Paikallinen rengas

Paikallinen rengas on rengas , jolla on suhteellisen yksinkertainen sisäinen rakenne ja jonka avulla voidaan kuvata funktioiden "paikallista käyttäytymistä " algebrassa tai tavallisessa lajikkeessa . Kommutatiivisen algebran haaraa , joka tutkii paikallisia renkaita ja niiden päällä olevia moduuleja , kutsutaan paikallisalgebraksi .

Määritelmä

Rengas R on paikallinen, jos jokin seuraavista vastaavista ominaisuuksista pätee:

R :llä on yksi maksimivasen ideaali ;
R :llä on yksi maksimioikeaideaali ;
Irreversiibelien elementtien joukko R suljetaan summauksen aikana ja renkaan identiteetti ei ole sama kuin nolla .

Tässä tapauksessa ainoa maksimaalinen vasen ideaali osuu yhteen maksimaalisen oikean ideaalin kanssa ja koostuu kaikista renkaan peruuttamattomista elementeistä. Päinvastoin, jos kaikki renkaan peruuttamattomat elementit muodostavat ihanteen, niin tämä ideaali on maksimaalinen, eikä renkaassa ole muita maksimaalisia ihanteita.

Esimerkkejä

Kaikki kappaleet ovat paikallisia renkaita, koska ainoa oikea ihanne niissä on nollaideaali.
Tärkeä paikallisten renkaiden luokka ovat diskreetit arvostusrenkaat . Erityisesti kaikki paikalliset pääideaalialueet ovat erillisiä arvostusrenkaita.
Formaalisten potenssisarjojen rengas missä tahansa määrässä muuttujia on paikallinen.
Minkä tahansa kommutatiivisen renkaan R lokalisaatio alkuideaalin suhteen on paikallinen rengas.

Funktiobakteerit

Tämän esimerkin avulla voimme ymmärtää termin "paikallinen" alkuperän. Tarkastellaan jatkuvien reaaliarvoisten funktioiden rengasta , joka on määritelty jossain nollan ympäristössä. Otetaan käyttöön ekvivalenssisuhde tällaisten funktioiden joukkoon : kaksi funktiota ovat ekvivalentteja silloin ja vain, jos niiden rajoitukset nollan naapurustossa ovat samat. Tämän suhteen ekvivalenssiluokkia kutsutaan "reaaliarvoisten jatkuvien funktioiden iduiksi nollassa", alkioille voidaan luonnollisesti ottaa käyttöön yhteen- ja kertolaskuoperaatiot, on helppo tarkistaa, että bakteerit muodostavat renkaan.

Varmistaaksemme, että tämä rengas on paikallinen, kuvailemme kaikki sen peruuttamattomat elementit. On selvää, että funktion f alkio siten, että f (0) = 0 ei ole käännettävä. Kääntäen, jos f (0) ≠ 0, niin jatkuvuus tarkoittaa, että f( x ) ≠ 0 jossain nollan ympäristössä. Otetaan tässä naapurustossa määritelty funktio g ( x ) = 1/ f ( x ), sen alkio on käänteinen f :n itulle , ja siksi f:n itu on käännettävä. Näin ollen vain sellaiset funktioiden alkiot, joissa f (0) = 0, ovat peruuttamattomia. Siten kahden irreversiibelin alkion summa on irreversiibeli, joten iturengas on paikallinen.

Täsmälleen samat argumentit mahdollistavat sen todistamisen, että jatkuvien funktioiden alkio mielivaltaisen topologisen avaruuden pisteessä tai tasaisten funktioiden pisteessä tasaisen vaihtelun pisteessä tai rationaalisten funktioiden alkio algebrallisen vaihtelun pisteessä ovat paikallisia. Viimeinen esimerkki on erittäin tärkeä algebrallisessa geometriassa . Erityisesti skeemat , jotka ovat algebrallisten variaatioiden yleistyksiä, määritellään paikallisesti renkaaksi tilauksiksi , joilla on lisäominaisuuksia.

Ei-kommutatiiviset paikalliset renkaat

Ei-kommutatiiviset paikallisrenkaat ilmenevät luonnollisesti moduulien suorien summahajoamien tutkimuksessa . Eli jos moduulin M endomorfismirengas on paikallinen, niin M on hajoamaton . Kääntäen, jos M on hajoamaton moduuli, jonka pituus on äärellinen , niin sen endomorfismirengas on paikallinen.

Jos k on kenttä, jolla on nollasta poikkeava ominaisuus p ja G on äärellinen p-ryhmä , niin ryhmärengas k [ G ] on paikallinen.

Sormuksen lokalisointi prime-ideaalilla

Olkoon R kommutatiivinen rengas, jolla on identiteetti, ja olkoon siinä ensisijainen ideaali . Joukko muodostaa renkaan R kertovan järjestelmän, joka vastaa alkuideaalia . $\mathfrak{p}$ $S_{\mathfrak {p}}=\{a\in R:\,a\notin {\mathfrak {p}}\}$ $\mathfrak{p}$

Renkaan R lokalisointi alkuideaalilla on renkaan R murto -osien rengas multiplikatiivisella järjestelmällä . Kuten osamäärän renkaan yleisessä tapauksessa, renkaan R into kanoninen homomorfismi määritellään kaavalla . $R_{\mathfrak{p}}$ $\mathfrak{p}$ $S_{\mathfrak {p}}^{-1}R$ $S_{\mathfrak {p}}$ $\pi _{\mathfrak {p))$ $S_{\mathfrak {p}}^{-1}R$ $\pi _{\mathfrak {p}}(r)=r/1$

Lisäksi kaikilla käännettävillä elementeillä on muoto , jossa sekä elementit että irreversiibelit elementit ovat muotoa r/s ja muodostavat ihanteen . Koska tämä ideaali sisältää kaikki renkaan peruuttamattomat elementit , se on maksimaalinen ideaali ja on paikallinen rengas. $R_{\mathfrak{p}}$ ${\displaystyle s_{1}/s_{2))$ $s_{1},s_{2}\in S_{\mathfrak {p))$ $r\in {\mathfrak {p)),\,s\in S_{\mathfrak {p))$ $\mathfrak{m}$ $R_{\mathfrak{p}}$ $R_{\mathfrak{p}}$

Katso myös

Nakayaman Lemma

Kirjallisuus

Bourbaki N. Kommutatiivinen algebra. - M: Mir, 1971
Lam, TY Ensimmäinen kurssi ei-kommutatiivisissa renkaissa (neopr.) . – 2. - Springer-Verlag , 2001. - (Matematiikan tutkinnon tekstit). — ISBN 0-387-95183-0 .
Jacobson, Nathan. Perusalgebra (epämääräinen) . – 2. - Dover, 2009. - Osa 2. - ISBN 978-0-486-47187-7 .