Monien muuttujien funktioiden analyysi

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 19. maaliskuuta 2017 tarkistetusta versiosta . vahvistus vaatii 1 muokkauksen .

Monimuuttujaanalyysi (tunnetaan myös nimellä monimuuttuja- tai monimuuttujalaskenta) on differentiaali- ja integraalilaskennan yleistys useiden muuttujien tapauksessa .

Tyypilliset toiminnot

Rajat ja jatkuvuus

Moniulotteisten tilojen rajojen ja jatkuvuuden tutkiminen johtaa moniin epäloogisiin ja patologisiin tuloksiin, jotka eivät ole ominaisia yhden muuttujan funktioille. Esimerkiksi on olemassa kahden muuttujan skalaarifunktiot, joilla on pisteitä alueella , jotka mielivaltaista suoraa pitkin lähestyttäessä antavat tietyn rajan ja antavat erilaisen rajan, kun niitä lähestytään paraabelia pitkin . Toiminto

f(x,y) = \frac{x^2y}{x^4+y^2}

pyrkii nollaan mitä tahansa origon kautta kulkevaa suoraa pitkin. Kuitenkin, kun origoa lähestytään paraabelia pitkin , raja on 0,5. Koska eri lentoratojen rajat eivät ole samat, rajoja ei ole. $y=x^2$

Funktiolla on luku A rajana, kun muuttujat pyrkivät vastaavasti , jos jokaisella numerolla on sellainen luku , että , eli . $f(x_{1},\ldots ,x_{n})$ $x_{1},\ldots,x_{n}$ ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n))$ $\varepsilon > 0$ $\delta>0$ $|f(x_{1},\ldots ,x_{n})-A)|<\varepsilon$ $|x_{1}-a_{1}|<\delta ,\ldots ,|x_{n}-a_{n}|<\delta$

Funktiota kutsutaan jatkuvaksi pisteessä, jos tämän funktion raja-arvo pisteessä on olemassa ja on yhtä suuri kuin tietty arvo . ${\näyttötyyli u=f(M)}$ $A$ $A$ $fa)$

Funktiota kutsutaan jatkuvaksi joukossa, jos se on jatkuva tämän joukon jokaisessa pisteessä. ${\näyttötyyli u=f(M)}$ ${M}$

Osittaisen derivaatan etsiminen

Osittaisen derivaatan käsite syntyy väistämättä, kun yritetään eristää moniulotteisia funktioita, ja se on geometrisessa mielessä derivaatta osaltaan määritelmäpisteessä leikkaavalla tasolla, joka, kun tarkastellaan karteesista suorakulmaista koordinaattijärjestelmää, on yhdensuuntainen tason kanssa (O, , f), missä O on koordinaattiakselien leikkauspiste; on erilaistumispisteen osittainen argumentti; f on pisteen ordinatta . N-ulotteisen funktion tarkasteltu derivaatta merkitään nimellä , joka on sen differentiaatio suhteessa yhteen argumenteista: $x_k$ $x_k$ ${\displaystyle {\frac {\partial f(x_{1}~...~x_{k}~...~x_{n})}{\partial x_{k))))$

$\frac{\partial f(x_1 ~...~ x_k ~... ~x_n)}{\partial x_k}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_1 ~...~x_k +\Delta x_k~... ~x_n)-f(x_1 ~... ~x_k ~... ~x_n)}{\Delta x_k},$

missä on erityinen argumentti; ja symboli on muokattu merkintä, eikä sitä käytetä erikseen. $x_k$ $\osittainen$ $d_x$

Osittaisia derivaattoja voidaan yhdistää mielenkiintoisilla tavoilla monimutkaisempien derivaattalausekkeiden luomiseksi. Vektorilaskennassa nabla-operaattoria ( ) käytetään gradientin , divergenssin ja kiertymän käsitteiden määrittelemiseen osittaisderivaattaina. Osittaisten derivaattojen matriisia - Jacobi-matriisia - voidaan käyttää esittämään funktion derivaatta (mapping) kahden mielivaltaisen ulottuvuuden avaruuden välillä. Siten derivaatta voidaan esittää lineaarisena muunnoksena, joka muuttuu funktion toimialueen pisteestä riippuen. $\nabla$

Osittaisia derivaattoja sisältäviä differentiaaliyhtälöitä kutsutaan osittaisdifferentiaaliyhtälöiksi tai (D)PDE:ksi. Nämä yhtälöt ovat yleensä vaikeampia ratkaista kuin tavanomaiset differentiaaliyhtälöt, jotka sisältävät derivaatan vain yhden muuttujan suhteen.

Useita integraatioita

Integraalia kutsutaan moniintegraaliksi , jos . Tapauksessa sitä kutsutaan kaksinkertaiseksi, tapauksessa - kolminkertaiseksi integraaliksi ja mielivaltaisen tapauksessa - n-kertaiseksi. Se on myös nimetty . Tällaisella merkinnällä symboli tulee ymmärtää pisteenä avaruudessa , symboli on tulo ja merkki on n-kertainen integraali n-ulotteisen alueen yli . ${\displaystyle \underbrace {\int {\cdots }\int } _{X}f(x_{1},\ldots ,x_{n})dx_{1}\ldots dx_{n))$ $n>1$ $n = 2$ $n = 3$ $n\in N$ $\int \limits _{X}f(x)dx$ $x$ $x=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$ $E^{n}$ $dx$ ${\displaystyle dx=dx_{1}dx_{2}\ldots dx_{n))$ $\int \limits _{D}$ $D$

Moniintegraali laajentaa integraalin käsitteen monien muuttujien funktioihin. Kaksoisintegraaleja voidaan käyttää avaruuden alueiden tilavuuksien laskemiseen. Tonelli-Fubini-lause takaa, että moniintegraali voidaan arvioida iteroiduksi integraaliksi.

Pintaintegraalia ja kaarevaa integraalia käytetään integroimaan jakoputkien , kuten pintojen ja käyrien , yli .

Peruslause useiden muuttujien funktioiden analysoinnissa

Yhden muuttujan funktioiden matemaattisessa analyysissä peruslause muodostaa yhteyden derivaatan ja integraalin välille. Derivaatan ja integraalin välinen yhteys monien muuttujien funktioiden analyysissä sisältyy hyvin tunnetuihin vektorianalyysin integrointilauseisiin :

Monimuuttujan matemaattisen analyysin syvällisempi tutkimus osoittaa, että nämä neljä lausetta ovat erikoistapauksia yleisemmälle lauseelle, Stokesin lauseelle differentiaalimuotojen integroinnista .

Sovellus

Moniulotteisen matemaattisen analyysin menetelmiä käytetään monien fyysisen maailman esineiden tutkimiseen.

	Alue	Sovellettavat menetelmät
Käyrät	$f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}^n$	Käyrän pituudet, kaarevat integraalit ja kaarevuus .
pinnat	$f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^n$	Pinta- alat , pintaintegraalit , virtaus pintojen läpi ja kaarevuus.
Skalaarikentät	$f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$	Huiput ja alat, Lagrange-kertoimet , suuntajohdannaiset .
Vektorikentät	$f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$	Mikä tahansa vektorianalyysioperaatioista , mukaan lukien gradientti , poikkeama ja käyristyminen .

Monimuuttujaa matemaattista analyysiä voidaan soveltaa useiden vapausasteiden omaavien determinististen järjestelmien analysointiin . Näiden järjestelmien mallintamiseen käytetään usein funktioita, joissa on kutakin vapausastetta vastaavia riippumattomia muuttujia , ja monimuuttuja matemaattinen analyysi tarjoaa välineen järjestelmän dynamiikan karakterisointiin .

Monimuuttujalaskentaa käytetään monilla luonnontieteen, sosiologian ja tekniikan aloilla mallintamaan ja tutkimaan korkeadimensionaalisia järjestelmiä, jotka osoittavat determinististä käyttäytymistä. Epädeterministisiä eli stokastisia (satunnaisia) systeemejä voidaan tutkia käyttämällä muunlaista matematiikkaa, kuten stokastista laskentaa.

Katso myös

Kirjallisuus

Fikhtengolts, G. M. Luku 5. Useiden muuttujien funktiot // Differentiaali- ja integraalilaskennan kurssi. - T. 1.
Ilyin, V. A., Poznyak, E. G. Luku 14. Useiden muuttujien funktiot // Fundamentals of Mathematical Analysis. - V. 1. - (Korkeamman matematiikan ja matemaattisen fysiikan kurssi).
Ilyin, V. A., Poznyak, E. G. Luku 2. Kaksois- ja n-kertaiset integraalit // Matemaattisen analyysin perusteet. - V. 2. - (Korkeamman matematiikan ja matemaattisen fysiikan kurssi).
Kudrjavtsev, L. D. Luvut 4, 5. Useiden muuttujien funktioiden differentiaalilaskenta. Useiden muuttujien funktioiden integraalilaskenta // Matemaattisen analyysin lyhyt kurssi. - T. 2.
Vygodsky M.Ya. Useiden argumenttien funktioiden erottaminen ja integrointi // Korkeamman matematiikan käsikirja.