Lopullisesti luotu moduuli

Äärillisesti generoitu moduuli assosiatiivisen renkaan yli on moduuli , jonka muodostaa äärellinen määrä sen elementtejä. Esimerkiksi oikealle moduulille tämä tarkoittaa, että on olemassa äärellinen joukko elementtejä siten, että mikä tahansa alkio kohteesta voidaan esittää summana , jossa on joitain renkaan alkioita . $M$ $A$ $m_{1},m_{2},\ldots ,m_{n}\in M$ $M$ $m_{1}a_{1}+m_{2}a_{2}+\lpisteet +m_{n}a_{n}$ $a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\in A$ $A$

Äärillisesti generoituun läheisesti liittyvien ominaisuuksien joukossa ovat äärellisesti edustetut, äärellisesti yhdistetyt ja koherentit moduulit. Noetherian renkaalla kaikki neljä ominaisuutta ovat samanarvoisia.

Kentän yli äärellisesti generoidut moduulit ovat täsmälleen äärellisulotteisia vektoriavaruuksia.

Ominaisuudet

Kuva äärellisesti generoidusta moduulista homomorfismin alla on myös äärellisesti generoitu. Yleensä äärellisesti generoidun moduulin alimoduulit eivät välttämättä ole äärellisesti generoituja. Tarkastellaan esimerkiksi polynomien rengasta R = Z [ x 1 , x 2 …] äärettömässä määrässä muuttujia. Tämä rengas generoidaan äärellisesti R - moduulina. Tarkastellaan sen alimoduulia (eli ideaalia ), joka koostuu kaikista polynomeista, joiden kerroin on nolla vakiolla. Jos tällä moduulilla olisi äärellinen generointijoukko, niin jokainen monomi x i olisi sisällytettävä johonkin tämän joukon polynomeista, mikä on mahdotonta.

Moduulia kutsutaan Noetherian , jos jokin sen alimoduuleista on äärellisesti generoitu. Lisäksi Noether- renkaan yli oleva moduuli generoidaan äärellisesti, jos ja vain jos se on Noetherian.

Olkoon 0 → M′ → M → M′′ → 0 tarkka moduulijono. Jos M′ ja M′′ generoidaan tässä äärellisesti, niin M on myös äärellisesti generoitu. Tietyt väitteet ovat myös totta, osittain päinvastaisia kuin tämä. Jos M on äärellisesti generoitu ja M'' on äärellisesti edustettu (tämä on vahvempi ehto kuin olla äärellisesti generoitu, katso alla), niin M′ on äärellisesti generoitu.

Kommutatiivisessa algebrassa äärellisen generoinnin ja kokonaislukuelementtien välillä on tietty yhteys . Kommutatiivisen algebran A yli R :n sanotaan generoituvan äärellisesti R :n yli , jos sen alkioista on olemassa äärellinen joukko siten, että A on A :n pienin osajoukko , joka sisältää R :n ja nämä alkiot. Tämä on heikompi ehto kuin olla äärellisesti generoitu: esimerkiksi polynomialgebra R [ x ] on äärellisesti generoitu algebra, mutta ei äärellisesti generoitu moduuli. Seuraavat lausunnot vastaavat [1] :

A on äärellisesti generoitu moduuli;
A on äärellisesti generoitu algebra, joka on R :n koko laajennus .

Hienosti esitellyt, täsmällisesti yhdistetyt ja yhtenäiset moduulit

Äärillisesti generoitu ominaisuus voidaan muotoilla seuraavasti: äärellisesti generoitu moduuli M on moduuli, jolle on olemassa epimorfismi

f : R k → M .

Mieti nyt epimorfismia

φ : F → M

vapaasta moduulista F moduuliin M .

Jos epimorfismin φ ydin generoidaan äärellisesti, M :tä kutsutaan äärellisesti kytketyksi moduuliksi . Koska M on isomorfinen F /ker(φ) kanssa, tämä ominaisuus voidaan ilmaista seuraavasti: M saadaan vapaasta moduulista lisäämällä äärellinen määrä suhteita .
Jos epimorfismin φ ydin generoidaan äärellisesti ja F :n arvo on äärellinen, niin M :tä kutsutaan äärelliseksi esitetyksi moduuliksi . Tässä M :llä on äärellinen määrä generaattoreita (generaattoreiden F kuvat ) ja äärellinen määrä suhteita (generaattorit ker(φ)).
Koherentti moduuli on äärellisesti generoitu moduuli, jonka kaikki äärellisesti generoidut alimoduulit on esitetty äärellisesti.

Jos maadoitusrengas R on Noetherian , kaikki neljä ehtoa ovat samanarvoisia.

Vaikka koherenssiehto näyttää "hankalammalta" kuin äärellisesti yhdistetyt ja esitetyt ehdot, se on myös mielenkiintoinen, koska koherenttien moduulien luokka on Abelin , toisin kuin äärellisesti generoitujen tai äärellisesti esitettyjen moduulien luokka.

Katso myös

Muistiinpanot

↑ Kaplansky, 1970 , Lause 17, s. yksitoista.

Kirjallisuus

Atiyah M., McDonald I. . Johdatus kommutatiiviseen algebraan. - M . : Factorial Press, 2003. - ISBN 5-88688-067-4 .
Bourbaki, Nicolas. . Kommutatiivinen algebra. Luvut 1-7. Käännetty ranskasta. Uusintapainos vuoden 1989 englanninkielisestä käännöksestä. - Berliini: Springer-Verlag, 1998. - xxiv + 625 s. - (Matematiikan elementit). — ISBN 3-540-64239-0 .
Kaplansky, Irving. . kommutatiiviset renkaat. - Boston: Allyn and Bacon Inc., 1970. - x + 180 s.
Lam T.Y. Luentoja moduuleista ja renkaista. - Springer-Verlag, 1999. - (Matematiikan tutkinnon tekstit. Nro 189). — ISBN 978-0-387-98428-5 .
Lang, Serge. . Algebra. 3. painos - Addison-Wesley , 1997. - ISBN 978-0-201-55540-0 .