Homotopyryhmät

Homotoopiaryhmät ovat topologisten avaruuksien invariantti , yksi algebrallisen topologian peruskäsitteistä .

Epävirallisesti sanottuna he luokittelevat kartoituksia moniulotteisista palloista tiettyyn topologiseen tilaan jatkuvaan muodonmuutokseen asti. Vaikka homotopiaryhmiä on helppo määritellä, niitä on erittäin vaikea laskea, jopa sfäärien osalta. Tämä erottaa ne homologiaryhmistä , joita on helpompi laskea, mutta vaikeampi määritellä. Yksinkertaisin homotopiaryhmien erikoistapaus on perusryhmä .

Määritelmä

Olkoon topologinen avaruus, ; on yksikkökuutio, eli , ja on tämän kuution raja, eli joukko kuutiopisteitä siten, että tai 1 joillekin . Jatkuvien kuvausten homotopialuokkien joukko , jolle on merkitty (lisäksi , menee pisteeseen kaikille kartoituksille ja homotopioille). Tässä joukossa elementtien kertolasku voidaan määritellä seuraavasti: $X$ $x_{0}\in X$ $I^{n}\subset \mathbb{R} ^{n}$ $I^{n}=\{(t_{1},t_{2},\ldots ,t_{n}):0\leqslant t_{i}\leqslant 1\}$ $\osittainen I^{n}$ $t_{i}=0$ $i$ $[f]$ $f\kaksoispiste I^{n}\X$ $f(\partial I^{n})=x_{0}\in X$ $\pi _{n}(X,x_{0})$ $\osittainen I^{n}$ $x_{0}$

[f][g]=[f*g]

missä

f*g(t_{1},t_{2},\ldots t_{n})=f(2t_{1},t_{2},\ldots t_{n})

, jos

0\leqslant t_{1}\leqslant {\frac {1}{2))

f*g(t_{1},t_{2},\ldots t_{n})=g(2t_{1}-1,t_{2},\ldots t_{n})

, jos

{\frac {1}{2}}\leqslant t_{1}\leqslant 1

Koska kuution rajalla kertolasku on määritetty oikein. On helppo tarkistaa, että se riippuu vain homotopialuokasta ja . Tämä kertolasku täyttää kaikki ryhmän aksioomit . Siinä tapauksessa, että saadaan suljettujen polkujen koostumus ja on siksi perusryhmä . n>1: lle niitä kutsutaan korkeampiin homotoopiaryhmiksi. $f=g=x_{0}$ $[f*g]$ $[f]$ $[g]$ $n = 1$ $\pi _{1}(X,x_{0})$ $\pi _{n}(X,x_{0})$

Jatkuva avaruuksien kartoitus vastaa homomorfismia , ja tämä vastaavuus on funktionaalista eli jatkuvien kartoitusten tulo vastaa homotopiaryhmien homomorfismien tulosta ja identtinen kartoitus vastaa identtistä homomorfismia . Jos kartoitus on homotooppinen , niin . $F\kaksoispiste (X,x_{0})\to (Y,y_{0})$ $F_{*}\kaksoispiste \pi _{n}(X,x_{0})\to \pi _{n}(Y,y_{0})$ $(FG)_{*}=F_{*}G_{*}$ $(id)_{*}=id_{*}$ $F$ $G$ $F_{*}=G_{*}$

Aloituspisteen riippuvuus

Toisin kuin homologiaryhmät , homotopiaryhmien määritelmään sisältyy erottuva kohta . Itse asiassa polkuun liittyvien avaruuksien tapauksessa homotopiaryhmät eivät ole riippuvaisia pisteen valinnasta, vaikka yleisessä tapauksessa kanonista isomorfiaa ei ole. $H_{n}(X)$ $\pi _{n}(X,x_{0})$ $x_{0}$

Korkeampien homotopiaryhmien abelianiteetti

Vaikka perusryhmä on yleensä ei- abelilainen , kaikille n>1 ne ovat abelilaisia, eli . Visuaalinen todiste tästä tosiasiasta näkyy seuraavassa kuvassa (vaaleansiniset alueet on merkitty pisteeksi ): $\pi _{1}(X,x_{0})$ $\pi _{n}(X,x_{0})$ $[f][g]=[g][f]$ $x_{0}$

Suhteelliset homotopiaryhmät ja tarkat homotopiasekvenssit

Suhteelliset homotopiaryhmät määritellään avaruudelle , sen aliavaruudelle ja erotetulle pisteelle . Olkoon yksikkökuutio ( ), tämän kuution raja ja olkoon a yhtälön määrittämän kuution pinta . Jatkuvien kuvausten homotopialuokkien joukko , joille ja toisille pinnoille on merkitty (lisäksi se menee , ja pisteeseen kaikille kartoituksille ja homotopiaille). $X$ $A\alajoukko X$ $x_{0}\in X$ $I^{n}\subset \mathbb{R} ^{n}$ $I^{n}=\{(t_{1},t_{2},\ldots t_{n}):0\leqslant t_{i}\leqslant 1\}$ $\osittainen I^{n}$ $I^{{n-1}}\subset \partial I^{n}$ $t_{n}=0$ $[f]$ $f\kaksoispiste I^{n}\X$ $f\colon I^{{n-1}}\A:lle$ $f\colon \partial I^{n}\setminus \operaattorinimi {Int}(I^{{n-1}})\to x_{0}$ $\pi _{n}(X,A,x_{0})$ $minä^{{n-1}}$ $A$ $\partial I^{n}\setminus \operaattorinimi {Int}(I^{{n-1}})$ $x_{0}$

Samalla tavalla kuin aiemmin, voimme todistaa, että tälle joukolle muodostaa ryhmän, järjestyksen suhteellinen homotopiaryhmä . Jos , niin edellinen luku osoittaa, että on Abelin. (Jos n = 2, todistus epäonnistuu, koska pisteet voivat mennä muihin pisteisiin kuin .) $n\geqslant 2$ $n$ $n\geqslant 3$ $\pi _{n}(X,A,x_{0})$ $I^{1}=\{x:x_{2}=0\}$ $A$ $x_{0}$

Upottaminen indusoi homomorfismin ja upottaminen (tässä se tulisi ymmärtää nimellä ) indusoi homomorfismin . Mikä tahansa elementti määritellään kartoituksella , joka erityisesti kartoitetaan kohtaan , ja f on identtisesti yhtä suuri kuin , määrittää elementin kohteesta . Näin saadaan kartoitus , joka on homomorfismi. Meillä on seuraava ryhmien ja homomorfismien sarja: $i\kaksoispiste (A,x_{0})\to (X,x_{0})$ $i_{*}\colon \pi _{n}(A,x_{0})\to \pi _{n}(X,x_{0})$ $j\kaksoispiste (X,x_{0})\to (X,A,x_{0})$ $(X,x_{0})$ $(X,x_{0},x_{0})$ $j_{*}\kaksoispiste \pi _{n}(X,x_{0})\to \pi _{n}(X,A,x_{0})$ $[f]\in \pi _{n}(X,A,x_{0})$ $f$ $minä^{{n-1}}$ $A$ $\osittainen I^{{n-1}}$ $x_{0}$ $\pi _{{n-1}}(A,x_{0})$ $\osittais \pi _{n}(X,A,x_{0})\to \pi _{{n-1}}(A,x_{0})$

\dots ~{\longrightarrow }\pi _{n}(A,x_{0}){\stackrel {i_{*n}}{\longrightarrow }}\pi _{n}(X,x_{ 0}){\stackrel {j_{*n}}{\longrightarrow }}\pi _{n}(X,A,x_{0}){\stackrel {\partial _{n}}{\longrightarrow }} \pi _{n-1}(A,x_{0}){\longrightarrow }~\dots

Tämä sekvenssi on tarkka , eli minkä tahansa homomorfismin kuva osuu yhteen seuraavan homomorfismin ytimen kanssa. Näin ollen siinä tapauksessa , että kaikille , rajahomomorfismi on isomorfismi. $\pi _{n}(X,x_{0})=0$ $n\geqslant 1$ $\partial \colon \pi _{{n+1}}(X,A,x_{0})\to \pi _{n}(A,x_{0})$

Historia

Perusryhmän esitteli topologian luoja Henri Poincaré , korkeamman homotopian ryhmät esitteli Vitold Gurevich . Määritelmiensä yksinkertaisuudesta huolimatta tiettyjen ryhmien laskeminen (jopa sellaisille yksinkertaisille tiloille kuin korkeaulotteiset pallot S n (katso pallojen homotoopiaryhmät ) on usein erittäin vaikea tehtävä, ja yleiset menetelmät saatiin vasta puolivälissä. 1900-luku spektrisekvenssien myötä .

Kirjallisuus

Dubrovin B. A., Novikov S. P., Fomenko A. T. Moderni geometria: menetelmät ja sovellukset. - M .: Nauka, 1979
Rokhlin V. A., Fuchs D. B. Topologian alkukurssi. Geometriset päät. - M .: Nauka, 1977
Switzer R. M. Algebrallinen topologia - homotopia ja homologia. - M .: Nauka, 1985
Spanier E. Algebrallinen topologia. - M .: Mir, 1971
Fomenko A. T., Fuchs D. B. Homotopian topologian kurssi. - M .: Nauka, 1989