Kokoonpano (geometria)

Projektiivisessa geometriassa tasokonfiguraatio koostuu äärellisestä joukosta pisteitä ja äärellisestä suorien konfiguraatiosta siten, että jokainen piste on saman määrä viivoja ja jokainen suora kohtaa saman määrän pisteitä [2] .

Vaikka joitain tiettyjä konfiguraatioita oli tutkittu aiemmin (esimerkiksi Thomas Kirkman vuonna 1849), konfiguraatioiden muodollisen tutkimuksen aloitti ensimmäisen kerran Theodor Reyet vuonna 1876 kirjansa Geometrie der Lage ( Geometry ) toisessa painoksessa. asemasta ), Desarguesin lauseen keskustelun yhteydessä . Ernst Steinitz kirjoitti aiheesta väitöskirjansa vuonna 1894, ja Hilbert ja Cohn-Vossen puolipolarisoivat vuonna 1932 konfiguraatiot teoksessa Anschauliche Geometrie ( Visual Geometry ), joka käännettiin englanniksi [3] ja venäjäksi.

Konfiguraatioita voidaan tutkia joko konkreettisina pisteiden ja viivojen ryhminä tietyssä geometriassa, kuten euklidisessa tai projektitiivisessa tasossa (jolloin puhutaan realisaatiosta kyseisessä geometriassa), tai abstraktina tulogeometriana . Jälkimmäisessä tapauksessa konfiguraatiot liittyvät läheisesti säännöllisiin hypergrafeihin ja bisäännöllisiin kaksiosaisiin kaavioihin , mutta sillä lisärajoituksella, että mitkä tahansa kaksi esiintymisrakenteen pistettä voidaan liittää enintään yhteen riviin ja mitkä tahansa kaksi riviä voidaan liittää. enintään yhdellä pisteellä. Eli vastaavan kaksiosaisen graafin ympärysmitan ( Lévy -graafikonfiguraatio ) on oltava vähintään kuusi.

Merkintä

Tasokonfiguraatiota merkitään ( p γ ℓ π ), jossa p on pisteiden lukumäärä, ℓ on viivojen lukumäärä, γ on kunkin pisteen läpi kulkevien viivojen lukumäärä ja π on pisteiden lukumäärä kullakin viivalla. Näiden lukujen täytyy tyydyttää suhde

,

koska tämä tulo on yhtä suuri kuin pisteviivatapausten määrä ( lippujen ).

Konfiguraatioiden, joissa on sama symboli, ei tarvitse olla isomorfisia kuin esiintymisrakenteet . Esimerkiksi on kolme erilaista konfiguraatiota (9 3  9 3 ) - Pappus-konfiguraatio ja kaksi vähemmän tunnettua konfiguraatiota.

Joissakin kokoonpanoissa p = ℓ ja siksi γ = π. Niitä kutsutaan symmetrisiksi tai tasapainotetuiksi [4] konfiguraatioiksi ja tavallisesti merkintä jättää toiston pois. Esimerkiksi (9 3  9 3 ) pienennetään arvoon (9 3 ).

Esimerkkejä

Seuraavat projektiiviset konfiguraatiot tunnetaan parhaiten:

Kokoonpanojen kaksinaisuus

Projektiivisesti kaksoiskonfiguraatio kohteelle (pγlπ ) on konfiguraatio ( lπpγ ) , jossa " pisteiden " ja "viivojen" roolit ovat päinvastaisia. Siksi konfiguraatiot tulevat kaksoispareina, paitsi niissä tapauksissa, joissa kaksoiskonfiguraatio on isomorfinen alkuperäisen kanssa. Näitä poikkeuksia kutsutaan self-dual konfiguraatioiksi ja näissä tapauksissa p = l [6] .

Kokoonpanojen lukumäärä ( n 3 )

Tyypin ( n 3 ) ei-isomorfisten konfiguraatioiden lukumäärä, alkaen n = 7, on sekvenssin elementti

1 , 1 , 3 , 10 , 31 , 229 , 2036, 21399, 245342, ... OEIS - sekvenssi A001403

Nämä luvut lasketaan abstrakteina esiintyvyysrakenteina riippumatta niiden toteutusmahdollisuudesta [7] . Kuten Gropp kirjoittaa [8] , yhdeksän kymmenestä konfiguraatiosta (10 3 ) ja kaikki konfiguraatiot (11 3 ) ja (12 3 ) voidaan toteuttaa euklidisessa avaruudessa, mutta kaikilla n ≥ 16:lla on ainakin yksi realisoitumaton konfiguraatio ( n 3 ) . Gropp huomauttaa myös tässä sarjassa olevan pitkäaikaisen virheen - vuoden 1895 artikkelissa yritettiin luetella kaikki kokoonpanot (12 3 ) ja niistä löydettiin 228, mutta 229. kokoonpano löydettiin vasta vuonna 1988.

Symmetristen kokoonpanojen rakentaminen

Konfiguraatioiden rakentamiseen on useita tapoja, yleensä alkaen jo tunnetuista konfiguraatioista. Jotkut näistä yksinkertaisimmista menetelmistä rakentavat symmetrisiä ( p γ ) konfiguraatioita.

Mikä tahansa äärellinen projektiivinen taso , jonka kertaluku on n , on konfiguraatio (( n 2 + n + 1) n + 1 ). Olkoon Π projektiivinen taso kertalukua n . Poista pisteestä Π piste P ja kaikki P :n kautta kulkevat suorat Π (mutta ei näillä viivoilla olevia pisteitä lukuun ottamatta pistettä P ) ja poista viiva l , joka ei kulje P :n läpi ja kaikki tällä viivalla sijaitsevat pisteet. Tuloksena saadaan tyyppiä (( n 2 - 1) n ) oleva konfiguraatio. Jos valitsemme rakentamisen aikana P :n kautta kulkevan suoran l , saadaan tyyppiä (( n 2 ) n ) oleva konfiguraatio. Koska projektiivisten tasojen tiedetään olevan olemassa kaikille kertaluvuille n , jotka ovat alkulukujen potenssit, nämä rakenteet tarjoavat äärettömän symmetristen konfiguraatioiden perheen.

Kaikki konfiguraatiot eivät ole toteutettavissa, esimerkiksi konfiguraatiota (43 7 ) ei ole olemassa [9] . Kuitenkin Grupp [10] antoi konstruktion, joka osoittaa, että kun k ≥ 3 konfiguraatio ( p k ) on olemassa kaikille p ≥ 2 l k + 1, missä l k on k kertaluvun optimaalisen Golomb-viivaimen pituus .

Korkeat mitat

Konfiguroinnin käsite voidaan yleistää korkeampiin ulottuvuuksiin, kuten pisteisiin ja suoriin tai tasoihin avaruudessa . Tässä tapauksessa rajoitusta, jonka mukaan kaksi pistettä ei voi sijaita useammalla kuin yhdellä viivalla, voidaan lieventää, koska kaksi pistettä voi kuulua useampaan kuin yhteen tasoon.

Kolmiulotteisessa avaruudessa mielenkiintoisia ovat

Lisäyleistys saadaan kolmiulotteisessa avaruudessa ottamalla huomioon pisteiden, suorien ja tasojen esiintyminen, eli j - tilat 0 ≤ j < 3, jossa jokainen j - avaruus kohtaa N jk k -avaruutta ( j ≠ k ). Jos merkitsemme N jj :lla j -välien määrää, tällainen konfiguraatio voidaan esittää matriisina :

Lähestymistapa voidaan yleistää muihin dimensioihin n , joissa 0 ≤ j < n . Tällaiset konfiguraatiot liittyvät matemaattisesti säännöllisiin polyhedraihin [11] .

Katso myös

Muistiinpanot

  1. ↑ 1 2 Englannin kielellä - quadrangle ja quadrilateral , joka käännetään molemmissa tapauksissa venäjäksi nelikulmioksi . Tässä puhutaan kuitenkin eri luvuista.
  2. ↑ Kirjallisuudessa samasta käsitteestä käytetään termejä projektiivinen konfiguraatio ( Hilbert, Cohn-Vossen 1952 ) ja tyyppinen taktinen konfiguraatio (1,1) ( Dembowski 1968 ).
  3. ↑ Hilbert, Cohn-Vossen, 1952 , s. 94–170.
  4. ↑ Grünbaum, 2009 .
  5. ↑ Kelly, 1986 .
  6. ↑ Coxeter, 1999 , s. 106-149.
  7. ↑ Betten, Brinkmann, Pisanski, 2000 .
  8. ↑ Gropp, 1997 .
  9. ↑ Tämän konfiguraation pitäisi olla luokkaa 6 oleva projektiivinen taso, mutta sellaista tasoa ei Bruck-Reiser-lauseen mukaan ole olemassa.
  10. ↑ Gropp, 1990 .
  11. ↑ Coxeter, 1948 .

Kirjallisuus

Linkit