Asymptoottinen analyysi

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 9. maaliskuuta 2020 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 3 muokkausta .

Asymptoottinen analyysi on menetelmä funktioiden rajoittavan käyttäytymisen kuvaamiseksi.

Esimerkiksi funktiossa , kun se lähestyy ääretöntä, termistä tulee merkityksetön verrattuna funktioon, joten funktion sanotaan olevan "asymptoottisesti ekvivalentti " , joka usein kirjoitetaan myös nimellä . Esimerkki tärkeästä asymptoottisesta tuloksesta on alkulukulause . Antaa tarkoittaa alkulukujen jakaumafunktiota , eli yhtä monta alkulukua , jotka ovat pienempiä tai yhtä suuria kuin , niin lause voidaan muotoilla muodossa . $f(n)=n^{2}+3n$ $n$ $3n$ $n^{2}$ $f(n)$ $n^{2}$ $n\to\infty$ ${\displaystyle f(n)\sim n^{2))$ $\pi(x)$ $\pi(x)$ $x$ $\pi (x)\sim {\frac {x}{\log x))$

Asymptoottinen tasa-arvo

Anna ja olla joitakin toimintoja. Sitten binäärisuhde määritellään siten, että $f(x)$ $g(x)$ $\sim$

f(x)\sim g(x)\quad ({\text{for }}x\to \infty )

jos ja vain jos [1]

\lim _{x\to \infty }{\frac {f(x)}{g(x)))=1.

Funktioita ja kutsutaan myös asymptoottisesti ekvivalenteiksi , koska se on ekvivalenssirelaatio funktioille yli . Kohteen ja alue voi olla mikä tahansa joukko, jossa rajan käsitteellä on järkeä: reaaliluvut , kompleksiluvut , luonnolliset luvut jne. Samaa merkintää käytetään myös muihin rajarajoituksiin , kuten . Tiettyä rajaa ei yleensä ilmoiteta, jos se ilmenee asiayhteydestä. $f$ $g$ $\sim$ $x$ $f$ $g$ $x$ $x\to 0$

Yllä oleva määritelmä on yleinen kirjallisuudessa, mutta menettää merkityksensä, jos se toteutuu äärettömän monta kertaa. Siksi jotkut kirjoittajat käyttävät vaihtoehtoista määritelmää O-merkinnän suhteen : $g(x)$ $0$

f(x)-g(x)\in o(g(x)).

Tämä määritelmä vastaa edellä annettua, jos se eroaa nollasta jossain rajapisteen läheisyydessä [2] [3] . $g(x)$

Ominaisuudet

Jos ja , niin joidenkin luonnollisten rajoitusten mukaan seuraava pitää paikkansa: $f\sim g$ $a\sim b$

${\displaystyle f^{r}\sim g^{r))$ , ihan oikeasti $r$
$\log(f)\sim \log(g)$
$f\times a\sim g\times b$
$f/a\sim g/b$

Nämä ominaisuudet mahdollistavat asymptoottisesti vastaavien funktioiden vapaan vaihtamisen toisilleen joissakin algebrallisissa lausekkeissa.

Esimerkkejä asymptoottisista kaavoista

Stirling - kaava faktoriaaleille

n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}

Kuinka monta tapaa jakaa luonnollinen luku luonnollisten lukujen järjestämättömäksi summaksi $n$

p(n)\sim {\frac {1}{4n{\sqrt {3))))e^{\pi {\sqrt {\frac {2n}{3))))

Ilmava funktio - differentiaaliyhtälön ratkaisu $Ai(x)$ $y''-xy=0$

{\displaystyle \operaattorinimi {Ai} (x)\sim {\frac {e^{-{\frac {2}{3}}x^{\frac {3}{2}}}}{2{\sqrt {\pi }}x^{1/4))))

Hankelin toiminnot

{\begin{aligned}H_{\alpha }^{(1)}(z)&\sim {\sqrt {\frac {2}{\pi z))}e^{i\left(z -{\frac {2\pi \alpha -\pi }{4}}\right)}\\H_{\alpha }^{(2)}(z)&\sim {\sqrt {\frac {2} {\pi z}}}e^{-i\left(z-{\frac {2\pi \alpha -\pi }{4}}\right)}\end{aligned}}

Asymptoottinen laajennus

Asymptoottinen funktion laajennus on funktion lauseke sarjan muodossa, jonka osasummat eivät välttämättä konvergoi , mutta mikä tahansa osasumma antaa oikean asymptoottisen arvion . Siten jokainen seuraava asymptoottisen laajennuksen elementti antaa hieman tarkemman kuvauksen :n kasvujärjestyksestä . Toisin sanoen, jos on asymptoottinen laajennus , niin yleisessä tapauksessa mille tahansa . Määritelmän mukaan tämä tarkoittaa, että eli kasvaa asymptoottisesti paljon hitaammin $f(x)$ $f$ $f$ $f=g_{1}+g_{2}+g_{3}+\pisteet$ $f$ $f\sim g_{1},$ ${\displaystyle f-g_{1}\sim g_{2))$ ${\displaystyle f-g_{1}-\cdots -g_{k-1}\sim g_{k))$ $k$ $\sim$ $f-(g_{1}+\cdots +g_{k})=o(g_{k})$ $f-(g_{1}+\cdots +g_{k})$ $g_{k}.$

Jos asymptoottinen laajennus ei konvergoi, niin mille tahansa argumentille on olemassa jokin osasumma, joka parhaiten approksimoi funktiota tässä vaiheessa, ja termien lisääminen siihen vain heikentää tarkkuutta. Yleensä termien määrä tällaisessa optimaalisessa summassa kasvaa, kun rajapistettä lähestytään. $x$

Esimerkkejä asymptoottisista laajennuksista

gamma-toiminto

{\frac {e^{x}}{x^{x}{\sqrt {2\pi x}}}}\Gamma (x+1)\sim 1+{\frac {1}{12x ))+{\frac {1}{288x^{2}}}-{\frac {139}{51840x^{3}}}-\cdots \ (x\to \infty )

Integraalieksponentti

xe^{x}E_{1}(x)\sim \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}n!}{x^{n }}}\ (x\to \infty )

Virhetoiminto

{\sqrt {\pi }}xe^{x^{2}}{\rm {erfc}}(x)\sim 1+\sum _{n=1}^{\infty }(-1 )^{n}{\frac {(2n-1)!!}{n!(2x^{2})^{n}}}\ (x\to \infty )

missä ( 2n − 1)!! on kaksoisfaktoriaali .

Sovellukset

Asymptoottista analyysiä käytetään:

Sovellettavassa matematiikassa numeeristen menetelmien rakentaminen yhtälöiden ratkaisemiseksi.
Matemaattisissa tilastoissa ja todennäköisyysteoriassa satunnaismuuttujien ja tilastollisten arvioiden rajoittavien ominaisuuksien määrittämiseen .
Tietojenkäsittelytieteessä algoritmien ja niiden käyttöajan analysoinnissa .
Tilastofysiikassa fyysisten järjestelmien käyttäytymisen analysoinnissa .
Katastrofien analysoinnissa katastrofin syiden selvittämisessä mallintamalla useita katastrofeja samassa paikassa.

Asymptoottinen analyysi on keskeinen työkalu tutkittaessa differentiaaliyhtälöitä , jotka syntyvät reaalimaailman ilmiöiden matemaattisessa mallintamisessa [4] . Asymptoottisen analyysin soveltamisella pyritään pääsääntöisesti tutkimaan mallin riippuvuutta jostakin dimensiottomasta parametrista , jonka oletetaan olevan merkityksetön ratkaistavan ongelman mittakaavassa.

Asymptoottisia laajennuksia syntyy pääsääntöisesti joidenkin integraalien ( Laplacen menetelmä , satulapistemenetelmä ) tai todennäköisyysjakaumien ( Edgeworthin sarja ) likimääräisissä laskelmissa. Esimerkki divergentistä asymptoottisesta laajenemisesta on kvanttikenttäteorian Feynman -graafit .

Katso myös

Muistiinpanot

↑ ( de Bruijn 1981 , §1.4)
↑ Hazewinkel, Michiel, toim. (2001), Asymptoottinen tasa -arvo , Encyclopedia of Mathematics , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4
↑ Estrada & Kanwal (2002 , §1.2)
↑ Howison, S. (2005), Practical Applied Mathematics Arkistoitu 22. heinäkuuta 2021 Wayback Machinessa , Cambridge University Press

Kirjallisuus

Fedoryuk M. V. Asymptotiikka: Integraalit ja sarjat. — M .: Nauka , 1987. — 544 s. — (Matemaattinen viitekirjasto).
Olver, F. Johdatus asymptoottisiin menetelmiin ja erikoistoimintoihin. — M .: Nauka , 1978. — 386 s.
Balser, W. (1994), From Divergent Power Series To Analytic Functions , Springer-Verlag , < https://books.google.com/books?id=V-17CwAAQBAJ&printsec=frontcover#v=onepage&q&f=false >
de Bruijn, NG (1981), Asymptotic Methods in Analysis , Dover Publications , < https://books.google.com/books?id=Oqj9AgAAQBAJ&printsec=frontcover >
Estrada, R. & Kanwal, RP (2002), A Distributional Approach to Asymptotics , Birkhäuser , < https://books.google.com/books?id=X3cECAAAQBAJ&printsec=frontcover#v=onepage&q&f=false >
Miller, P.D. (2006), Applied Asymptotic Analysis , American Mathematical Society , < https://books.google.com/books?id=KQvqBwAAQBAJ&printsec=frontcover#v=onepage&q&f=false >
Murray, JD (1984), Asymptotic Analysis , Springer , < https://books.google.com/books?id=PC3rBwAAQBAJ&printsec=frontcover#v=onepage&q&f=false >
Paris, R. B. & Kaminsky, D. (2001), Asymptotics ja Mellin-Barnes Integrals , Cambridge University Press ja >

Linkit

Asymptotic Analysis — IOS Pressin julkaiseman lehden kotisivu
Paperi aikasarjaanalyysistä asymptoottista jakaumaa käyttäen