Mobius-nauha

Möbius-kaistale ( Möbius-nauha , Möbius- silmukka ) on topologinen kohde, yksinkertaisin suuntautumaton pinta , jolla on raja, yksipuolinen, kun se upotetaan tavalliseen kolmiulotteiseen euklidiseen avaruuteen . $\mathbb {R} ^{3}$

Saksalaisten matemaatikoiden August Ferdinand Möbiuksen ja Johann Benedict Listingin uskotaan löytäneen Möbius-kaistaleen itsenäisesti vuonna 1858, vaikka samanlainen rakenne on kuvattu 3. vuosisadan roomalaisessa mosaiikissa [1] [2] .

Mobius-nauhamalli on helppo tehdä: sinun on otettava riittävän pitkä paperiliuska ja liimattava nauhan vastakkaiset päät renkaaksi kääntämällä ensin toinen niistä. Kolmiulotteisessa euklidisessa avaruudessa on kahta tyyppiä Möbius-liuskoja kiertymissuunnasta riippuen: oikea ja vasen.

Möbius-nauhan Euler-ominaisuus on nolla.

Yhtälöt

Yksi tapa esittää Möbius-nauha osajoukona on parametrointi: $\mathbb {R} ^{3}$

x\left(u,v\right)=\left(1+{\frac {v}{2}}\cos {\frac {u}{2}}\right)\cos u,

y\left(u,v\right)=\left(1+{\frac {v}{2}}\cos {\frac {u}{2}}\right)\sin u,

z\left(u,v\right)={\frac {v}{2}}\sin {\frac {u}{2}},

missä ja . Nämä kaavat määrittelevät Möbius-kaistaleen, jonka leveys on 1, jonka keskiympyrän säde on 1, ja joka sijaitsee tasossa, jonka keskipiste on . Parametri kulkee nauhaa pitkin ja asettaa etäisyyden reunasta. $0\leqslant u<2\pi$ $-1\leqslant v\leqslant 1$ $xy$ $\left(0,\;0,\;0\oikea)$ $u$ $v$

Sylinterimäisissä koordinaateissa Möbius - nauhan rajoittamaton versio voidaan esittää yhtälöllä: $\left(r,\;\theta ,\;z\oikea)$

\log r\sin {\frac {\theta }{2}}=z\cos {\frac {\theta }{2)),

jossa logaritmilla on mielivaltainen kanta.

Ominaisuudet

Möbius-kaistan raja koostuu yhdestä suljetusta käyrästä.
Topologisesti Möbius - nauha voidaan määritellä neliön tekijäavaruudeksi suhteessa ekvivalenssirelaatioon . $\left[0,\;1\right]\times \left[0,\;1\right]$ $\left(x,\;0\right)\sim \left(1-x,\;1\right)$ $0\leqslant x\leqslant 1$
Möbius-nauha on myös ei-triviaalisen kuidun avaruus ympyrän päällä, jossa on kuituviivasegmentti.
Möbius-nauha voidaan sijoittaa niin , että raja on täydellinen ympyrä. Yksi tapa on soveltaa stereografista projektiota Klein-pulloon , joka on upotettu 3D - palloon . Ajatus on tämä: anna olla yksikköympyrä koneessa klo . Yhdistämällä antipodaaliset pisteet (eli pisteet kulmissa ja ) ympyrän kaarella, saadaan, että välillä ja kaaret ovat tason yläpuolella ja muiden kohdalla - alapuolella (lisäksi kahdessa paikassa kaaret sijaitsevat lentokone ). $\mathbb {R} ^{3}$ $C$ $xy$ $\mathbb {R} ^{3}$ $C$ $\theta$ $\theta +\pi$ $\theta$ $0$ $\pi /2$ $xy$ $\theta$ $xy$
- Kuitenkin mikä tahansa levy, joka tarttuu rajaympyrään, ylittää väistämättä Möbius-kaistan.
Esimerkki Möbius-nauhan upottamisesta on yhtälön antama pinta $\mathbb {C} ^{2}$

{\displaystyle z_{1}=\sin \eta \,e^{i\varphi ))

z_{2}=\cos \eta \,e^{i\varphi /2},

Tässä parametri muuttuu 0:sta arvoon . Tämän pinnan raja on ympyrä . Stereografinen projektio johtaa upottamiseen rajalla, joka on täsmälleen ympyrä.

\eta

\pi

z_{1}=0,|z_{2}|=1

\mathbb {R} ^{3}

Avoimet kysymykset

Mikä on minimi , että ei-leikkautuva Möbius-nauha voidaan taittaa suorakulmiosta, jonka sivu on pienempi 1 ja suurempi sivu k (paperia ei saa rypistää)? Alempi todistettu estimaatti on , ylempi arvio on [3] . $k$ ${\frac {\pi }{2))$ ${\sqrt {3}}$
Onko olemassa kaavaa, joka kuvaa Möbius-nauhaa, joka saadaan taittamalla litteä paperiarkki? Yllä olevat kaavat kuvaavat pintaa, jota ei voida taittaa paperiarkista, koska sillä on negatiivinen kaarevuus; kysymys kuuluu, onko mahdollista kuvata pintaa, jonka kaarevuus on nolla, samalla tavalla? [neljä]
- On vaikeampaa löytää muotoa, joka myös minimoi elastisen taivutusenergian. Ratkaisu tähän ongelmaan, jonka M. Sadowsky esitti ensimmäisen kerran vuonna 1930, julkaistiin vuonna 2007 [5] . Ratkaisua ei kuitenkaan kuvata algebrallisella kaavalla, ja on epätodennäköistä, että sellaista kaavaa on ollenkaan olemassa. Möbius-paperiliuskan spatiaalisen tasapainomuodon löytämiseksi on tarpeen ratkaista differentiaalialgebrallisen yhtälöjärjestelmän raja-arvotehtävä .

Jos nauha leikataan

Jos nauha leikataan yhtä etäisyyttä reunoista pitkin, kahden Möbius-nauhan sijasta saadaan yksi pitkä kaksipuolinen (kierretty täysi ympyrä) nauha. Tätä Möbius-yhtyeen ominaisuutta on käytetty vanhassa tempussa nimeltä "Afghan Bands" [6] ( eng. The Afghan Bands ) vuodesta 1904 [7] , sen kuvailee myös Norbert Wiener teoksessaan I Am a Mathematician (1956) [ 8] ja Martin Gardner teoksessa Mathematics, Magic and Mystery (1956), jälkimmäinen toteaa myös, että varhaisin viittaus Möbius-nauhan käyttöön taikatemppuihin on vuodelta 1882 [9] . Jos tuloksena oleva nauha leikataan keskeltä, saadaan kaksi tällaista nauhaa, jotka on kääritty päällekkäin.
Jos leikkaat Möbius-nauhaa vetäytyen reunasta noin kolmanneksen sen leveydestä, saadaan kaksi nauhaa, joista toinen on lyhyempi Möbius-kaistale, toinen on pitkä kaistale, jossa on kaksi puolikierrosta [10] .
Muita hihnayhdistelmiä voidaan tehdä hihnoista, joissa on kaksi tai useampi puolikierros. Jos esimerkiksi leikkaat nauhan kolmella puolikierroksella, saat nauhan käpristyneeksi apilasolmuksi . Nauhan osa, jossa on lisäkäänteitä, antaa odottamattomia hahmoja, joita kutsutaan paradromirenkaiksi .

Taide ja tekniikka

Möbius-nauha toimi inspiraationa veistoksille ja grafiikalle. Escher oli yksi taiteilijoista, joka piti siitä erityisen paljon ja omisti useita litografioitaan tälle matemaattiselle esineelle. Yksi kuuluisista, "Möbius strip II" [11] , esittää muurahaisia ryömimässä Möbius-kaistan pinnalla.

Möbius-kaistale on populaaritieteellisten kirjojen sarjan "Kvantti "kirjasto" tunnus . Se toistuu myös tieteiskirjallisuudessa , kuten Arthur C. Clarken novellissa "The Wall of Gloom". Joskus tieteiskirjallisuuden tarinat (seuraavat teoreettisia fyysikoita) viittaavat siihen, että universumimme voi olla jokin yleistetty Möbius-nauha. Myös Möbius-sormus mainitaan jatkuvasti uralilaisen kirjailijan Vladislav Krapivinin teoksissa , syklissä " Suurin kristallin syvyyksissä " (esimerkiksi "Outpost on the Anchor Field. Tale"). A.J. Deitchin novellissa " Moebius Strip" Bostonin metro rakentaa uutta linjaa, jonka reitti muuttuu niin hämmentäväksi, että siitä tulee Mobius-kaistale, jonka jälkeen junat alkavat kadota tälle linjalle. Tarinan perusteella kuvattiin Gustavo Mosqueran ohjaama fantasiaelokuva " Mobius ". Myös Möbius-nauhan ideaa käytetään M. Cliftonin tarinassa "Möbius-kaistalla".

Vuonna 1987 Neuvostoliiton jazzpianisti Leonid Chizhik äänitti albumin Moebius Tape, joka sisälsi myös samannimisen sävellyksen.

Möbius-nauhalla on teknisiä sovelluksia. Möbius- nauhan muotoinen hihnakuljetin kestää pidempään, koska hihnan koko pinta kuluu tasaisesti. Jatkuvassa nauhajärjestelmässä käytetään myös Möbius-nauhoja (äänitysajan kaksinkertaistamiseksi). Monissa matriisitulostimissa mustenauha on myös Möbius-nauhan muotoinen resurssien lisäämiseksi.

Myös CEMI RASin instituutin sisäänkäynnin yläpuolella on arkkitehti Leonid Pavlovin [12] yhteistyössä taiteilijoiden E. A. Žarenova ja V. K. Vasiltsov (1976) [13] suunnittelema mosaiikkikorkea "Möbius Strip" .

Joskus uskotaan, että Möbius-nauha on prototyyppi äärettömyydestä , mutta jälkimmäinen ilmestyi kaksi vuosisataa aikaisemmin [14] . $\infty$

Muunnelmia ja yleistyksiä

Tiivis yksipuolinen pinta on Klein-pullo . Klein-pullon saa liimaamalla reunoja pitkin kaksi Möbius-nauhaa. Tavallisessa kolmiulotteisessa euklidisessa avaruudessa tämä on mahdotonta tehdä luomatta itseleikkauksia.
Toinen samanlainen jakoputkisto on projektiivinen taso . Jos puhkaiset reiän projektiivitasoon, jäljelle jää Möbius-nauha. Toisaalta, jos liimaa levyn Möbius-nauhaan niiden rajojen mukaisesti, tuloksena on projektiivinen taso.

Katso myös

Muistiinpanot

↑ Larison, Lorraine L. (1973). "Möbius-bändi roomalaisissa mosaiikeissa". Amerikkalainen Tiedemies . 61 (5): 544-547. Bibcode : 1973AmSci..61..544L .
↑ Cartwright, Julyan H.E.; González, Diego L. (2016). "Möbius-nauhat ennen Möbiusta: topologisia vihjeitä muinaisissa esityksissä". Matemaattinen tiedustelu . 38 (2): 69-76. arXiv : 1609.07779 . Bibcode : 2016arXiv160907779C . DOI : 10.1007/s00283-016-9631-8 . MR 3507121 .
↑ Fuchs D. Möbius -nauha. Muunnelmia vanhasta teemasta Arkistoitu 15. marraskuuta 2011 Wayback Machinessa // Kvant, nro 1, 1979.
↑ Randrup T., Rogen P. Möbius-kaistaleen sivut (englanniksi) // Archiv der Mathematik : Journal. - 1996. - Voi. 66 . - s. 511-521 .
↑ Starostin. EL , van der Heijden GHM Möbius-nauhan muoto (englanniksi) // Nature Materials : Journal. - 2007. - doi : 10.1038/nmat1929 .
↑ Gardner M. Professori, jolla ei ollut puolia. Tekijän muistiinpanot // Tiede ja elämä . - 1977. - Nro 5 . - S. 127 . (Venäjän kieli)
↑ Professori Hoffmann. Myöhemmin Magic . - New York, Lontoo: E. P. Dutton & Company, George Routledge & Sons, 1904. - P. 471-473.
↑ Norbert Wiener. Olen matemaatikko . - Garden City, New York: Doubleday & Company, 1956. - s . 26-27 . Venäjän käännös: Norbert Wiener. Olen matemaatikko / Per. englannista. Yu.S. Rodman. - 2. painos - M .: Tiede , 1967. - S. 19-20.
↑ Martin Gardner. Matematiikka, taikuus ja mysteeri . - New York: Dover Publications, 1956. - P. 70-73 .
↑ Kordemsky B. A. Tee -se-itse- topologiset kokeet Arkistokopio 8. kesäkuuta 2016 Wayback Machinessa // Kvant, nro 3, 1974
↑ M.C. Escher - Mobius Strip II . Haettu 5. lokakuuta 2014. Arkistoitu alkuperäisestä 6. lokakuuta 2014. (määrätön)
↑ Ohjattu laskentatoiminto . Käyttöpäivä: 12. joulukuuta 2015. Arkistoitu alkuperäisestä 22. joulukuuta 2015. (määrätön)
↑ Arkkitehti Maria Serova - Leonid Pavlovin "korvatalosta" - Kylä - Kylä . Käyttöpäivä: 12. joulukuuta 2015. Arkistoitu alkuperäisestä 22. joulukuuta 2015. (määrätön)
↑ Möbius-nauha // Aikakauslehti "Weekend" nro 10 (106), 20.3.2009 . Haettu 4. elokuuta 2012. Arkistoitu alkuperäisestä 4. elokuuta 2012. (määrätön)

Kirjallisuus

Fomenko A. T., Fuchs D. B. Homotopian kurssi - M.: Nauka, 1989.
Gardner M. Matemaattisia ihmeitä ja salaisuuksia. - M .: Nauka, 1978.

Linkit

Sanakirjat ja tietosanakirjat	Suuri katalaani Britannica (verkossa) Universalis
Bibliografisissa luetteloissa	GND : 1106880307

Kompaktit pinnat ja niiden upotus kolmiulotteiseen tilaan

Kompaktin kolmiopinnan homeoformiteettiluokka määräytyy suuntautuvuuden, rajakomponenttien lukumäärän ja Eulerin ominaisuuden perusteella.

ei rajaa

Suuntautuva	Pallo (suku 0) Thor (suku 1) "Kahdeksan" (suku 2) " Pretzel " (suku 3) ...
Suuntautumaton	Todellinen projektiivinen taso suku 1; Taistelun pinta roomalainen pinta Klein-pullo (suku 2) Dick pinta (suku 3) ...

reunalla

Levy
- pallonpuolisko
Nauha
- Rengas
- Sylinteri
Mobius-nauha
- Möbius-nauha
Pallo jossa kolme reikää...

Liittyvät
käsitteet

Ominaisuudet	Yhteydet tiiviys Kolmio tai sileys Suuntautuvuus
Ominaisuudet	Reunuskomponenttien lukumäärä Suku Eulerin ominaisuus
Toiminnot	Yhdistetty summa reiän leikkaaminen Kahvan kiinnittäminen Möbius-nauhan kiinnitys Upotus