Lineaarinen näyttö

Lineaarinen kuvaus on lineaarisen numeerisen funktion (tarkemmin sanottuna funktion ) yleistys yleisempään argumenttien ja arvojen joukkoon . Lineaariset kartoitukset, toisin kuin epälineaariset kartoitukset, ovat riittävän hyvin tutkittuja, mikä mahdollistaa yleisen teorian tulosten menestyksellisen soveltamisen, koska niiden ominaisuudet eivät riipu suureiden luonteesta. $y=kx$

Lineaarinen operaattori (muunnos) on erikoistapaus vektoriavaruuden lineaarisesta kartoituksesta itseensä. [yksi]

Muodollinen määritelmä

Kentän yli olevan vektoriavaruuden lineaarinen kartoitus saman kentän yli olevaan vektoriavaruuteen ( lineaarinen operaattori välillä - ) on kartoitus $V$ $K$ $W$ $K$ $V$ $W$

f\colon V\to W

täyttää lineaarisuusehdon [2]

f(x+y)=f(x)+f(y)

f(\alpha x)=\alpha f(x)

kaikille ja . $x,y\in V$ $\alpha \in K$

Jos ja on sama vektoriavaruus, niin se ei ole vain lineaarinen kuvaus, vaan lineaarinen muunnos . $V$ $W$ $f$

Jos vain ensimmäinen ominaisuus on tosi, niin tällaista kartoitusta kutsutaan additiiviseksi .

Lineaaristen kuvausten avaruus

Jos määrittelemme yhteen- ja kertolaskuoperaatiot skalaarilla pääkentästä as $K$

${\näyttötyyli (f+g)(x)=f(x)+g(x)\quad \forall x\in V}$
$(kf)(x)=kf(x)\quad \forall x\in V,\forall k\in K$

silloin kaikkien lineaaristen kuvausten joukko välillä - on vektoriavaruus, jota yleensä merkitään nimellä $V$ $W$ ${\mathcal {L}}(V,W)$

Rajalliset lineaarioperaattorit. Operaattorinormi

Jos vektoriavaruudet ja ovat lineaarisia topologisia avaruuksia , eli niille on määritelty topologioita , joiden suhteen näiden avaruuksien operaatiot ovat jatkuvia , niin rajatun operaattorin käsite voidaan määritellä: lineaarista operaattoria kutsutaan rajoittetuksi, jos se kestää rajatut joukot rajoitetuiksi (etenkin kaikki jatkuvat operaattorit ovat rajoitettuja ). Erityisesti normiavaruuksissa joukko on rajoitettu, jos jonkin sen alkion normi on rajoitettu, joten tässä tapauksessa operaattorin sanotaan olevan rajoitettu, jos on olemassa luku N , joka on . Voidaan osoittaa, että normiavaruuksien tapauksessa operaattoreiden jatkuvuus ja rajallisuus ovat ekvivalentteja. Pienintä vakioista N , joka täyttää yllä olevan ehdon, kutsutaan operaattorinormiksi : $V$ $W$ ${\displaystyle \forall x\in V,\|Ax\|_{W}\leqslant N\|x\|_{V))$

$\|A\|=\sup _{{\|x\|\not =0}}{\frac {\|Ax\|}{\|x\|}}=\sup _{{\|x\ |=1}}{\|Ax\|}.$

Operaattoreiden normin käyttöönotto mahdollistaa sen, että lineaaristen operaattoreiden avaruutta voidaan pitää normoituna lineaarisena avaruutena (otetun normin vastaavien aksioomien pätevyys voidaan tarkistaa). Jos avaruus on Banach , niin lineaaristen operaattoreiden avaruus on myös Banach. $W$

Käänteinen operaattori

Operaattoria kutsutaan lineaarisen operaattorin käänteiseksi, jos seuraava suhde pätee: $A^{{-1}}$ $A$ $A^{{-1}}A=AA^{{-1}}=1$

Lineaarioperaattorin käänteisarvo on myös lineaarinen operaattori. Jos on lineaarinen jatkuva operaattori, joka kuvaa yhden Banach-avaruuden (tai F-avaruuden ) toiseen, niin käänteisoperaattori on myös lineaarinen jatkuva operaattori. $A^{{-1}}$ $A$ $A$

Lineaarinen kartoitusmatriisi

Lineaarinen kartoitusmatriisi on matriisi, joka ilmaisee lineaarisen kartoituksen jollakin perusteella . Sen saamiseksi on tarpeen vaikuttaa kartoitukseen kantavektoreiden perusteella ja kirjoittaa saatujen vektorien koordinaatit (kantavektorien kuvat) matriisin sarakkeisiin.

Näyttömatriisi on samanlainen kuin vektorin koordinaatit. Tässä tapauksessa vektorin kuvaaminen vastaa matriisin kertomista tämän vektorin koordinaattisarakkeella samalla perusteella.

Valitaan pohja . Antaa olla mielivaltainen vektori. Sitten sitä voidaan laajentaa tällä perusteella: ${\mathbf {e}}_{k}$ $\mathbf {x}$

{\mathbf {x}}=x^{k}{\mathbf {e}}_{k}

missä ovat vektorin koordinaatit valitussa kannassa. $x^{k}$ $\mathbf {x}$

Tässä ja alla oletetaan summaamista tyhmien indeksien yli .

Antaa olla mielivaltainen lineaarinen kartoitus. Toimimme edellisen tasa-arvon molemmin puolin, saamme $\mathbf {A}$

{\mathbf {Ax}}=x^{k}{\mathbf {Ae}}_{k}

Laajennamme myös vektoreita valitussa kannassa, saamme ${\mathbf {Ae}}_{k}$

{\mathbf {Ae}}_{k}=a_{k}^{j}{\mathbf {e}}_{j}

missä on -: nnen vektorin -: s koordinaatti . $a_{k}^{j}$ $j$ $k$ ${\mathbf {Ae}}_{k}$

Korvaamalla laajennuksen edelliseen kaavaan, saamme

{\mathbf {Ax}}=x^{k}a_{k}^{j}{\mathbf {e}}_{j}=(a_{k}^{j}x^{k}){\ mathbf {e}}_{j}

Suluissa oleva lauseke ei ole muuta kuin kaava matriisin kertomiseksi sarakkeella, ja näin ollen matriisi, kun se kerrotaan sarakkeella , johtaa vektorin koordinaateihin , jotka syntyivät operaattorin toiminnasta. vektorissa , joka oli hankittava. $a_{k}^{j}x^{k}$ $a_{k}^{j}$ $x^{k}$ ${\mathbf {Ax}}$ $\mathbf {A}$ $\mathbf {x}$

Kommentti: Jos vaihdamme tuloksena olevassa matriisissa sarakkeiden tai rivien parin, niin yleisesti ottaen saamme toisen matriisin, joka vastaa samaa peruselementtijoukkoa. Toisin sanoen peruselementtien järjestyksen oletetaan olevan tiukasti järjestetty. ${\mathbf {e}}_{k}$

Muunnosesimerkki

Tarkastellaan esimerkkinä seuraavan muodon 2×2 matriisia

{\mathbf A}={\begin{bmatrix}a&c\\b&d\end{bmatrix}}\,

voidaan ajatella yksikköneliön muunnosmatriisina suunnikkaaksi, jonka kärjet ovat , , , ja . Oikeanpuoleisessa kuvassa esitetty suunnikas saadaan kertomalla matriisi A kullakin sarakevektorilla ja . Nämä vektorit vastaavat yksikköneliön huippuja. $(0, 0)$ $(a, b)$ ${\näyttötyyli (a+c,b+d)}$ ${\näyttötyyli (c,d)}$ ${\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix)),{\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix)),{\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix))$ ${\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}$

Seuraavassa taulukossa on esimerkkejä 2 × 2 - matriiseista reaalilukujen yli ja niitä vastaavien R 2 - lineaarimuunnosten kanssa . Sininen väri ilmaisee alkuperäisen koordinaattiruudukon ja vihreä on muunnettu. Koordinaattien origo on merkitty mustalla pisteellä. $(0, 0)$

Vaakasiirto [ (m=1,25)	Vaakasuora heijastus	Puristus [ tuntematon termi ] (r=3/2)	Homoteetisuus (3/2)	Kierto (π/6 R = 30° )
${\begin{bmatrix}1&1.25\\0&1\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}-1&0\\0&1\end{bmatrix))$	${\begin{bmatrix}3/2&0\\0&2/3\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}3/2&0\\0&3/2\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}\cos(\pi /6^{{R)))&-\sin(\pi /6^{{R)))\\\sin(\pi /6^{{R} })&\cos(\pi /6^{{R}})\end{bmatrix}}$

Tärkeitä erikoistapauksia

Lineaarinen muoto on lineaarinen kuvaus, jolle: $W=K$
$f\colon V\to K$
Lineaarinen endomorfismi on lineaarinen kartoitus, jolle(operaattori): $V=W$
$f\koolon V\V:ksi$
Identiteettioperaattori (identiteetti-operaattori) on operaattori, joka kartoittaa tilan jokaisen elementin itseensä; tällaisen operaattorin normi on yhtä suuri kuin yksi (normoiduille tiloille) $x\mapsto x$
Nollakuvaus on operaattori, joka muuntaa jokaisen elementinnollaelementiksi. $V$ $W$
Projektori on operaattori, joka määrittää kullekinprojektionsa aliavaruuteen. $x$
Konjugaattikuvaus kuvaukseen onrelaatiollaannettukuvaus. $A\in L(V)$ $A^{*}$ $V^*$ $A^*f(x) := f(Ax)$
Itseadjoint-operaattori on operaattori Hilbert-avaruudessa , joka osuu yhteen sen adjoint-operaattorin kanssa. Joskus tällaisia operaattoreita kutsutaan hypermaksimaaliseksi hermiitiksi .
Hermiittinen (tai symmetrinen) operaattori on operaattori, joka on määritetty Hilbert-avaruuden aliavaruuteen siten, ettäkaikillemääritelmäalueen. Kaikkialla määritellyillä operaattoreilla tämä ominaisuus on sama kuin itseliittyvyys. $A$ $(Ax,y)=(x,Ay)$ $x,y$ $A$
Unitaarinen operaattori on operaattori, jonka määritelmä- ja arvoalue on koko skalaaritulon säilyttävä avaruus; erityisesti unitaarinen operaattori säilyttää minkä tahansa vektorin normin. Unitaarinen käänteisoperaattori on sama kuin adjointoperaattori; unitaarioperaattorin normi on 1; reaalikentän K tapauksessa unitaarioperaattoria kutsutaan ortogonaaliksi . $(Ax,Ay)=(x,y)$ $\|Ax\|={\sqrt {(Ax,Ax)}}={\sqrt {(x,x)}}=\|x\|$ $A^{{-1}}=A^{*}$

Aiheeseen liittyvät käsitteet

Lineaarisen kuvauksen ydin on osajoukko, joka kartoitetaan nollaan: $f\colon V\to W$ $V$ ${\mbox{Ker}}\,f=\{x\in V\mid f(x)=0\}$

Lineaarisen kuvauksen ydin muodostaa aliavaruuden lineaarisessa avaruudessa .

V

Seuraavaa osajoukkoa kutsutaan lineaarisen kuvauksen kuvaksi : $f$ $W$ ${\mbox{Im}}\,f=\{f(x)\in W\mid x\in V\}$

Lineaarisen mappauksen kuva muodostaa aliavaruuden lineaarisessa avaruudessa .

W

Osajoukon [3] kuvaa suhteessa lineaarimuunnokseen A kutsutaan joukoksi . $M\alajoukko V$ $AM=\{Ax:x\in M\}$

Mappauksen lineaariavaruuksien suorasta tulosta lineaariseen avaruuteen sanotaan olevan bilineaarinen , jos se on lineaarinen molemmissa argumenteissaan. Lineaarisempien tilojen suoraa tulokartoitusta kutsutaan multilineaariksi , jos se on lineaarinen kaikissa argumenteissaan. $f\colon V\times U\to W$ $V$ $W$ $U$ $f\kaksoispiste A_{1}\kertaa \pistettä \kertaa A_{n}\to B$
Operaattoria kutsutaan lineaariseksi epähomogeeniseksi (tai affiiniseksi ), jos sillä on muoto ${\tilde L}$ ${\tilde L}=L+v$

missä on lineaarinen operaattori ja on vektori.

L

v

Anna . Aliavaruuden sanotaan olevan invariantti lineaarisessa kuvauksessa, jos [4] . $A:V V:lle$ $M\alajoukko V$ $\forall x\in M,Ax\in M$

Invarianssin kriteeri. Antaa olla aliavaruus sellainen, että se hajoaa suoraksi summaksi : . Silloin se on invariantti lineaarisessa kuvauksessa silloin ja vain jos , missä on projektio aliavaruuteen .

M\alajoukko X

X

X = M\oplus N

M

A

P_{M}AP_{M}=AP_{M}

P_{M}

M

Tekijäoperaattorit [5] . Antaa olla lineaarinen operaattori ja antaa olla jokin aliavaruuden invariantti tämän operaattorin alla. Aliavaruudesta muodostetaan osamääräavaruus . Tällöin osamääräoperaattori on operaattori , joka toimii säännön mukaan: , jossa on luokka osamääräavaruudesta, joka sisältää . $A:V V:lle$ $M$ $V/\,{\overset {M}{\sim }}$ $M$ $A^+$ $V/\,{\overset {M}{\sim }}$ $\forall x^{+}\in V/\,{\overset {M}{\sim )),A^{+}x^{+}=[Ax]$ $[Kirves]$ $Kirves$
Taaksepäin menevä kaksoiskartoitus annetaan kaksoisvälilyöntien väliin .

Esimerkkejä

Esimerkkejä lineaarisista homogeenisista operaattoreista:

erotteluoperaattori: ; $L\{x(\cdot )\}=y(t)={\frac {dx(t)}{dt))$
integraatiooperaattori: ; $y(t)=\int \limits _{0}^{t}\!x(\tau )\,d\tau$
tietyllä funktiolla kertomisen operaattori ; $\varphi (t)\colon y(t)=\varphi (t)x(t)$
integrointioperaattori tietyllä "painolla" $\varphi (t)\colon y(t)=\int \limits _{0}^{t}\!x(\tau ){\varphi }(\tau )\,d\tau$
operaattori funktion arvon ottamiseksi tietystä pisteestä : [6] ; $f$ $x_{0}$ $L\{f\}=f(x_{0})$
vektori-matriisi kertolaskuoperaattori: ; $b = Ax$
vektorin kiertooperaattori .

Esimerkkejä lineaarisista epähomogeenisista operaattoreista:

Mikä tahansa affiininen muunnos ;
$y(t)={\frac {dx(t)}{dt}}+\varphi (t)$ ;
$y(t)=\int \limits _{0}^{t}\!x(\tau )\,d\tau +\varphi _{1}(t)$ ;
$y(t)=\varphi _{1}(t)x(t)+\varphi _{2}(t)$ ;

missä , , ovat hyvin määriteltyjä funktioita ja on operaattorin muuntama funktio. $\varphi (t)$ $\varphi _{1}(t)$ $\varphi _{2}(t)$ $x(t)$

Muistiinpanot

↑ E.B. Vinberg. Algebran kurssi. - MTSNMO, 2013. - S. 234. - 590 s. — ISBN 978-5-4439-0209-8 , BBC 22.14.
↑ Shilov, 1961 , s. 203.
↑ M:n ei tarvitse olla aliavaruus.
↑ Tai: . $AM\alajoukko M$
↑ Käytetään myös oikeinkirjoitustekijäoperaattoreita .
↑ Joskus kutsutaan nimellä $\int \limits _{{-\infty }}^{{+\infty }}\!f(x){\delta }(x-x_{0})\,dx$

Katso myös

Kirjallisuus

Shilov G.E. Matemaattinen analyysi. Erikoiskurssi. - M .: Nauka, 1961. - 436 s.