen kieli	latinan kieli
Alkuperäinen julkaistu	1545

" Ars Magna " ( latinasta - "Suuri taide") on latinaksi kirja algebrasta , jonka on kirjoittanut italialainen matemaatikko Gerolamo Cardano , 1500-luvun suurin algebrasti [1] . Se julkaistiin ensimmäisen kerran vuonna 1545 nimellä Artis Magnae, Sive de Regulis Algebraicis ( Suuri taide tai Algebran säännöt ). Cardanon elinaikana julkaistiin toinen, suurennettu painos, joka julkaistiin vuonna 1570. Tässä kirjassa ratkaistiin (suurelta osin) ongelma, jota maailman parhaat matemaatikot eivät kyenneet selviytymään kahteen vuosituhanteen - kolmannen ja neljännen asteen yhtälöiden juuret löytyivät eksplisiittisessä (algebrallisessa) muodossa ( Cardano kaavat ) [2] .

Cardanon kaavojen sovellettu arvo ei ollut liian suuri, sillä matemaatikot olivat jo tuolloin kehittäneet numeerisia menetelmiä minkä tahansa asteen yhtälöiden juurien laskemiseen hyvällä tarkkuudella. Cardanon kirja oli kuitenkin uuden Euroopan matemaatikon ensimmäinen työ, joka ei sisältänyt yhteenvetoa aiemmin tunnetuista tuloksista, vaan uuden teoreettisen menetelmän löytämisestä, jota kreikkalaiset tai islamilaiset matemaatikot eivät tunteneet . Tämä menestys inspiroi eurooppalaiset matemaatikot uusiin saavutuksiin, joita ei ollut hidasta seurata [3] .

Cardanon kaavoista tuli myös perusta yhden tärkeimmistä matemaattisista objekteista - kompleksiluvuista [4] . Lisäksi Cardanon kirja aloitti pitkän historian tutkimusta yhtälöiden ratkaisemisesta radikaaleilla , mikä johti Evariste Galoisin luomaan ryhmäteorian kolme vuosisataa myöhemmin . Siksi Oistin Ore kutsui tätä teosta modernin algebran alkajaksi ja yhdeksi varhaisen renessanssin kolmesta suurimmasta tieteellisestä kirjasta yhdessä Kopernikuksen tutkielmien " Taivaan pallojen pyörimisestä " ja " Ihmiskehon rakenteesta " kanssa. kirjoittanut Vesalius . Kaikkien näiden kolmen kirjan ensimmäiset painokset ilmestyivät vuosina 1543-1545 ja merkitsivät matematiikan, tähtitieteen ja lääketieteen tieteellisen vallankumouksen alkua [ 5 ] [ 3 ] .

Historia

Vuonna 1535 italialainen matemaatikko Niccolo Tartaglia tuli tunnetuksi siitä, että hän löysi tavan ratkaista eksplisiittisesti kuutioyhtälöitä , joiden muoto ja missä (negatiivisia lukuja pidettiin silloin virheellisinä, joten näiden kahden yhtälötyypin katsottiin olevan merkittävästi erilaisia). Ensimmäisen näistä kahdesta yhtälötyypistä ratkaisi jonkin verran aikaisemmin del Ferro , joka piti menetelmänsä salassa, mutta Tartaglia teki itsenäisesti samanlaisen löydön ja laajensi tämän menetelmän molempiin tämäntyyppisiin yhtälöihin [6] . $x^{3}+ax=b$ $x^{3}=ax+b,$ $a,b>0$

Vuonna 1539 milanolainen matemaatikko Gerolamo Cardano pyysi Tartagliaa paljastamaan menetelmänsä hänelle. Pienen vastustuksen jälkeen Tartaglia suostui, mutta pyysi Cardanoa olemaan jakamatta tätä tietoa kenenkään kanssa ennen kuin hän julkaisi ne itse. Muutaman seuraavan vuoden aikana Cardano työskenteli Tartaglian kaavan laajentamiseksi muun tyyppisiin kuutioyhtälöihin. Lisäksi hänen oppilaansa Lodovico Ferrari löysi tavan ratkaista neljännen asteen yhtälöitä . Koska Tartaglia ei pyrkinyt julkaisemaan menetelmäään (ja lisäksi del Ferron prioriteetti paljastui), Cardano piti itseään vapaana velvollisuuksista ja julkaisi oman teoksensa, samalla kun rehellisesti katsoi Tartaglian ja del Ferron tekijän. Siitä huolimatta historiallisesti tätä algoritmia on kutsuttu " Cardano-kaavaksi " [7] .

Työn sisältö

Kirja, joka on jaettu neljäänkymmeneen lukuun, sisältää yksityiskohtaisen kuvauksen kuutioyhtälöiden algebrallisen ratkaisun menetelmästä sekä apukuutioyhtälön avulla ja neljännen asteen . Esipuheessa Cardano myönsi, että Tartaglia oli kaavan kirjoittaja ja että saman kaavan löysi del Ferro . Hän sanoi myös, että hänen oppilaansa Ferrari [8] löysi menetelmän neljännen asteen yhtälöiden ratkaisemiseksi .

Monijuuren käsite esiintyy ensimmäistä kertaa Ars Magnassa ( luku I). Cardano tiesi mahdollisuudesta, että kuutioyhtälöllä on kolme reaalijuurta, ja myös, että näiden juurien summa on yhtä suuri (absoluuttisena arvona) kertoimen kanssa (yksi Vietan kaavoista ) [9] . Negatiivisia juuria Cardano kutsuu tuon ajan hengessä "fiktiivisiksi" ( fictae ), vaikka hän otti ne huomioon yhtälöitä analysoidessaan ja käytti niitä joskus välikeinoina saadakseen "todellisen" (positiivisen) tuloksen. Kauan ennen Descartesia hän muotoili " merkkien säännön " [10] . Hän tietää myös tosiasian, joka on myöhemmin yleistetty ja nimeltään Bezoutin lause : polynomi on jaollinen ilman jäännöstä binomilla, jossa on yksi juurista [8] . $x^{2}$ $p(x)$ $xr,$ $r$ $p(x)$

Käsitelmän alussa Cardano selittää, kuinka yleisen muodon kuutioyhtälö pelkistetään: kanoniseen muotoon (ilman termiä ). Koska tuolloin negatiivisia kertoimia ei tunnistettu, hänen oli harkittava kolmetoista erilaista kuutioyhtälöä (luvut XI-XXIII). Seuraavissa luvuissa kappaleeseen XXXVIII asti esitetään menetelmiä kuutioyhtälön likimääräiseen numeeriseen ratkaisuun sointumenetelmällä [8] . $ax^{3}\pm bx^{2}\pm cx\pm d=0$ ${\displaystyle bx^{2))$

Nykyaikaisessa merkinnässä Cardanon kaava yhtälön kolmelle juurelle on: $x^{3}+px+q=0$

x_{1,2,3}={\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4} }+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}+{\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {{\frac { q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}},

Cardano, kuten Tartaglia ennenkin, jättää avoimeksi kysymyksen, mitä tehdä kuutioyhtälölle, jolle , minkä vuoksi neliöjuuren alle saadaan negatiivinen luku. Esimerkiksi luvussa I on annettu yhtälö, jolle Cardano ei kuitenkaan koskaan soveltanut kaavaansa sellaisissa tapauksissa. Paradoksaalisesti vain tämä "monimutkaisin" tapaus vastaa "todellisinta" yhtälön juurijoukkoa - kaikki kolme juuria osoittautuvat todellisiksi. Pian tämän tilanteen analyysi (kutsuttiin Casus irreducibilisiksi , "vähentämätön tapaus") johti uuden numeroluokan laillistamisen alkuun; kompleksilukujen aritmetiikka paljastettiin ensin Algebrassa Bombellin toimesta (1572) ja Albert Girardin tutkielmassa A New Discovery in Algebra (1629) [3] . $q^{2}/4+p^{3}/27<0,$ $x^{3}+9=12x$ $q^{2}/4+p^{3}/27=-175.$

Ars Magna sisältää ensimmäisen esiintymän kompleksilukujen matematiikassa (luku XXXVII), mutta sitä ei ole vielä liitetty Cardanon kaavoihin. Cardano esitti seuraavan ongelman [11] : etsi kaksi lukua , joiden summa on 10 ja joiden tulo on 40. Vastaus: Cardano kutsui tätä ratkaisua "sofistiseksi", koska hän ei nähnyt siinä mitään todellista merkitystä, mutta kirjoitti rohkeasti "sitä huolimatta me" ll toimii" ja laskivat muodollisesti, että heidän tuotteensa on todellakin 40. Cardano sanoo sitten, että tämä vastaus on "yhtä hienovarainen kuin hyödytön". $a,b$ $a=5+{\sqrt {-15));b=5-{\sqrt {-15)).$

Luku XXXIX on omistettu neljännen asteen yhtälöille, joissa tarkastellaan samalla tavalla 20 lajiketta, joilla on positiiviset kertoimet.

Tekstiä Internetissä

Ars Magna PDF-muodossa (lat.)
Cardano, Gerolamo . Ars magna eli Algebran säännöt . - Dover, 1993. - 308 s. - ISBN 0-486-67811-3 . (Englanti)

Muistiinpanot

↑ Guter, 1980 , s. 151.
↑ Gindikin S. G. Tarinoita fyysikoista ja matemaatikoista. - M .: Nauka, 1982. - (Raamattu "Quantum", numero 14).
↑ 1 2 3 Matematiikan historia, osa I, 1970 , s. 295-296.
↑ Gindikin, 2001 , s. 27-29.
↑ Englanninkielinen käännös, 1993 , Esipuhe.
↑ Guter, 1980 , s. 153-156.
↑ MacTutor .
↑ 1 2 3 Rybnikov, 1960-1963 , s. 119-120.
↑ Nikiforovski, 1979 , s. 80.
↑ Guter, 1980 , s. 160, 164-165.
↑ Nikiforovski, 1979 , s. 81.

Kirjallisuus

Gindikin S. G. Suuri taide // Tarinoita fyysikoista ja matemaatikoista. - 3. painos, laajennettu. - M. : MTSNMO , 2001. - S. 8-42. — 448 s. — ISBN 5-900916-83-9 .
Guter R. S., Polunov Yu. L. Girolamo Cardano. - M . : Tieto , 1980. - 192 s. - ( Tieteen ja teknologian luojat ).
Matematiikan historia. Muinaisista ajoista uuden ajan alkuun // Matematiikan historia / Toimittanut A.P. Yushkevich , kolmessa osassa. - M .: Nauka, 1970. - T. I. - 352 s.
Nikiforovski V. A. XVI-XVII vuosisadan algebran historiasta. - M .: Science , 1979. - S. 42-88. — 208 s. — (Tieteen ja tekniikan historia).
Rybnikov K. A. Matematiikan historia kahdessa osassa. - M .: Toim. Moskovan valtionyliopisto, 1960-1963. - T. 1.

Linkit

Ars magna: Suuri taide . Matematiikan historia . Käyttöönottopäivä: 22.4.2021. (määrätön)
John J. O'Connor ja Edmund F. Robertson . Girolamo Cardano (englanniksi) on elämäkerta MacTutor- arkistossa .

Sanakirjat ja tietosanakirjat	Suuri katalaani
Bibliografisissa luetteloissa	LCCN : n2012030695 VIAF : 250780129 WorldCat VIAF : 250780129