Ryhmähomomorfismi

Matematiikassa kaksi ryhmää ( G , ∗) ja ( H , •) ryhmähomomorfismi ( G , ∗) - ( H , •) on funktio h  : G → H siten, että kaikille u :lle ja v : lle G :stä _

jossa "="-merkin vasemmalla puolella oleva ryhmäoperaatio viittaa ryhmään G ja oikealla oleva operaatio ryhmään H .

Tästä voidaan päätellä, että h kartoittaa ryhmän G neutraalin elementin e G ryhmän H neutraalielementtiin e H ja kartoittaa myös käänteiset käänteisarvoiksi siinä mielessä, että

Siten h :n voidaan sanoa "säilyttää ryhmärakenteen".

Aikaisemmassa työssä h ( x ) voitiin merkitä muodossa x h , vaikka tämä voi johtaa sekaannukseen indeksien kanssa. Viime aikoina on ollut taipumus jättää pois sulkeet homomorfismia kirjoitettaessa, jolloin h ( x ) muuttuu vain xh :ksi . Tämä suuntaus on erityisen havaittavissa ryhmäteorian alueilla, joilla automaatiota sovelletaan , koska tämä on paremmin sopusoinnussa automaateissa tavanomaisten sanojen vasemmalta oikealle lukemisen kanssa.

Matematiikan alueilla, joilla ryhmät on varustettu lisärakenteilla, homomorfismi ymmärretään joskus kartoitukseksi, joka säilyttää paitsi ryhmän rakenteen (kuten edellä), myös lisärakenteen. Esimerkiksi topologisten ryhmien homomorfismin oletetaan usein olevan jatkuvaa.

Konsepti

Ryhmähomomorfismin määrittelyn tavoitteena on luoda funktioita, jotka säilyttävät algebrallisen rakenteen. Ryhmähomomorfismin ekvivalentti määritelmä: Funktio h  : G → H on ryhmähomomorfismi, jos a ∗ b = c tarkoittaa h ( a ) ⋅ h ( b ) = h ( c ). Toisin sanoen ryhmä H on jossain mielessä samanlainen kuin G :n algebrallinen rakenne , ja homomorfismi h säilyttää sen.

Kuva ja ydin

Määrittelemme ytimen h G :n elementtien joukoksi, joka vastaa H :n neutraalia elementtiä

ja kuva h as

Ydin h on G :n normaali aliryhmä ja h:n kuva on H :n aliryhmä :

Homomorfismi h on injektiivinen (ja sitä kutsutaan ryhmämonomorfismiksi ) jos ja vain jos ker( h ) = { e G }.

Homomorfismin ydin ja kuva voidaan ymmärtää mittaamaan, kuinka lähellä homomorfismi on isomorfismia. Ensimmäinen isomorfismilause sanoo, että kuva ryhmän h ( G ) homomorfismista on isomorfinen osamääräryhmän G /ker h kanssa .

Esimerkkejä

Minkä tahansa kompleksiluvun u kohdalla funktio f u  : G → C määritellään seuraavasti: on homomorfismi. on homomorfismi.

Ryhmien luokat

Jos h  : G → H ja k  : H → K ovat ryhmähomomorfismeja, niin k o h  : G → K on myös homomorfismi. Tämä osoittaa, että kaikkien ryhmien luokka ja ryhmähomomorfismit morfismeina muodostavat luokan .

Homomorfisten kuvausten tyypit

Jos homomorfismi h on bijektio , niin voidaan osoittaa, että käänteismappaus on myös ryhmähomomorfismi, ja sitten h : ta kutsutaan isomorfismiksi . Tässä tapauksessa ryhmiä G ja H kutsutaan isomorfisiksi - ne eroavat vain elementtien ja toimintojen nimeämisestä ja ovat identtisiä käytännön käytössä.

Jos h : G → G on ryhmähomomorfismi, kutsumme sitä G :n endomorfismiksi . Jos se on myös bijektiivinen ja siksi isomorfismi, sitä kutsutaan automorfismiksi . Ryhmän G kaikkien automorfismien joukko funktioiden koostumuksella operaationa muodostaa ryhmän, G : n automorfismiryhmän . Tämä ryhmä on merkitty nimellä Aut( G ). Esimerkkinä ryhmäautomorfismi ( Z , +) sisältää vain kaksi elementtiä (identiteettimuunnos ja kertominen −1:llä), ja se on isomorfinen Z /2 Z :n kanssa .

Epimorfismi on surjektiivinen homomorfismi , eli homomorfismi . Monomorfismi on injektiivinen homomorfismi, eli yksi-yhteen homomorfismi .

Abelilaisten ryhmien homomorfismit

Jos G ja H ovat Abelin (eli kommutatiivisia) ryhmiä, niin kaikkien homomorfismien joukko Hom( G , H ) G :stä H :hen on itse Abelin ryhmä – kahden homomorfismin summa h + k määritellään seuraavasti:

( h + k )( u ) = h ( u ) + k ( u ) kaikille u : lle G :stä .

H :n kommutatiivisuutta tarvitaan osoittamaan, että h + k on jälleen ryhmähomomorfismi.

Myös homomorfismit ovat yhteensopivia homomorfismien koostumuksen kanssa seuraavassa mielessä: jos f kuuluu Hom( K , G ), h , k ovat Hom( G , H ) alkioita ja g kuuluu Hom( H , L ), niin

( h + k ) o f = ( h o f ) + ( k o f ) ja    g o ( h + k ) = ( g o h ) + ( g o k ).

Tämä osoittaa, että Abelin ryhmän kaikkien endomorfismien joukko End( G ) muodostaa renkaan , ryhmän G endomorfismirengas . Esimerkiksi Abelin ryhmän endomorfismirengas, joka koostuu Z / n Z :n suorista summa m kopiosta , on isomorfinen Z / n Z -elementtejä sisältävien m × m matriisien renkaalle . Yllä mainittu yhteensopivuus osoittaa myös, että kaikkien homomorfismeja sisältävien Abelin ryhmien luokka muodostaa preadditiivisen luokan . Suorat summat ja ytimet, joilla on hyvin ehdollinen käyttäytyminen, tekevät tästä kategoriasta esimerkin Abelin kategoriasta .

Katso myös

Linkit