Liukuva keskiarvo

Liukuva keskiarvo , liukuva keskiarvo ( eng. liukuva keskiarvo , MA ) on yleinen nimi funktioperheelle , jonka arvot kussakin määrittelypisteessä vastaavat jonkin verran alkuperäisen funktion keskiarvoa edelliseltä ajanjaksolta.

Liukuvaa keskiarvoa käytetään yleisesti aikasarjatietojen kanssa tasoittamaan lyhyen aikavälin vaihteluja ja korostamaan tärkeimpiä trendejä tai suhdanteita [1] [2] .

Matemaattisesti liukuva keskiarvo on eräänlainen konvoluutio .

Sovellus

Liukuvaa keskiarvoa käytetään:

Tilastoissa ja taloustieteissä numeeristen sarjojen tasoittamiseen (pääasiassa aikasarjat ). Esimerkiksi BKT :n , työllisyysasteen tai muiden makrotaloudellisten indikaattoreiden arvioimiseksi .
Suunnittelussa , signaalinkäsittelyssä, järjestelmäanalyysissä . Katso liukuva keskiarvo (suodatin) .
Katso teknisessä analyysissä , erillisenä teknisenä indikaattorina tai osana muita työkaluja, katso liukuva keskiarvo (indikaattori) .

Etymologia

Koska liukuvaa keskiarvoa laskettaessa funktion arvo lasketaan joka kerta uudelleen [2] , kun otetaan huomioon aikaisempien arvojen äärellinen merkitsevä [3] joukko, liukuva keskiarvo "liikkuu" (liikkuu), ikään kuin "liukuen". ” aikasarjaa pitkin.

Liukuvan keskiarvon tyypit

Yleinen tapaus

Yleensä painotetut liukuvat keskiarvot lasketaan kaavalla [2] :

{\textit {WWMA}}_{t}=\sum _{{i=0}}^{{n-1}}w_{{ti}}\cdot p_{{ti}},

(WWMA 1) missä on painotetun liukuvan keskiarvon arvo pisteessä ;

{\textit {WWMA}}_{t}

t

n

— alkuperäisen funktion arvojen lukumäärä liukuvan keskiarvon laskemiseksi;

w_{{ti}}

on alkuperäisen funktion :nnen arvon normalisoitu paino (painokerroin) ;

ti

p_{{ti}}

on alkuperäisen funktion arvo ajanhetkellä, joka on aikavälin päässä nykyisestä.

i

Painokertoimien normalisointi tarkoittaa, että [2] :

\sum _{{i=0}}^{{n-1}}w_{{ti}}=1.

Yllä oleva kaava mielivaltaisilla painokertoimien arvoilla voidaan kirjoittaa uudelleen seuraavasti:

{\textit {WWMA}}_{t}={\frac {\sum _{{i=0}}^{{n-1}}W_{{ti}}\cdot p_{{ti}}}{ \sum _{{i=0}}^{{n-1}}W_{{ti}}}},

(WWMA2) missä on painotetun liukuvan keskiarvon arvo pisteessä ;

{\textit {WWMA}}_{t}

t

n

— alkuperäisen funktion arvojen lukumäärä liukuvan keskiarvon laskemiseksi;

W_{{ti}}

on alkuperäisen funktion :nnen arvon paino (painokerroin) ;

ti

p_{{ti}}

on alkuperäisen funktion arvo ajanhetkellä, joka on aikavälin päässä nykyisestä.

i

Kaavoissa (WWMA 1) ja (WWMA 2) olevat painokertoimet liittyvät seuraavasti:

w_{{ti}}={\frac {W_{{ti}}}{\sum _{{i=0}}^{{n-1}}W_{{ti}}}}.

Usein käytetään joko 1:tä painona (yksinkertaiselle liukuvalle keskiarvolle - SMA ) tai muodollista sarjaa, esimerkiksi aritmeettista progressiota ( WMA ) tai eksponentiaalifunktiota ( EMA ). Mutta niihin liittyvien aikasarjojen arvot voivat toimia myös painotustekijänä. Esimerkiksi vaihtohintojen painottamiseksi transaktiovolyymien ( VMA ) mukaan arvona on pidettävä instrumentin transaktiohintaa ja senhetkistä volyymia : $p_{{ti}}$ $W_{{ti}}=V_{{ti}}$ $ti$

{\textit {VMA}}_{t}={\frac {\sum _{{i=0}}^{{n-1}}V_{{{ti}}\cdot p_{{ti}}}{ \sum _{{i=0}}^{{n-1}}V_{{ti}}}}.

Yksinkertainen liukuva keskiarvo

Yksinkertainen liukuva keskiarvo tai aritmeettinen liukuva keskiarvo ( eng. yksinkertainen liikkuva keskiarvo , eng. SMA ) on numeerisesti yhtä suuri kuin alkuperäisen funktion aritmeettinen keskiarvo tietyltä ajanjaksolta [1] ja se lasketaan kaavalla [2 ] :

{\textit {SMA}}_{t}={\frac {1}{n}}\sum _{i=0}^{n-1}p_{ti}=

={\frac {p_{t}+p_{t-1}+\cdots +p_{ti}+\cdots +p_{t-n+2}+p_{t-n+1}}{ n}},

missä on yksinkertaisen liukuvan keskiarvon arvo pisteessä ;

{\textit {SMA}}_{t}

t

n

- alkuperäisen funktion arvojen lukumäärä liukuvan keskiarvon laskemiseksi (tasoitusväli [1] ), mitä leveämpi tasoitusväli, sitä tasaisempi funktion kuvaaja [1] ;

p_{{ti}}

on alkuperäisen funktion arvo pisteessä .

ti

Tuloksena oleva yksinkertaisen liukuvan keskiarvon arvo viittaa valitun intervallin keskikohtaan [1] , mutta perinteisesti sitä viitataan intervallin viimeiseen pisteeseen [2] .

Sen aikaisemmasta arvosta voidaan saada yksinkertainen liukuva keskiarvo käyttämällä seuraavaa rekursiivista kaavaa [2] :

{\textit {SMA}}_{t}={\textit {SMA}}_{{t-1}}-{\frac {p_{{tn}}}{n}}+{\frac {p_{ {t}}}{n}},

missä - yksinkertaisen liukuvan keskiarvon arvo pisteessä , - yksinkertaisen liukuvan keskiarvon edellinen arvo;

{\textit {SMA}}_{t}

t

{\textit {SMA}}_{{t-1}}

p_{{tn}}

- alkuperäisen funktion arvo pisteessä (aikasarjan tapauksessa alkuperäisen funktion "aikaisin" arvo, jota käytettiin edellisen liukuvan keskiarvon laskemiseen);

tn

p_{{t}}

- tutkittavan funktion arvo pisteessä (aikasarjan tapauksessa nykyinen arvo on viimeinen arvo).

t

Tätä kaavaa on kätevä käyttää kaikkien arvojen säännöllisen summauksen välttämiseksi.

Esimerkiksi yksinkertainen liukuva keskiarvo aikasarjalle, jossa on 10 jaksoa, lasketaan seuraavasti:

{\textit {SMA}}_{t}={\frac {p_{t}+p_{t-1}+p_{t-2}+p_{t-3}+p_{t-4 }+p_{t-5}+p_{t-6}+p_{t-7}+p_{t-8}+p_{t-9}}{10}}=

={\textit {SMA}}_{t-1}-{\frac {p_{t-10}}{10}}+{\frac {p_{t}}{10}},

missä on yksinkertaisen liukuvan keskiarvon arvo pisteessä ;

{\textit {SMA}}_{t}

t

p_{{ti}}

on alkuperäisen funktion arvo ajanhetkellä, joka on aikavälin päässä nykyisestä.

i

Yksinkertaisella liukuvalla keskiarvolla on seuraavat haitat [2] :

Tasa-arvon painotuskerroin 1.
Kaksoisreaktio jokaiseen arvoon (katso rekursiivinen kaava): laskentaikkunaan tullessa ja siitä poistuttaessa.

Painotetut liukuvat keskiarvot

Yleiset määräykset

Joskus liukuvaa keskiarvoa muodostettaessa on suositeltavaa tehdä joistakin alkuperäisen funktion arvoista merkittävämpiä. Jos esimerkiksi oletetaan, että tasoitusvälin sisällä on epälineaarinen trendi [1] , tai aikasarjojen tapauksessa viimeisin - uudempi - data voi olla merkittävämpi kuin aikaisemmat.

Tapahtuu, että alkuperäinen funktio on moniulotteinen, eli sitä edustavat useat yhdistetyt sarjat kerralla. Tässä tapauksessa voi olla tarpeen yhdistää kaikki vastaanotettu data lopulliseen liukuvaan keskiarvofunktioon. Esimerkiksi pörssihintojen aikasarjoja edustaa yleensä kullekin ajanhetkelle vähintään kaksi arvoa - kauppahinta ja sen määrä. Tilavuuspainotetun liukuvan keskihinnan laskemiseen tarvitaan työkalu.

Näissä ja vastaavissa tapauksissa käytetään painotettuja liukuvia keskiarvoja.

Painotettu liukuva keskiarvo

Painotettu liukuva keskiarvo ( eng. painotettu liukuva keskiarvo - eng. WMA ), tarkemmin sanottuna lineaarisesti painotettu liukuva keskiarvo - liukuva keskiarvo, jota laskettaessa alkuperäisen funktion kunkin jäsenen paino pienimmästä alkaen on yhtä suuri kuin vastaava aritmeettisen progression jäsen . Toisin sanoen aikasarjan WMA:ta laskettaessa pidämme alkuperäisen funktion viimeisiä arvoja edellisiä merkitsevämpinä ja merkitsevyysfunktio on lineaarisesti pienenevä.

Esimerkiksi aritmeettiselle progressiolle, jonka alkuarvo ja askel on yhtä suuri kuin 1, liukuvan keskiarvon laskentakaava on muotoa [2] :

{\textit {WMA}}_{t}={\frac {n\cdot p_{t}+(n-1)\cdot p_{t-1}+\cdots +(ni)\cdot p_ {ti}+\cdots +2\cdot p_{t-n+2}+1\cdot p_{t-n+1}}{n+(n-1)+\cdots +(ni)+\cdots +2 +1}}=

={\frac {2}{n\cdot (n+1)}}\sum _{i=0}^{n-1}(ni)\cdot p_{ti},

missä on painotetun liukuvan keskiarvon arvo pisteessä ;

{\textit {WMA}}_{t}

t

n

— alkuperäisen funktion arvojen lukumäärä liukuvan keskiarvon laskemista varten, : : — alkuperäisen funktion arvo aikavälillä, joka on etäisyydellä nykyisestä .

p_{{ti}}

i

Tässä tapauksessa funktion nimittäjä on tässä tapauksessa yhtä suuri kuin kolmioluku - aritmeettisen progression jäsenten summa, jossa on alkujäsen ja askel, joka on yhtä suuri kuin 1:

{\frac {n\cdot (n+1)}{2}}.

Eksponentiaalisesti painotettu liukuva keskiarvo

Eksponentiaalisesti painotettu liukuva keskiarvo , eksponentiaalisesti liukuva keskiarvo ( eng. eksponentiaalisesti painotettu liukuva keskiarvo - eng. EWMA , eng. eksponentiaalinen liukuva keskiarvo - eng. EMA ) - painotetun liukuvan keskiarvon tyyppi, jonka painot pienenevät eksponentiaalisesti eivätkä koskaan ole nolla [3] . Määritetään seuraavalla kaavalla [1] [2] [4] [5] [6] :

{\textit {EMA}}_{t}=\alpha \cdot p_{t}+(1-\alpha )\cdot {\textit {EMA}}_{{t-1}},

missä - eksponentiaalisen liukuvan keskiarvon arvo pisteessä (viimeinen arvo aikasarjan tapauksessa);

{\textit {EMA}}_{t}

t

{\textit {EMA}}_{{t-1}}

- eksponentiaalisen liukuvan keskiarvon arvo pisteessä (aikasarjan tapauksessa edellinen arvo);

t-1

p_{t}

- alkuperäisen funktion arvo ajanhetkellä (viimeinen arvo, jos kyseessä on aikasarja);

t

\alpha

- (tasoitusvakio englanninkielisestä tasoitusvakiosta ) painonpudotuksen nopeutta kuvaava kerroin, ottaa arvon 0 - 1, mitä pienempi sen arvo, sitä suurempi on aikaisempien arvojen vaikutus keskiarvon nykyiseen arvoon.

Eksponentiaalisen liukuvan keskiarvon ensimmäinen arvo on yleensä yhtä suuri kuin alkuperäisen funktion ensimmäinen arvo:

{\textit {EMA}}_{0}=p_{0}.

Kerroin , voidaan valita mielivaltaisesti välillä 0 - 1. Se voidaan ilmaista esimerkiksi keskiarvoikkunana: $\ \alpha$

\ \alpha ={\frac {2}{n+1}}.

Satunnaisen järjestyksen eksponentiaalinen liukuva keskiarvo

Tavallisessa eksponentiaalisessa liukuvassa keskiarvossa alkuperäisen funktion arvot tasoitetaan, mutta tuloksena olevan funktion arvot voidaan myös tasoittaa [2] . Siksi jotkut kirjoittajat määrittelevät mielivaltaisen järjestyksen eksponentiaalisen liukuvan keskiarvon käsitteen [2] , jotka lasketaan kaavalla:

{\textit {EMA}}_{t}^{{(n)}}=\alpha \cdot {\textit {EMA}}_{t}^{{(n-1)))+(1-\ alpha )\cdot {\textit {EMA}}_{{t-1}}^{{(n))),

missä - pisteen :nnen kertaluvun eksponentiaalisen liukuvan keskiarvon arvo (viimeinen arvo aikasarjan tapauksessa);

{\textit {EMA}}_{t}^{{(n)))

n

t

{\textit {EMA}}_{{t-1}}^{{(n)))

- pisteen :nnen kertaluvun eksponentiaalisen liukuvan keskiarvon arvo (aikasarjan tapauksessa edellinen arvo);

n

t-1

{EMA}_{t}^{{(n-1)}}

- pisteen :nnen kertaluvun eksponentiaalisen liukuvan keskiarvon arvo (viimeinen arvo aikasarjan tapauksessa);

(n-1)

t

\alpha

on tasoitusvakio.

Toisen ja kolmannen kertaluvun eksponentiaalisesti painotettuja liukuvia keskiarvoja kutsutaan joskus ]vastaavasti : ${\textit {DMA}}$ ${\tekstit {TMA}}$

{\textit {DMA}}_{t}=\alpha \cdot {\textit {EMA}}_{t}+(1-\alpha )\cdot {\textit {DMA}}_{{t-1} },

{\textit {TMA}}_{t}=\alpha \cdot {\textit {DMA}}_{t}+(1-\alpha )\cdot {\textit {TMA}}_{{t-1} }.

Muokattu liukuva keskiarvo

Modifioitu liukuva keskiarvo ( englannin kielestä modifioitu liukuva keskiarvo - englantilainen MMA ; joskus kutsutaan myös englanninkieliseksi juoksevaksi keskiarvoksi - englantilainen RMA ja englannin tasoitettu liukuva keskiarvo ) määritellään seuraavasti:

{\text{MMA}}_{t}={\frac {p_{t}+(n-1)\cdot {\text{MMA}}_{{t-1}}}{n}},

missä - muokatun liukuvan keskiarvon arvo pisteessä (viimeinen arvo aikasarjan tapauksessa);

{\textit {MMA}}_{t}

t

{\textit {MMA}}_{{t-1}}

- muokatun liukuvan keskiarvon arvo pisteessä (aikasarjan tapauksessa edellinen arvo);

t-1

n

— alkuperäisen funktion arvojen lukumäärä liukuvan keskiarvon laskemiseksi (tasoitusväli).

On helppo nähdä, että muunneltu liukuva keskiarvo on eksponentiaalisen liukuvan keskiarvon erikoistapaus, jonka tasoitusvakio on yhtä suuri kuin tasoitusvälin käänteisluku:

\alpha ={\frac {1}{n}}.

Aiheeseen liittyvät toiminnot

Muihin keskiarvotoimintoihin perustuvat liukusäätimet

Analogisesti aritmeettiseen keskiarvoon perustuvien liukuvien keskiarvojen kanssa voit käyttää muita keskiarvofunktioita ( potenssikeskiarvo : neliökeskiarvo , harmoninen keskiarvo jne.; geometrinen keskiarvo ; mediaani jne.) ja niiden painotettuja vastineita. Tarkka valinta riippuu tutkittavana olevan alkuperäisen toiminnon luonteesta.

Yksinkertainen liikkuva mediaani

Yksinkertainen liikkuva mediaani ( eng. yksinkertainen liikkuva mediaani - eng. SMM ) on funktio, jonka arvo kussakin määrittelypisteessä on numeerisesti yhtä suuri kuin alkuperäisen funktion arvojen mediaani tietyltä ajanjaksolta:

{\textit {SMM}}_{t}={\text{Mediaani}}(p_{t},p_{{t-1}},\ldots ,p_{{t-n+1}}),

missä on yksinkertaisen liikkuvan mediaanin arvo kohdassa ;

{\textit {SMM}}_{t}

t

n

— alkuperäisen funktion arvojen lukumäärä liikkuvan mediaanin (tasoitusvälin) laskemiseksi;

p_{{ti}}

on alkuperäisen funktion arvo pisteessä .

ti

Dynaamiset liukuvat keskiarvot

1990-luvulla ehdotettiin useita liukuvia keskiarvoja, joissa ikkunan leveys (tai tasoituskerroin) muuttuu dynaamisesti, katso esimerkiksi Kaufmanin Adaptive Moving Average .

Kumulatiivinen liukuva keskiarvo

Kumulatiivinen liukuva keskiarvo on numeerisesti yhtä suuri kuin alkuperäisen funktion arvojen aritmeettinen keskiarvo koko havaintojakson ajalta:

{\textit {CA}}_{t}={\frac {1}{t}}\sum _{{i=1}}^{{t}}p_{i}={\frac {p_{t }+p_{{t-1}}+\cdots +p_{{2}}+p_{{1}}}{t}},

missä on kumulatiivinen liukuva keskiarvo tällä hetkellä ;

{\textit {CA}}_{t}

t

t

- laskennassa käytettävissä olevien intervallien lukumäärä;

p_{i}

on alkuperäisen funktion arvo pisteessä

i.

Todellisissa laskelmissa, kun kumulatiivisen liukuvan keskiarvon edellinen arvo tiedetään, pätevät myös seuraavat kaavat:

{\textit {CA}}_{t}={\frac {p_{t}+(t-1)\cdot {\textit {CA}}_{{t-1}}}{t}}={ \textit {CA}}_{{t-1}}+{\frac {p_{t}-{\textit {CA}}_{{t-1}}}{t}},

missä on kumulatiivinen liukuva keskiarvo tällä hetkellä ;

{\textit {CA}}_{t}

t

{\textit {CA}}_{{t-1}}

- kumulatiivinen liukuva keskiarvo tällä hetkellä (aikasarjan tapauksessa edellinen arvo);

t-1

p_{t}

— alkuperäisen funktion arvo ajanhetkellä (aikasarjan tapauksessa viimeinen arvo);

t

t

- laskemiseen käytettävissä olevien intervallien lukumäärä ja

{\textit {CA}}_{0}=0.

Kumulatiivinen määrä

Kumulatiivista liukuvaa keskiarvoa ei pidä sekoittaa kumulatiiviseen summaan , joka lasketaan summaamalla sarjan kaikki arvot juoksevana summana:

{\textit {Cumulative}}_{t}=p_{t}+{\textit {Cumulative}}_{{t-1}}=\sum _{{i=1}}^{{t}}p_ {i}=p_{t}+p_{{t-1}}+\cdots +p_{{2}}+p_{{1}},

missä ovat kumulatiivisen summan nykyiset ja aiemmat arvot;

{\textit {Cumulative}}_{t},{\textit {Cumulative}}_{{t-1}}

p_{i}

on alkuperäisen sarjan arvo tällä hetkellä

i.

Katso myös

Autoregressiivinen malli : Autoregressiivinen malli - liukuva keskiarvo , Liukuva keskiarvo malli
Ikkuna (painotoiminto)

Muistiinpanot

↑ 1 2 3 4 5 6 7 Greshilov A. A., Stakun V. A., Stakun A. A. Matemaattiset menetelmät ennusteiden rakentamiseen. - M .: Radio ja viestintä, 1997. - 112 s. — ISBN 5-256-01352-1 .
↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Bulashev S. V. Tilastot kauppiaille. — M.: Yritys Sputnik+, 2003. — 245 s.
↑ 1 2 Laskettaessa eksponentiaalisesti painotettua liukuvaa keskiarvoa otetaan teoriassa huomioon kaikki aikasarjan arvot, mutta käytännössä jostain pisteestä alkaen alkuarvojen osuus on pienempi kuin laskentavirhe. Siksi ne voidaan jättää huomiotta ja aikaisempien arvojen joukkoa voidaan pitää rajallisena.
↑ Jotkut lähteet käyttävät tämän kaavan "käänteistä" esitystapaa: ${\textit {EMA}}_{t}=(1-\alpha )\cdot p_{t}+\alpha \cdot {\textit {EMA}}_{{t-1}},$ Tämä ei muuta matemaattista merkitystä, mutta sitä käytettäessä ja analysoinnissa on syytä harkita tarkasti kontekstuaalista määritelmää.
↑ Single Exponential Smoothing Arkistoitu 10. maaliskuuta 2011 Wayback Machinessa US National Institute of Standards and Technology -verkkosivustolla .
↑ EWMA -ohjauskaaviot arkistoitu 4. maaliskuuta 2011 Wayback Machinessa US National Institute of Standards and Technology -verkkosivustolla .

Tarkoittaa
Matematiikka	Tehon keskiarvo ( painotettu ) harmoninen keskiarvo painotettu geometrinen keskiarvo painotettu Keskiverto painotettu juuri tarkoittaa neliötä Keskimääräinen kuutio liukuva keskiarvo Aritmeettis-geometrinen keskiarvo Toiminto Keskiarvo Kolmogorov tarkoittaa
Geometria	geometrinen keskusta Barycenter
Todennäköisyysteoria ja matemaattinen tilasto	Winsorized keskiarvo näytteen keskiarvo Odotettu arvo Mediaani Muoti keskihajonta Katkaistu keskiarvo Ehdollinen odotus
Tietotekniikka	Medoid k-mediaani menetelmä
Lauseet	Ensimmäinen keskiarvolause Toinen keskiarvolause Aritmeettisen, geometrisen ja harmonisen keskiarvon epäyhtälö
Muut	Jakelukeskuksen mittarit