Tetraedrin binäärinen ryhmä

Matematiikassa tetraedrin binääriryhmä (merkitty 2 T tai <2,3,3>) on jokin ei- abelilainen 24. kertaluvun ryhmä . Ryhmä on jatke kertaluvun 2 syklisen ryhmän 12 tetraedriryhmästä T (tai (2,3,3)) ja on käänteinen kuva tetraedriryhmästä erikoisen 2:1 peittävälle homomorfismille ortogonaalinen ryhmä spinoriryhmän mukaan . Tämä tarkoittaa, että tetraedrin binääriryhmä on 24. kertaluvun Spin(3)-ryhmän erillinen alaryhmä . $\operaattorin nimi {Spin} (3)\to \operaattorin nimi {SO} (3)$

Tetraedrin binääriryhmää kuvataan yksinkertaisimmin diskreetiksi kvaternioniyksiköiden alaryhmäksi isomorfismin alla , missä Sp(1) on kvaternioniyksiköiden multiplikatiivinen ryhmä (katso tämän homomorfismin kuvaus artikkelista Kvaternionit ja avaruuskierto ). $\operaattorin nimi {Spin} (3)\cong \operaattorin nimi {Sp} (1)$

Elements

Tetraedrin binääriryhmä on annettu Hurwitzin kokonaislukujen renkaan ryhmänä . Tällaisia yksiköitä on 24

{\displaystyle \{\pm 1,\pm i,\pm j,\pm k,{\tfrac {1}{2))(\pm 1\pm i\pm j\pm k)\))

millä tahansa merkkiyhdistelmällä.

Kaikki 24 yksikköä ovat yhtä suuria kuin 1 absoluuttisena arvona ja ovat siksi kvaternionien Sp(1) yksiköiden ryhmässä. Näiden 24 elementin kupera runko 4-ulotteisessa avaruudessa muodostaa kuperan säännöllisen 4-ulotteisen monitahoisen, jota kutsutaan 24-soluiseksi .

Ominaisuudet

Tetraedrin 2 T binääriryhmä sopii lyhyeen tarkkaan sekvenssiin

1\to \{\pm 1\}\to 2T\to T\to 1.

Tämä sekvenssi ei hajoa siinä mielessä, että 2 T ei ole {±1}:n ja T : n puolisuora tulo . Itse asiassa alaryhmää 2 T ei ole isomorfista T :lle .

Tetraedrin binääriryhmä on tetraedrisen ryhmän peittävä ryhmä . Jos tarkastellaan tetraedristä ryhmää neljän kirjaimen vuorottelevana ryhmänä , tetraedrin binääriryhmä on peittävä ryhmä $T\cong A_{4}$ $2T\cong {\widehat {A_{4))}.$

Ryhmän 2 T keskus on alaryhmä {±1}. Sisäinen automorfismiryhmä on isomorfinen , kun taas täysi automorfismiryhmä on isomorfinen [1] . $A_{4}$ $S_4$

Tetraedrin binääriryhmä voidaan kirjoittaa puolisuoraksi tuloksi

{\displaystyle 2T=Q\rtimes \mathbb {Z} _{3))

missä Q on kvaternioniryhmä, joka koostuu kahdeksasta Lipschitzin yksiköstä ja Z 3 :sta , 3. asteen syklinen ryhmä , jonka muodostaa ω = −1(1+ i + j + k ). Ryhmä Z3 toimii normaalilla alaryhmällä Q konjugaationa . Konjugaatio ω:n suhteen on Q :n automorfismi, joka kiertää i :tä , j :tä ja k :tä .

Voidaan osoittaa, että tetraedrin binääriryhmä on isomorfinen lineaarisen ryhmän SL(2,3) kanssa, joka on kaikkien 2×2 matriisien ryhmä äärellisessä kentässä F 3 , jossa on yksikködeterminantti.

Ryhmätehtävä

Ryhmällä 2 T on kaavalla määritelty tehtävä

\langle r,s,t\mid r^{2}=s^{3}=t^{3}=rst\rangle

joka vastaa

\langle s,t\mid (st)^{2}=s^{3}=t^{3}\rangle .

Generaattorit annetaan kaavalla

s={\tfrac {1}{2}}(1+i+j+k)\qquad t={\tfrac {1}{2}}(1+i+jk).

Alaryhmät

Kvaternioniryhmä , joka koostuu 8 Lipschitzin yksiköstä , muodostaa normaalin 2 T : n alaryhmän indeksillä 3. Tämä ryhmä ja keskus {±1} ovat ainoat ei-triviaalit normaalit alaryhmät.

Kaikki muut ryhmän 2 T alaryhmät ovat luokkaa 3, 4 ja 6 olevia syklisiä ryhmiä , jotka muodostuvat eri alkuaineista.

Suuret mitat

Koska tetraedriryhmä yleistyy n - simplexin rotaatiosymmetriaryhmäksi (SO( n ) -aliryhmänä), on olemassa vastaava korkeamman asteen binääriryhmä, joka on päällysteestä saadun 2-monisarjan peite. $\operaattorin nimi {Spin} (n)\to \operaattorin nimi {SO} (n).$

N - simplexin rotaatiosymmetriaryhmä voidaan esittää vuorottelevana kirjainryhmänä ja vastaava binääriryhmä on 2-monijoukon peittävä ryhmä . Kaikille korkeammille ulottuvuuksille paitsi ja (vastaa 5- ja 6-ulotteisia yksinkertaistuksia) tämä binääriryhmä on peittävä ryhmä (maksimipeitto) ja superperfect , mutta mitoille 5 ja 6 on lisäerikoisryhmä. 3 -lajikkeiden ja binääriryhmien kattaminen eivät ole supertäydellisiä. $n+1$ $A_{n+1},$ $A_{6}$ $A_7$

Käyttö teoreettisessa fysiikassa

Yang Zhenning käytti tetraedrin binääriryhmää Yang-Millsin teorian yhteydessä vuonna 1956 [2] . Paul Frampton ja Thomas Kephart käyttivät sitä ensimmäisen kerran fyysisen mallin rakentamiseen vuonna 1994 [3] . Vuonna 2012 osoitettiin [4] , että neutriinojen laajenemiskulmien välinen suhde, joka on saatu [5] käyttämällä binaarista tetraedristä symmetriaa, on yhdenmukainen teorian kanssa.

Katso myös

Monitahoisen binääriryhmä
Binäärinen syklinen ryhmä
Binäärinen dihedraaliryhmä
Oktaedrin binääriryhmä
Ikosaedrin binäärinen ryhmä

Muistiinpanot

↑ Erityinen lineaarinen ryhmä: SL(2,3) . ryhmätarvikkeita . Käyttöpäivä: 18. kesäkuuta 2015. Arkistoitu alkuperäisestä 4. heinäkuuta 2015. (määrätön)
↑ Tapaus, 1956 , s. 874-876.
↑ Frampton, 1995 , s. 4689-4704.
↑ Eby, 2012 , s. 117-304.
↑ Eby, 2009 , s. 386-390.

Kirjallisuus

John H. Conway, Derek A. Smith. Kvaternioneista ja oktonioista. - Natick, Massachusetts: A.K. Peters, Ltd, 2003. - ISBN 1-56881-134-9 .
H.S.M. Coxeter, W.O.J. Moser. Generaattorit ja suhteet diskreeteille ryhmille, 4. painos. - New York: Springer-Verlag, 1980. - ISBN 0-387-09212-9 . 6.5 Binääriset monitahoiset ryhmät, s. 68
E.M. Case, Robert Karplus, C.N. Yang. Outoja hiukkasia ja isotooppisen pyörimisen säilyminen // Fyysinen katsaus. - 1956. - T. 101 . - doi : 10.1103/PhysRev.101.874 .
Paul H. Frampton, Thomas W. Kephart. Yksinkertaiset Nonabelin rajalliset makuryhmät ja Fermion-massat // International Journal of Modern Physics. - 1995. - T. A10 .
David A. Eby, Paul H. Frampton. Ei-nolla-theta(13)-signaalit ei-maksimaalinen ilmakehän neutriinojen sekoittuminen // Physical Review. - 2012. - T. D86 . - doi : 10.1103/physrevd.86.117304 . - arXiv : 1112.2675 .
David A. Eby, Paul H. Frampton, Shinya Matsuzaki. Ennusteet neutriinojen sekoituskulmille T′-mallissa // Physics Letters. - 2009. - T. B671 . - s. 386-390. - arXiv : 0801.4899 .