Eroaminen

Divergenssi ( latinasta divergere - havaitse ristiriita) - differentiaalioperaattori , joka kuvaa vektorikentän skalaariin (eli differentiointioperaation soveltamisen seurauksena vektorikenttään saadaan skalaarikenttä), joka määrittää ( jokaiselle piste) "kuinka paljon saapuvat ja lähtevät eroavat tietyn pistekentän pienestä naapurustosta", tarkemmin sanottuna, kuinka paljon saapuvat ja lähtevät virrat eroavat .

Jos otamme huomioon, että virralle voidaan antaa algebrallinen etumerkki, niin tulevaa ja lähtevää virtaa ei tarvitse ottaa erikseen huomioon, vaan kaikki otetaan automaattisesti huomioon etumerkillä summattaessa. Siksi voimme antaa lyhyemmän määritelmän erolle:

Divergenssi on lineaarinen differentiaalioperaattori vektorikentässä, joka luonnehtii tietyn kentän virtausta kentänmäärittelyalueen jokaisen sisäpisteen riittävän pienen (tietyn ongelman olosuhteissa) alueen pinnan läpi.

Kenttään käytetty erooperaattori on merkitty nimellä $\ {\mathbf F}$

\ \operaattorin nimi {div}{\mathbf F}

tai

\ \nabla \cdot {\mathbf F}

Määritelmä

Eron määritelmä näyttää tältä:

\operaattorinnimi {div} \,\mathbf {F} =\lim _{V\rightarrow 0}({\mathit {\Phi }}_{\ \mathbf {F} } \over V},

missä on vektorikentän virtaus pallomaisen pinnan läpi, jonka pinta- ala rajoittaa tilavuutta . Vielä yleisempi ja siksi kätevämpi käyttää on määritelmä, milloin pinnan ja tilavuuden omaavan alueen muoto saa olla mikä tahansa. Ainoa vaatimus on, että se on pallon sisällä, jonka säde on nolla (eli koko pinta on äärettömän pienellä tietyn pisteen ympäristössä, mikä on välttämätöntä, jotta divergentti olisi paikallinen operaatio ja jolle se ei tietenkään riitä, että sen sisäosan pinta-ala ja tilavuus pyrkivät nollaan). Molemmissa tapauksissa oletetaan, että $\Phi _{\mathbf {F} }$ $F$ $S$ $V$ $S$ $V$

{\mathit {\Phi }}_{\ \mathbf {F} }=\iint \limits _{S}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\ osajoukko \!\supset \;({\vec {F}},d{\vec {S}}).

Tämä määritelmä, toisin kuin alla oleva, ei ole sidottu tiettyihin koordinaatteihin , esimerkiksi karteesiseen , mikä voi olla lisämukavuutta tietyissä tapauksissa. (Jos esimerkiksi valitset naapuruston kuution tai suuntaissärmiön muodossa , kaavat suorakulmaisille koordinaateille on helppo saada).

Määritelmä voidaan helposti ja suoraan yleistää mihin tahansa tilan ulottuvuuteen: tässä tapauksessa tilavuudella tarkoitetaan -ulotteista tilavuutta ja pinta- alalla ( ) vastaavan (hyper)pinnan mitta-alaa. ulottuvuus. $n$ $n$ $n-1$

Määritelmä suorakulmaisina koordinaateina

Oletetaan, että vektorikenttä on jollain alueella differentioituva. Sitten kolmiulotteisessa karteesisessa avaruudessa poikkeama määräytyy lausekkeen avulla

\operatorname {div}\,{\mathbf {F}}={\frac {\partial F_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial F_{y}}{\partial y}} +{\frac {\partial F_{z}}{\partial z}}\ \ \

(tässä F on tietty vektorikenttä karteesisilla komponenteilla ): $F_x, F_y, F_z$

Sama lauseke voidaan kirjoittaa nabla-operaattorilla

\operaattorinimi {div}\,{\mathbf {F}}=\nabla \cdot {\mathbf {F}}\ \ \

Moniulotteinen, samoin kuin kaksiulotteinen ja yksiulotteinen, divergenssi määritellään karteesisissa koordinaateissa vastaavan ulottuvuuden avaruudessa täysin samalla tavalla (vain termien määrä muuttuu ylemmässä kaavassa, kun taas alempi pysyy samana, mikä tarkoittaa sopivan mittasuhteen nabla-operaattoria).

Fyysinen tulkinta

Fysiikan näkökulmasta (sekä suppeassa mielessä että matemaattisen operaation intuitiivisen fyysisen kuvan mielessä) vektorikentän divergentti on osoitus siitä, missä määrin tietty piste avaruudessa (tarkemmin , riittävän pieni pisteen ympäristö) on tämän kentän lähde tai nielu :

\operaattorin nimi {div}\,{\mathbf {F}}>0

— kentän piste on lähde;

\operaattorin nimi {div}\,{\mathbf {F}}<0

— kenttäpiste on viemäri;

\operaattorinimi {div}\,{\mathbf {F}}=0

- nieluja ja lähteitä ei ole tai ne kompensoivat toisiaan.

Yksinkertainen, vaikkakin ehkä hieman kaavamainen esimerkki on järvi (yksinkertaisuuden vuoksi vakio yksikkösyvyys, jossa veden virtausnopeus on kaikkialla vaakasuora ja joka ei riipu syvyydestä, mikä antaa kaksiulotteisen vektorikentän kaksiulotteisessa avaruudessa) . Jos haluat realistisemman kuvan, voit harkita vaakasuuntaista nopeusprojektiota integroituna pystysuoran tilakoordinaatin yli, joka antaa saman kuvan kaksiulotteisesta vektorikentästä kaksiulotteisessa avaruudessa, ja kuva on laadullisesti tarkoituksiinmme ei eroa paljon yksinkertaistetusta ensimmäisestä, mutta kvantitatiivisesti se on yleistys (erittäin realistinen). Tällaisessa mallissa (sekä ensimmäisessä että toisessa versiossa) järven pohjasta pursuavat lähteet antavat positiivisen poikkeaman virran nopeuskenttään ja vedenalaiset viemärit (luolat, joista vesi virtaa ulos) antavat negatiivisen eron. .

Virtatiheysvektorin divergentti antaa miinus varauksen kertymisnopeuden sähködynamiikassa (koska varaus säilyy, eli se ei katoa eikä näy, vaan voi liikkua vain jonkin tilavuuden rajojen läpi kerääntyäkseen siihen tai jätä se; ja jos positiivisia ja negatiivisia varauksia on tai ne katoavat jonnekin - niin vain yhtä suuria määriä). (Katso jatkuvuusyhtälö ).

Voimaluonteisen kentän hajoaminen, kuten kentänvoimakkuus sähköstatiikassa, sähködynamiikassa tai Newtonin painovoimateoriassa, divergenssi määrää myös kenttälähteiden sijainnin, joita tässä tapauksessa kutsutaan varauksiksi ( sähkövaraukseksi sähköstatiikka ja sähködynamiikka , massa Newtonin painovoiman tapauksessa ). Näissä teorioissa kentänvoimakkuuden divergentti vakiokertoimeen [1] asti on yhtä suuri kuin varaustiheys (sähköstaattisissa ja sähködynamiioissa sähkövarausten tiheys; painovoiman tapauksessa massatiheys; lisäksi painovoiman tapaus eroaa tämän vakion etumerkistä).

\operaattorinnimi {div} \,\mathbf {E} ={\frac {1}{\varepsilon _{0))}\rho

- sähkökentän ja sähkövarauksen tiheydelle, SI ,

\operaattorin nimi {div} \,\mathbf {g} =-4\pi G\rho

- Newtonin gravitaatiokenttään.

Geometrinen tulkinta

Todennäköisesti ilmeisin ja yksinkertaisin yleinen geometrinen tulkinta divergenssista (itse määritelmän lisäksi, joka on myös melko geometrinen) on tulkinta, jossa sen integraaliviivoja edustaa vektorikenttä (joita kutsutaan myös voimalinjoiksi voimaluonteisten kenttien tapauksessa tai virtaviivaistaa nesteen virtausnopeuskentän tapauksessa). tai kaasu). Pisteet, joissa uudet viivat ilmestyvät (suunnassa pois tästä pisteestä), ovat pisteitä, joissa kentän hajoaminen on positiivinen; missä suorat päättyvät (viivan suunnalla kohti pistettä), siellä ero on negatiivinen. Kun viivojen määrä on vakio niiden kurssilla, toisin sanoen missä niin monta viivaa alkaa kuin ne päättyy, kentän poikkeama on nolla.

Tämä tulkinta perustuu sopimukseen, jonka mukaan tarkasteltaville viivoille on asetettu ehto, että tiettyä pistettä lähellä olevien viivojen tiheys on verrannollinen vektorikentän suuruuteen tällä alueella mielivaltaisen suuret ja jopa äärettömät viivat vain tiheyden suhteellisuus jossain kenttävektorin suuruuteen on tärkeää). Muuten tietysti ainakin jatkuvan lähteiden (maksujen) jakautumisen tapauksessa mitä tahansa yhtenäistä kentän linjaa voisi jatkaa ja ajatus niiden alkamisesta tai lopusta jossain ei olisi merkityksetön, paitsi ehkä diskreetti paikoissa, eikä jatkuvasti levitetyistä lähteistä.

Jos otamme maanpinnan jyrkimmän laskeuman suuntajoukon vektorikenttään (kaksiulotteisessa avaruudessa), niin divergentti näyttää huippujen ja kourujen sijainnin, ja pisteissä divergenssi on positiivinen. (laskeutumissuunnat poikkeavat pisteistä) ja negatiiviset kouruissa (kohteen laskeutumissuunnan kourut suppenevat). Tämä ei kuitenkaan millään tavalla määritä tällaisen kentän divergenssin etumerkkiä tai yhtäläisyyttä nollaan rinteillä. [2]

Ero fysiikassa

Divergenssi on yksi fysiikan yleisimmin käytetyistä operaatioista. Se on yksi harvoista teoreettisen fysiikan peruskäsitteistä ja yksi fyysisen kielen peruselementeistä.

Klassisen kenttäteorian vakiomuotoilussa ero on keskeinen paikka (vaihtoehtoisissa formulaatioissa se ei ehkä ole esityksen keskiössä, mutta on silti tärkeä tekninen työkalu ja tärkeä idea).

Sähködynamiikassa divergenssi sisältyy päärakenteena kahdessa neljästä Maxwellin yhtälöstä . Newtonin painovoiman teorian perusyhtälö kenttämuodossa sisältää päärakenteena myös divergenssin (painovoimakentän vahvuudet). Painovoiman tensoriteorioissa (mukaan lukien yleinen suhteellisuusteoria ja sitä ennen kaikkea mielessä) peruskenttäyhtälö (yleisessä suhteellisuusteoriassa, mutta pääsääntöisesti - tavalla tai toisella - myös vaihtoehtoisissa moderneissa teorioissa) sisältää myös eron joissakin yleistys. Samaa voidaan sanoa klassisesta (eli ei kvantti) teoriasta melkein minkä tahansa peruskentän, sekä kokeellisesti tunnetun että hypoteettisen, osalta.

Lisäksi, kuten yllä olevista esimerkeistä voidaan nähdä, eroa voidaan soveltaa myös puhtaasti geometrisesti, ja myös - erityisen usein - erilaisiin materiaalivirtoihin (nesteen tai kaasun virtauksen nopeuden ero, sähkövirran tiheyden ero virta jne.).

Ominaisuudet

Seuraavat ominaisuudet voidaan johtaa tavallisista erottelusäännöistä.

Lineaarisuus : kaikille vektorikentille F ja G ja kaikille reaaliluvuille a ja b

\operaattorinnimi {div} (a\mathbf {F} +b\mathbf {G} )=a\;\operaattorinimi {div} \mathbf {F} +b\;\operaattorinimi {div} \mathbf {G }

Jos φ on skalaarikenttä ja F on vektorikenttä, niin:

\operaattorinimi {div} \varphi \mathbf {F} =\operaattorinimi {grad} \varphi \cdot \mathbf {F} +\varphi \;\operaattorinimi {div} \mathbf {F} ,

tai

\nabla \cdot (\varphi {\mathbf {F}})=(\nabla \varphi )\cdot {\mathbf {F}}+\varphi \;(\nabla \cdot {\mathbf {F}}).

Ominaisuus, joka yhdistää kolmiulotteisessa avaruudessa annetut vektorikentät F ja G roottoriin :

\operaattorinnimi {div} (\mathbf {F} \times \mathbf {G} )=\operaattorinimi {rot} \mathbf {F} \cdot \mathbf {G} \;-\;\mathbf {F} \cdot \operaattorin nimi {rot} \mathbf {G} ,

tai

\nabla \cdot ({\mathbf {F}}\times {\mathbf {G}})=(\nabla \times {\mathbf {F}})\cdot {\mathbf {G}}-{\mathbf { F}}\cdot (\nabla \times {\mathbf {G}}).

Poikkeama gradientista on laplalainen :

\operaattorinnimi {div} \operaattorin nimi {grad} \varphi =\Delta \varphi

Ero roottorista :

\operaattorin nimi {div} \operaattorin nimi {rot} \mathbf {F} =0

Ortogonaalisten kaarevien koordinaattien ero

\operaattorinnimi {div}({\mathbf {A}})=\operaattorinnimi {div}({\mathbf {q_{1}}}A_{1}+{\mathbf {q_{2}}}A_{2} +{\mathbf {q_{3}}}A_{3})=

$={\frac {1}{H_{1}H_{2}H_{3))}\left[{\frac {\partial }{\partial q_{1))}(A_{1}H_{2} H_{3})+{\frac {\partial }{\partial q_{2))}(A_{2}H_{3}H_{1})+{\frac {\partial }{\partial q_{3 }}}(A_{3}H_{1}H_{2})\oikea]$ , missä ovat Lame - kertoimet . $Hei$

Sylinterimäiset koordinaatit

Lame kertoimet:

{\begin{matrix}H_{r}=1;\\H_{\theta }=r;\\H_{z}=1.\end{matrix))

Täältä:

\operaattorinnimi {div}{\mathbf {A}}(r,\theta ,z)={\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}(A_{r}r )+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial \theta }}(A_{\theta })+{\frac {\partial }{\partial z}}(A_{ z})

Pallokoordinaatit

Lame kertoimet:

{\begin{matrix}H_{r}=1;\\H_{\theta }=r;\\H_{\phi }=r\sin {\theta }.\end{matrix))

Täältä:

\operaattorinimi {div}{\mathbf {A}}(r,\theta ,\phi )={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\ vasen[A_{r}r^{2}\oikea]+{\frac {1}{r\sin {\theta }}}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left[A_{ \theta }\sin {\theta }\right]+{\frac {1}{r\sin {\theta }}}{\frac {\partial }{\partial \phi }}{\big [}A_{ \phi }{\big ]}

Paraboliset koordinaatit

Lame kertoimet:

{\begin{matrix}H_{\xi }={\frac {\sqrt {\xi +\eta }}{2{\sqrt {\xi }}}};\\H_{\eta }= {\frac {\sqrt {\xi +\eta }}{2{\sqrt {\eta }}}};\\H_{\phi }={\sqrt {\eta \xi }}\end{matrix} }

Täältä:

\operaattorinimi {div}{\mathbf {A}}(\xi ,\eta ,\phi )={\frac {4}{\xi +\eta }}{\frac {\partial }{\partial \xi } }\left[A_{\xi }{\frac {{\sqrt {\xi ^{2}+\xi \eta }}}{2}}\right]+{\frac {4}{\xi +\ eta )){\frac {\partial }{\partial \eta ))\left[A_{\eta }{\frac ({\sqrt {\eta ^{2}+\xi \eta ))}{2} }\right]+{\frac {1}({\sqrt {\xi \eta }}}}{\frac {\partial }{\partial \phi }}{\Big [}A_{\phi }{\ Iso ]}

Elliptiset koordinaatit

Lame kertoimet:

{\begin{matrix}H_{\xi }=\sigma {\sqrt {\frac {\xi ^{2}-\eta ^{2)){\xi ^{2}-1))} ,\\H_{\eta }=\sigma {\sqrt {\frac {\xi ^{2}-\eta ^{2}}{1-\eta ^{2}}}},\\H_{\ phi }=\sigma {\sqrt {(\xi ^{2}-1)(1-\eta ^{2})}}.\end{matrix}}

Täältä

\operaattorinimi {div}{\mathbf {A}}(\xi ,\eta ,\phi )={\frac {1}{\sigma (\xi ^{2}-\eta ^{2}))){ \frac {\partial }{\partial \xi }}\left[A_{\xi }{\sqrt {(\xi ^{2}-\eta ^{2})(\xi ^{2}-1) }}\right]+

+{\frac {1}{\sigma (\xi ^{2}-\eta ^{2))))){\frac {\partial }{\partial \eta ))\left[A_{ \ eta }{\sqrt {(\xi ^{2}-\eta ^{2})(1-\eta ^{2})))\oikea]+{\frac {1}{\sigma {\sqrt { (\xi ^{2}-1)(1-\eta ^{2}))))}{\frac {\partial }{\partial \phi }}{\Big [}A_{\phi }{ \ Iso ]}.

Satunnaisten kaarevien koordinaattien ero ja sen yleistäminen

Kaava vektorikentän hajaannukselle mielivaltaisissa koordinaateissa (missä tahansa äärellisissä ulottuvuuksissa) voidaan helposti saada yleisestä määritelmästä virtaus-tilavuussuhteen rajan suhteen käyttämällä sekatulotensorimerkintää ja tilavuustensorikaavaa.

Hajoamisoperaatio on yleistetty toimintaan, ei vain vektoreille, vaan myös korkeamman tason tensoreille.

Yleensä divergenssi määritellään kovarianttiderivaattalla :

\operaattorin nimi {div}=(\nabla \cdot )={\vec {R}}^{\alpha }\nabla _{\alpha }\cdot

, missä ovat koordinaattivektorit .

{\vec {R}}^{\alpha }

Tämän avulla voit löytää lausekkeita vektorin mielivaltaisten koordinaattien eroille:

\nabla \cdot {\vec {v}}={\vec {R}}^{\alpha }\nabla _{\alpha }\cdot v^{i}{\vec {R}}_{i}= \nabla _{i}v^{i}

tai tensorikenttä :

\nabla \cdot T={\vec {R}}^{\alpha }\nabla _{\alpha }\cdot T^{{ij}}{\vec {R}}_{i}{\vec {R }}_{j}={\vec {R}}_{j}\nabla _{i}T^{{ij}}

Yleensä ero alentaa tensorin arvoa yhdellä.

Tensorin divergenssiominaisuudet

\nabla \cdot {\vec {v}}{\vec {v}}={\vec {v}}\nabla \cdot {\vec {v}}+\left({\vec {v}}\cdot \nabla \right){\vec {v}}

Katso myös

Muistiinpanot

↑ Tyhjiöteorialle, joka on perustavanlaatuinen, tämä vakio on perusvakio, joka riippuu vain yksikköjärjestelmästä; fenomenologiselle teorialle polarisaatiokykyisessä väliaineessa asia muuttuu hieman monimutkaisemmaksi, koska suhteellisuuskerroin vaikuttaa väliaineen ominaisuuksiin (polarisoituvuus) - homogeeniselle väliaineelle tämä kerroin osoittautuu kuitenkin myös vakioksi. , vaikkakaan ei ole perustavanlaatuinen, mutta riippuu välineen sisällöstä.
↑ Jos määrittelemme tällaisen vektorikentän niin, että tämän kentän vektorin moduuli on aina yksikkö (vain osoittaen suunnan), niin yksinkertaisissa esimerkeissä (esimerkiksi täysin symmetriselle vuorelle) on helppo nähdä, että poikkeama on positiivinen, kunnes kaltevuus päättyy (mutta nopeimman laskeutumisen suuntavektorin yhtenäisyyden ehdon asettamiseksi kärkipisteiden ja reikien kohdissa se on määrittelemätön, ja ero niissä on ääretön); jos emme aseta yksikkövektoriehtoja, vaan otamme (yksinkertaisimpana) miinus korkeusgradientti , niin ero riippuu kaltevuuden kuperuudesta tai koveruudesta (sen eri kohdissa), jotka yleisesti ottaen voivat olla erilaisia kaikkialla rinteessä, sekä merkillä että kooltaan (toisin kuin huiput, jotka ovat aina kuperia, ja kuoppia, jotka ovat aina koveria - jos tarkoitamme itse korkeuden ääripisteitä).

Differentiaalilaskenta

Main

yksityiset näkymät

Differentiaalioperaattorit
( eri koordinaateissa )

Ensimmäinen tilaus	Nabla operaattori Kaltevuus Eroaminen Roottori Helmholtzian
toinen tilaus	Elliptinen operaattori Laplacen operaattori Laplace-vektorioperaattori D'Alembert-operaattori Laplace-Beltrami operaattori
korkeammat tilaukset	Hypoelliptinen operaattori

liittyvät aiheet