Mersennen hypoteeseja

Mersennen hypoteesit koskevat Mersennen lukujen alkulukujen kuvausta (luvut, jotka ovat yhtä suuria kuin kahden potenssit ilman yksikköä).

Mersennen alkuperäinen olettamus

Alkuperäinen olettamus, jota kutsutaan Mersennen hypoteesiksi , on Marin Mersennen väite teoksessaan Cogitata Physica-Mathematica (1644; katso Dickson 1919), että luvut ovat alkulukuja n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31. , 67 , 127 ja 257 ja yhdistelmä kaikille muille positiivisille kokonaisluvuille n ≤ 257. Näiden lukujen koosta johtuen Mersenne ei testannut kaikkia näitä lukuja 1600-luvulla. Lopulta kolmen vuosisadan ja uusien tekniikoiden, kuten Luc-Lehmer-testin , saatavuuden jälkeen havaittiin, että Mersennen hypoteesi sisälsi viisi virhettä, nimittäin kaksi yhdistettä ( n = 67, 257) ja kolme puuttuvaa alkulukua ( n= 61, 89, 107) numerot. Oikea lista: n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107 ja 127.

Vaikka alkuperäinen Mersennen olettamus ei pidä paikkaansa, se on johtanut uuteen Mersennen hypoteesiin .

Mersennen uusi olettamus

Uusi Mersennen olettamus tai Batemanin, Selfridgen ja Wagstaffin [1] olettamus sanoo, että jollekin parittomille luonnolliselle luvulle p , jos kaksi seuraavista ehdoista täyttyy, täyttyy myös kolmas:

  1. p = 2k ± 1 tai p = 4k ± 3 jollekin luonnolliselle luvulle k . ( A122834 )
  2. 2 p − 1 on alkuluku ( Mersennen luku ). ( A000043 )
  3. ( 2p + 1) / 3 on alkuluku ( Wagstaff alkuluku ). ( A000978 )

Jos p on pariton yhdistelmä , niin ovat myös yhdistelmäluvut. Näin ollen hypoteesin oikeellisuuden testaamiseksi riittää, että testataan vain alkulukuja.

Tällä hetkellä tiedetään, että niiden numeroiden joukossa, joille kaikki kolme ehtoa täyttyvät, ovat 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 127 ( A107360 ), ja oletetaan, että 127:tä suurempien lukujen joukossa on ei numeroita, joille kaikki kolme ehtoa täyttyvät.

Yksinkertainen, jolle vähintään yksi ehto täyttyy:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 31, 43, 61, 67, 79, 89, 101, 107, 127, 167, 191, 199, 257, 313, 534 607, 701, 1021, 1279, 1709, 2203, 2281, 2617, 3217, 3539, 4093, 4099, 4253, 4423, 5807, 8191, 99481 , ...

Huomaa, että kaksi numeroa, joilla Mersenne teki virheen (67 ja 257), kuuluvat ehtoihin (67 = 2 6  + 3, 257 = 2 8  + 1), mutta 89 ja 107 eivät. Näin ollen alkuperäisessä muodossaan Mersenne saattoi ajatella, että 2 p − 1 on alkuluku silloin ja vain jos p = 2 k ± 1 tai p = 4 k ± 3 jollekin luonnolliselle k :lle .

Mersennen arvelun tila 100 ensimmäiselle alkuluvulle
2 3 5 7 yksitoista 13 17 19 23 29
31 37 41 43 47 53 59 61 67 71
73 79 83 89 97 101 103 107 109 113
127 131 137 139 149 151 157 163 167 173
179 181 191 193 197 199 211 223 227 229
233 239 241 251 257 263 269 271 277 281
283 293 307 311 313 317 331 337 347 349
353 359 367 373 379 383 389 397 401 409
419 421 431 433 439 443 449 457 461 463
467 479 487 491 499 503 509 521 523 541
s p on muotoa 2 n  ± 1 tai 4 n  ± 3
s 2 p  − 1 on yksinkertainen
s (2 p  + 1)/3 on alkuluku
s p täyttää ainakin yhden ehdon

Uutta Mersennen hypoteesia voidaan pitää yrityksenä ratkaista vuosisatoja vanha Mersennen hypoteesi, joka ei pidä paikkaansa. Robert D. Silvermanin [2] mukaan John Selfridge kuitenkin uskoo, että uusi Mersennen olettamus on "ilmeisesti totta", koska se on muotoiltu tyydyttämään tunnettuja tietoja ja vastaesimerkit olettamuksen olosuhteissa ovat erittäin epätodennäköisiä. Se voidaan nähdä enemmän uteliaana havainnona kuin todentamista vaativana kysymyksenä.

Renaud Lifshitz osoitti, että uusi olettamus pätee kaikkiin kokonaislukuihin, jotka ovat pienempiä kuin 20 996 010 [3] testaamalla peräkkäin kaikki parittomat alkuluvut, joiden yhden ehdon tiedetään täyttyvän. Hänen verkkosivustonsa [4] dokumentoi tarkastuksen tulokset tähän numeroon asti. Toinen, uudempi versio sivusta uudesta oletuksesta on "A New Conjecture on Mersenne Primes" [5] .

Lenstra-Pomerans-Wagstaffin hypoteesi

Lenstra , Pomerans ja Wagstaff olettivat, että Mersennen alkulukuja on äärettömän monta . Tarkemmin sanottuna x : tä pienempien Mersennen alkulukujen lukumäärä on asymptoottisesti approksimoitu arvolla

[6] ,

missä on Euler-Mascheronin vakio . Toisin sanoen niiden Mersennen alkulukujen lukumäärä, joiden eksponentti p on pienempi kuin y , on asymptoottisesti

[6]

Tämä tarkoittaa, että pitäisi olla keskimäärin noin ≈ 5,92 alkulukua p tietyllä määrällä desimaalipaikkoja siten, että se on alkuluku.

Katso myös

Muistiinpanot

  1. ↑ Bateman, Selfridge, Wagstaff, 1989 , s. 125-128.
  2. ↑ Viesti: Uusi Mersennen arvelu  . mersenneforum.org . Arkistoitu alkuperäisestä 15. kesäkuuta 2017.
  3. ↑ Uusi Mersennen pääoletus pääsivuilla  . Haettu 20. maaliskuuta 2018. Arkistoitu alkuperäisestä 6. maaliskuuta 2018.
  4. ↑ Renaud Lifchitz. "Uuden Mersennen arvelun  " tila . www.alkunumerot.net . Arkistoitu alkuperäisestä 3. huhtikuuta 2019.
  5. ↑ Chris K. Caldwell. Uusi Mersennen pääoletus  . Prime-sivut . Arkistoitu alkuperäisestä 6. maaliskuuta 2018.
  6. ↑ 1 2 Heuristics: Deriving the Wagstaff Mersenne Conjecture Arkistoitu 5. maaliskuuta 2018 Wayback Machinessa . Prime Pages . Haettu 11.5.2014.

Kirjallisuus

Linkit

 Hypoteesit alkuluvuista _
Hypoteesit