Casus irreducibilis

Casus irreducibilis ( latinaksi " pelkistymätön tapaus") on tapaus, joka voi syntyä ratkaistaessa kuutioyhtälöä kokonaislukukertoimilla , kun juuret ilmaistaan radikaaleilla . Nimittäin, jos kuutiopolynomi on redusoitumaton rationaalisten lukujen ylija sillä on kolme todellista juuria, niin juurten ilmaisemiseksi radikaalien kautta täytyy ottaa käyttöön kompleksiarvoisia lausekkeita, vaikka lausekkeiden tuloksena olevat arvot olisivat todellisia. Tämän todisti Pierre Wantzel vuonna 1843 [1] .

Cardanon kaavan erottaja

On mahdollista määrittää , kuuluuko tietty kuutiopolynomi casus irreducibilis -tapauksen alle käyttämällä Cardanon kaavan [2] [3 ] diskriminanttia D. Olkoon kuutioyhtälö muodossa

ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0.\,

Algebrallisessa ratkaisussa esiintyvä diskriminantti D saadaan kaavalla

D=18abcd-4b^{3}d+b^{2}c^{2}-4ac^{3}-27a^{2}d^{2}.\,

Jos , niin polynomilla on kaksi kompleksista juuria, joten tämä tapaus ei kuulu casus irreducibilisin alle . $D<0$
Jos , niin todellisia juuria on kolme, joista kaksi on yhtä suuria ja ne voidaan löytää käyttämällä Euklidisen algoritmia ja toisen asteen yhtälön kaavaa . Kaikki juuret ovat todellisia ja niitä ilmaisevat todelliset radikaalit. Polynomi ei ole redusoitumaton. $D = 0$
Jos , niin on kolme erillistä juurta. Joko on olemassa rationaalinen juuri, joka voidaan löytää käyttämällä rationaalijuurilausetta , jolloin kuutiopolynomi voidaan jakaa lineaariseksi ja toisen asteen polynomiksi, toisen juuret löytyvät neliöyhtälön juurien kaavalla . Tai sellaista hajoamista ei ole, joten polynomi kuuluu casus irreducibilisin alle - kaikki juuret ovat todellisia, mutta kompleksiluvut vaaditaan juurien ilmaisemiseksi radikaaleina. $D>0$

Muodollinen lausunto ja todiste

Yleisemmin oletetaan, että F on muodollinen reaalikenttä ja p ( x ) ∈ F [ x ] on kuutiopolynomi, joka on redusoitumaton F :n yli, mutta jolla on kolme reaalijuurta (juuret F :n todellisessa sulkemisessa [ ). Casus irreducibilis väittää sitten , että yhtälölle p ( x ) = 0 on mahdotonta löytää ratkaisua reaaliradikaaleissa.

Todistaaksesi tämän [4] , huomaa, että diskriminantti D on positiivinen. Muodostamme kentän laajennuksen . Koska se on joko F tai kentän F neliöllinen laajennus (riippuen siitä, onko D neliö kentässä F ), pysyy siinä redusoitumattomana. Tästä syystä Galois-ryhmä on syklinen ryhmä . Oletetaan, että yhtälö voidaan ratkaista todellisilla radikaaleilla. Sitten voimme jakaa syklisten laajennusten torniksi $F({\sqrt {D)))$ $p(x)$ $p(x)$ $F({\sqrt {D)))$ $C_{3}$ $p(x)=0$ $p(x)$

F\subset F({\sqrt {D)))\subset F({\sqrt {D)),{\sqrt[{p_{1))]{\alpha _{1))})\ osajoukko \cdots \subset K\subset K({\sqrt[{3}]{\alpha )))

Tornin viimeisellä tasolla on redusoitumaton toiseksi viimeisessä kentässä K , mutta hajoava K :ssä ( 3 √ α ) jollekin α :lle . Mutta tämä on syklisen kentän jatke, ja siksi sen täytyy sisältää primitiivinen ykseyden juuri . $p(x)$

Tosisuljetussa kentässä ei kuitenkaan ole primitiivistä kolmatta ykseyden juuria. Itse asiassa oletetaan, että ω on ykseyden primitiivinen kolmas juuri. Tällöin järjestetyn kentän määrittävien aksioomien mukaan ω, ω 2 ja 1 ovat kaikki positiivisia. Kuitenkin, jos ω 2 >ω, neliöinti antaa 1>1, ristiriita. Saamme myös ristiriidan tapauksessa ω>ω 2 .

Ratkaisu epärealistisissa radikaaleissa

Cardanon päätös

Yhtälö voidaan pelkistää pelkistetyksi trinomiksi jakamalla ja korvaamalla ( Tschirnhaus Transform ), mikä antaa yhtälön , jossa $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$ $a$ $x=t-{\tfrac {b}{3a))$ $t^{3}+pt+q=0$

p={\frac {3ac-b^{2}}{3a^{2}}}

q={\frac {2b^{3}-9abc+27a^{2}d}{27a^{3}}}.

Sitten, riippumatta todellisten juurien lukumäärästä, Cardano-menetelmän mukaan yhtälö antaa kolme juuria

t_{k}=\omega _{k}{\sqrt[{3}]{-{q \over 2}+{\sqrt {{q^{2} \over 4}+{p^{ 3} \over 27}}}}}}+\omega _{k}^{2}{\sqrt[{3}]{-{q \over 2}-{\sqrt {{q^{2} \ yli 4}+{p^{3} \yli 27}}}}}

jossa ( k =1, 2, 3) on luvun 1 ( , , ja , jossa i on imaginaariyksikkö ) kuutiojuuri . Jos kuutiojuuren alla olevat radikaalilausekkeet eivät ole todellisia, kuutiojuuret ilmaistaan radikaaleilla, jotka määritellään kompleksisten konjugoitujen kuutiojuurien parilla , kun taas kun ne ovat todellisia, nämä kuutiojuuret määrittävät todelliset kuutiojuuret. ${\displaystyle \omega _{k))$ $\omega _{1}=1$ $\omega _{2}=-{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}i$ $\omega _{3}=-{\frac {1}{2}}-{\frac {\sqrt {3}}{2}}i$

Casus irreducibilis esiintyy, kun mikään juurista ei ole rationaalinen ja kun kaikki kolme juuria ovat erillisiä ja todellisia. Tapaus, jossa kaikki kolme todellista juurta ovat erilaisia, syntyy silloin ja vain jos . Tässä tapauksessa Cardanon kaava ottaa ensin negatiivisen luvun neliöjuuren , joka antaa imaginaariluvun , ja ottaa sitten kompleksiluvun kuutiojuuren (tätä kuutiojuurta ei voida saada eksplisiittisesti α :n ja β :n todellisissa juurissa , koska yrittää ilmaista tällä tavalla, vaatii alkuperäisen kuutioyhtälön ratkaisemisen). Huomaa, että jopa pelkistetyssä tapauksessa, jossa yksi kolmesta juuresta on rationaalinen ja siksi polynomia voidaan laajentaa jakamalla polynomit sarakkeella , Cardanon kaava (valinnaisesti tässä tapauksessa) ilmaisee tämän juuren (ja muut) ei-todelliset radikaalit. ${\tfrac {q^{2}}{4}}+{\tfrac {p^{3}}{27}}<0$ $\alpha +\beta i$

Esimerkki

Supistettu kuutioyhtälö

x^{3}-3x+1=0

redusoitumaton, koska jos se voitaisiin ottaa huomioon, olisi olemassa lineaarinen tekijä, joka antaisi rationaalisen ratkaisun, kun taas rationaalisen juuren lauseella ei ole rationaalista juuria. Koska polynomin diskriminantti on positiivinen, yhtälöllä on kolme reaalijuurta, joten tämä on esimerkki casus irreducibilisistä . Cardanon kaava antaa nämä kolme todellista juurta

t_{k}=\omega _{k}{\sqrt[{3}]{-{1 \over 2}+{\sqrt {-3 \over 4))))+\omega _{k }^{2}{\sqrt[{3}]{-{1 \over 2}-{\sqrt {-3 \over 4))))

k =1 , 2, 3. Tämä radikaaliratkaisu käyttää imaginaarilukua ja siten konjugoitujen kompleksilukujen kuutiojuuria . ${\sqrt {-3 \over 4}}$

Ei-algebrallinen ratkaisu reaalisuureiden suhteen

Vaikka casus irreducibilisin tapausta ei voida ratkaista radikaaleilla todellisten arvojen suhteen, ratkaisu voidaan löytää trigonometrisesti [5] . Nimittäin pelkistetyllä kuutioyhtälöllä on ratkaisut $t^{3}+pt+q=0$

t_{k}=2{\sqrt {-{\frac {p}{3))))\cos \left({\frac {1}{3))\arccos \left({\frac { 3q}{2p}}{\sqrt {\frac {-3}{p}}}\right)-k{\frac {2\pi }{3}}\right)\quad

varten

\quad k=0,1,2\,.

Nämä ratkaisut ilmaistaan reaalilukuina jos ja vain jos milloin - eli jos ja vain jos on kolme reaalijuurta. Kaavan mukaan ensin lasketaan tietty kulma, sitten tämä kulma jaetaan kolmella ja sitten lasketaan tuloksena olevan kulman kosini ja kerrotaan lopulta normalisointikertoimella. ${q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27}<0$

Yhteys kulman kolmiosaan

Kolmen todellisen juuren pelkistymättömän ja pelkistymättömän tapauksen ero liittyy mahdollisuuteen tai mahdottomuuteen jakaa kulma rationaalisella sinillä tai kosinilla kolmeen yhtä suureen osaan käyttämällä klassista kompassi- ja suoraviivarakennelmaa . Jos tiedetään, että kulman θ kosinilla on tietty rationaalinen arvo, niin kolmanneksella tästä kulmasta on kosini, joka on yksi yhtälön kolmesta juuresta

4x^{3}-3x-\cos(\theta )=0.

Vastaavasti, jos kulman θ sinillä tiedetään olevan tietty rationaalinen arvo, niin kolmanneksella tästä kulmasta on sini, joka on yksi yhtälön kolmesta juuresta

-4y^{3}+3y-\sin(\theta )=0.

Molemmissa tapauksissa, jos yhtälön rationaalinen juuri voidaan saada rationaalisten juurien lauseesta, x tai y miinus tämä juuri voidaan erottaa yhtälön vasemmalla puolella olevasta polynomista, jolloin jäljelle jää neliöyhtälö, joka voidaan ratkaista saadakseen loput kaksi juurta. Sitten kaikki nämä juuret saadaan klassisella konstruktiolla, koska ne voidaan ilmaista neliöjuurina, niin että tai ovat rakennettavissa, ja sitten vastaava kulma on myös rakennettavissa . Toisaalta, jos rationaalisen juuren lause osoittaa, että rationaalisia juuria ei ole, niin saadaan casus irreducibilis , tai sitä ei voida rakentaa, kulmaa ei voida rakentaa ja kulman θ kolmileikkausta on mahdotonta saada klassisilla menetelmillä . $\cos({\tfrac {\Theta }{3)))$ $\sin({\tfrac {\Theta }{3)))$ ${\tfrac {\Theta }{3))$ $\cos({\tfrac {\Theta }{3)))$ $\sin({\tfrac {\Theta }{3)))$ ${\tfrac {\Theta }{3))$

Yleistys

Casus irreducibilis voidaan yleistää polynomien korkeampiin potenssiin seuraavasti. Olkoon p ∈ F [ x ] redusoitumaton polynomi, joka hajoaa kentän F formaaliin reaalilaajennukseen R (eli p :llä on vain reaalijuuret). Oletetaan , että p :n juuri on , joka on F : n jatke radikaaleilla. Tällöin p : n potenssi on luvun 2 potenssi ja sen jakokenttä on kentän F iteroitu neliölaajennus [6] [7] . $K\subseteq R$

Sitten minkä tahansa redusoitumattoman polynomin, jonka aste ei ole 2:n potenssi ja jonka juuret ovat kaikki todellisia, juuria ei voida ilmaista puhtaasti reaaliradikaaleina. Lisäksi, jos polynomin aste on aste 2 ja kaikki juuret ovat todellisia, niin jos on juuri, joka voidaan ilmaista reaaliradikaaleina, se voidaan ilmaista neliöjuurina eikä suurempia juuria, mikä pätee muihin juuriin. Joten tällaisen polynomin juuret ovat klassisesti rakennettavissa .

Casus irreducibilis viidennen asteen funktiolle käsitellään Dummitin artikkelissa [8]

Muistiinpanot

↑ Wantzel, 1843 , s. 117-127.
↑ Cox, 2012 , s. 15, Lause 1.3.1.
↑ Badiru, Omitaomu, 1952 , s. 2-22.
↑ van der Waerden, 1949 , s. 180.
↑ Cox, 2012 , s. 18–19 Osa 1.3B Kuution trigonometrinen ratkaisu.
↑ Cox, 2012 , s. 222 Lause 8.6.5.
↑ Isaacs, 1985 , s. 571–572.
↑ David S. Dummit Solving Solvable Quintics Arkistoitu 7. maaliskuuta 2012 Wayback Machinessa , sivu 17

Kirjallisuus

Pierre Wantzel. Classification des nombres incommensurables d'origine algébrique (ranska) // Nouvelles Annales de Mathématiques . - 1843. - Voi. 2 . — s. 117–127 .
BL van der Waerden. Moderni algebra . - Frederick Ungar Publ. Co., 1949. - s . 180 .
- B.L. van der Waerden. Algebra. - M . : "Mir", 1976.
David A. Cox. Osio 1.3B Kuution trigonometrinen ratkaisu // Galois'n teoria. - Wiley-Interscience, 2012. - (Puhdas ja sovellettu matematiikka). - ISBN 0-471-43419-1 .
Adedeji B. Badiru, Olufemi A. Omitaomu. Käsikirja teollisuustekniikan yhtälöistä, kaavoista ja laskelmista / Adedeji B. Badiru. - CRC Press, 1952. - (Industrial Innovation Series). — ISBN 978-1-4200-7627-1 .
David A. Cox. Galois'n teoria. – 2. - John Wiley & Sons, 2012. - (Puhdas ja sovellettu matematiikka). — ISBN 978-1-118-07205-9 . - doi : 10.1002/9781118218457 . . Katso erityisesti kohta 1.3 Kuutioyhtälöt reaalilukujen yli (s. 15–22) ja osa 8.6 Casus Irreducibilis (s. 220–227).
Bartel Leendert van der Waerden . Moderni algebra I. - Springer, 2003. - ISBN 978-0-387-40624-4 .
I.M. Isaacs. Polynomien ratkaisu todellisilla radikaaleilla // American Mathematical Monthly . - 1985. - lokakuu ( nide 92 , numero 8 ).

Linkit

casus irreducibilis (englanniksi) PlanetMath- verkkosivustolla .