Poincarén malli ylemmässä puolitasossa

Poincarén malli ylemmässä puolitasossa on tason ylempi puolisko, joka on merkitty alla kirjaimella H , yhdessä metriikan ( Poincarén metriikka ), joka tekee siitä kaksiulotteisen hyperbolisen geometrian mallin (Lobachevsky-geometria). ${\displaystyle \{(x,y)\mid y>0;x,y\in \mathbb {R} \))$

Vastaavasti ylemmän puolitason Poincarén mallia kuvataan joskus kompleksiseksi tasoksi , jossa imaginaarikomponentti (yllä mainittu y - koordinaatti ) on positiivinen.

Poincarén malli ylemmässä puolitasossa on nimetty Henri Poincarén mukaan, mutta sen loi Eugenio Beltrami , joka käytti sitä yhdessä Kleinin mallin ja Poincarén mallin kanssa ympyrässä osoittaakseen, että hyperbolinen geometria on yhtä johdonmukainen kuin Euklidinen geometria on .

Tämä malli on konforminen , mikä tarkoittaa, että mallipisteessä mitatut kulmat ovat yhtä suuret kuin hyperbolisen tason kulmat.

Cayley-muunnos antaa isometrian puolitasossa olevan mallin ja ympyrän Poincarén mallin välillä .

Tämä malli voidaan yleistää ( n + 1)-ulotteisen hyperbolisen avaruuden malliksi korvaamalla reaaliluku x vektorilla n - ulotteisessa euklidisessa vektoriavaruudessa.

Metric

Puolitason mallimetriikalla on muoto $\{\langle x,y\rangle |y>0\}$

(ds)^{2}={\frac {(dx)^{2}+(dy)^{2}}{y^{2}}}\,

missä s mittaa pituuden (mahdollisesti kaarevaa) viivaa pitkin. Hyperbolisen tason viivat (tämän metrisen tensorin geodetiikka , eli etäisyyttä minimoivat käyrät) esitetään tässä mallissa ympyrän kaarilla, jotka ovat kohtisuorassa x - akselia vastaan (puoliympyrät, joiden keskipiste on x -akselilla ) ja pystysäteillä kohtisuorassa x -akseliin nähden .

Etäisyyslaskenta

Yleensä kahden pisteen välinen etäisyys mitataan tässä metriikassa geodetiikkaa pitkin ja on yhtä suuri:

dist ⁡ ( ⟨ x yksi , y yksi ⟩ , ⟨ x 2 , y 2 ⟩ ) = kaari ⁡ ( yksi + ( x 2 − x yksi ) 2 + ( y 2 − y yksi ) 2 2 y yksi y 2 ) = 2 arsh ⁡ yksi 2 ( x 2 − x yksi ) 2 + ( y 2 − y yksi ) 2 y yksi y 2 = 2 ln ⁡ ( x 2 − x yksi ) 2 + ( y 2 − y yksi ) 2 + ( x 2 − x yksi ) 2 + ( y 2 + y yksi ) 2 2 y yksi y 2 , {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {dist} (\langle x_{1},y_{1}\rangle ,\langle x_{2},y_{2}\rangle )&=\operaattorinimi {arch} (1+{\frac {{(x_{2}-x_{1})}^{2}+{(y_{2}-y_{1})}^{2}}{2y_{1}y_{ 2}}})\\&=2\operaattorinimi {arsh} {\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {{(x_{2}-x_{1})}^{2}+ {(y_{2}-y_{1})}^{2}}{y_{1}y_{2))))\\&=2\ln {\frac {{\sqrt {{(x_{2) }-x_{1})}^{2}+{(y_{2}-y_{1})}^{2))}+{\sqrt {{(x_{2}-x_{1})} ^{2}+{(y_{2}+y_{1})}^{2)))){2{\sqrt {y_{1}y_{2))))},\end{aligned}} }

{\begin{aligned}\operatorname {dist} (\langle x_{1},y_{1}\rangle ,\langle x_{2},y_{2}\rangle )&=\operaattorinimi {arch} (1+{\frac {{(x_{2}-x_{1})}^{2}+{(y_{2}-y_{1})}^{2}}{2y_{1}y_{ 2}}})\\&=2\operaattorinimi {arsh} {\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {{(x_{2}-x_{1})}^{2}+ {(y_{2}-y_{1})}^{2}}{y_{1}y_{2))))\\&=2\ln {\frac {{\sqrt {{(x_{2) }-x_{1})}^{2}+{(y_{2}-y_{1})}^{2))}+{\sqrt {{(x_{2}-x_{1})} ^{2}+{(y_{2}+y_{1})}^{2)))){2{\sqrt {y_{1}y_{2))))},\end{aligned}}

jossa arch ja arsh ovat käänteisiä hyperbolisia funktioita

\operaattorinnimi {arsh} {x}=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}+1}}\right)\ ,\ \operaattorinnimi {arch} {x}=\ln \left (x+{\sqrt {x^{2}-1}}\oikea);x\geq 1\,.

Joitakin erikoistapauksia voidaan yksinkertaistaa:

\operatorname {dist} (\langle x,y_{1}\rangle ,\langle x,y_{2}\rangle )=\left|\ln {\frac {y_{2}}{y_{1 }}}\right|=|\ln(y_{2})-\ln(y_{1})|

[1] .

\operaattorinnimi {dist} (\langle x_{1},y\rangle ,\langle x_{2},y\rangle )=\operaattorinimi {arch} (1+{\frac {(x_{2}-) x_{1})^{2}}{2y^{2}}})=2\operaattorin nimi {arsh} ({\frac {|x_{2}-x_{1}|}{2y}})

\operaattorin nimi {dist} (\langle x,r\rangle ,\langle x\pm r\sin \phi ,r\cos \phi \rangle )=\operaattorinimi {arsh} (\tan \phi )=\ operaattorin nimi {arch} ({\frac {1}{\cos \phi )))=\ln({\frac {1+\sin \phi }{\cos \phi )))

Toinen tapa laskea kahden pisteen välinen etäisyys on kaaren pituus (euklidisessa) puoliympyrässä:

\operaattorinnimi {dist} (AB)=\left|\ln \left({\frac {|BA_{\infty }|\ |AB_{\infty }|}{|AA_{\infty }|\ | BB_{\infty }|}}\right)\right|.

missä ovat rajaviivalla sijaitsevat puoliympyrän pisteet (päät) ja on pisteet P ja Q yhdistävän ympyrän segmentin euklidinen pituus tässä mallissa. ${\displaystyle A_{\infty },B_{\infty ))$ $|PQ|$

Erikoispisteet ja käyrät

Äärimmäisen kaukana olevat pisteet Poincarén mallissa ylemmässä puolitasossa ovat kahdenlaisia:

pisteitä x - akselilla
yksi kuvitteellinen piste , joka on äärettömässä oleva piste, jonka läpi kaikki ortogonaaliset x - akselin linjat kulkevat. $y=\infty$

Suorat viivat , geodetiikka (lyhyimmät polut sen pisteiden välillä) mallinnetaan

puoliympyrät, joiden päät ovat x-akselilla
Pystysuorat säteet, jotka ovat kohtisuorassa x-akseliin nähden

Ympyrät (käyrät, jotka ovat yhtä kaukana keskipisteestä), joiden keskipiste on pisteessä ja joiden säde on mallinnettu: ${\näyttötyyli (x,y)}$ $r$

ympyröitä, joissa on keskipiste ja säde

(x,y\cosh(r))

y\sinh(r)

Hypersykli (tai tasaetäisyys , hyperbolisesta viivasta, sen akselista tai pohjasta poistettu käyrä) mallinnetaan

tai ympyrän kaari, joka leikkaa x -akselin samoissa kahdessa pisteessä äärettömässä kuin puoliympyrä, joka on kanta, mutta jolla on terävä tai tylpä (ei suora) kulma x -akselin kanssa .
tai suora viiva, joka leikkaa x -akselin samassa pisteessä kuin pystysuora säde, joka mallintaa kantaa, mutta ei ole kohtisuorassa x -akseliin nähden .

Horosykli (ympyräperheen raja, jolla on yhteinen tangentti, joka kulkee kiinteän pisteen kautta ja joka sijaitsee tämän tangentin toisella puolella, muodostuu, kun näiden ympyröiden säde pyrkii äärettömyyteen) mallinnetaan.

tai ympyrä, joka tangentti x -akselia (ilman leikkauksen ääretöntä pistettä , joka on keskipiste)
tai x :n suuntainen ympyrä, jos keskus on äärettömän kaukana oleva piste , jossa on . $y=\infty$

Lyhyt katsaus euklidisista ympyröistä

Olkoon Euklidinen ympyrä, jonka keskipiste ja säde on annettu . ${\näyttötyyli (x_{e},y_{e})}$ ${\displaystyle r_{e))$

Jos Euklidinen ympyrä on kokonaan ylemmässä puolitasossa, se on hyperbolinen ympyrä, jonka keskipiste ja säde . $(x_{e},{\sqrt {y_{e}^{2}-r_{e}^{2))})$ ${\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {y_{e}+r_{e}}{y_{e}-r_{e}}}\right)$
Jos Euklidinen ympyrä on kokonaan ylemmässä puolitasossa ja koskettaa rajaa, se edustaa horosykliä, jonka keskipiste on äärettömässä c . ${\näyttötyyli (x_{e},0)}$
Jos ympyrä leikkaa rajan ortogonaalisesti ( ), se edustaa hyperbolista viivaa. $y_{e}=0$
Jos ympyrä leikkaa rajan ei-ortogonaalisesti, se edustaa hypersykliä.

Rakenteet kompassilla ja suoraviivalla

Tämä näyttää kuinka rakentaa kompassilla ja suoraviivalla Poincarén mallissa [2] . Esimerkiksi kuinka euklidiseen puolitasoon rakennetaan puoliympyrä, joka mallintaa kahden pisteen kautta kulkevaa hyperbolista suoraa.

Kahden pisteen kautta kulkevan hyperbolisen suoran rakentaminen

Rakennamme janan, joka yhdistää kaksi pistettä. Rakennamme kohtisuoran, joka kulkee segmentin keskeltä. Etsi tämän kohtisuoran leikkauspiste x -akselin kanssa . Rakennamme ympyrän, jonka keskipiste on leikkauspisteessä ja joka kulkee annettujen pisteiden läpi (vain x :n yläpuolella oleva yläosa ).

Jos nämä kaksi pistettä ovat pystysuoralla säteellä, rakennamme sen ( x -akselilta ), tämä säde on haluttu viiva.

Ympyrän rakentaminen, jonka keskipiste kulkee pisteen kautta

Rakennamme hyperbolisen ympyrän, jonka keskus A kulkee pisteen B kautta .

Jos pisteet A ja B eivät ole pystysuoralla viivalla:

Rakennamme hyperbolisen suoran (puoliympyrän), joka kulkee kahden annetun pisteen kautta, kuten edellisessä tapauksessa. Rakennamme tämän puoliympyrän tangentin pisteeseen B. Piirretään kohtisuora x - akseliin nähden pisteen A kautta. Etsi näiden kahden suoran leikkauspiste saadaksesi mallinnusympyrän keskipisteen D. Rakennamme mallinnusympyrän, jonka keskipiste on D ja joka kulkee annetun pisteen B kautta .

Jos pisteet A ja B ovat pystysuoralla linjalla ja piste A on pisteen B yläpuolella :

Pystysuoran ja x -akselin leikkauskohdan ympärille rakennetaan ympyrä , joka kulkee pisteen A kautta . Rakennamme vaakaviivan pisteen B läpi. Rakennamme tangentin ympyrän leikkauspisteeseen tämän vaakaviivan kanssa.

Tangentin ja pystyviivan leikkauspisteen ja B :n välisen segmentin keskikohta on mallinnusympyrän keskipiste. Rakennamme mallinnusympyrän keskustan ympärille, joka kulkee pisteen B kautta .

Jos pisteet A ja B ovat pystyakselilla ja A:n keskipiste on pisteen B alapuolella :

Pystysuoran ja x -akselin leikkauspisteen ympärille rakennetaan ympyrä , joka kulkee annetun keskipisteen A läpi. Rakennamme tangentin pisteen B kautta kulkevalle ympyrälle . Rakennamme kosketuspisteen läpi kulkevan vaakaviivan ja löydämme sen leikkauspisteen pystysuoran viivan kanssa.

Tuloksena olevan leikkauspisteen ja pisteen välinen keskipiste on mallinnusympyrän keskipiste. Rakennamme mallinnusympyrän, jossa on uusi keskus ja joka kulkee pisteen B kautta .

Etsi tietyn (hyperbolisen) ympyrän keskipiste

Laskemme kohtisuoran p ympyrän euklidisesta keskustasta x -akselille .

Olkoon piste q tämän x -akseliin nähden kohtisuoran kanta .

Rakennamme pisteen q kautta kulkevan ympyrän tangentin .

Rakennamme puoliympyrän h , jonka keskipiste on kosketuspisteen läpi kulkevassa pisteessä q .

Hyperbolinen keskus on piste, jossa h ja p leikkaavat [3] .

Symmetriaryhmät

Projektiivinen lineaarinen ryhmä PGL(2, C ) vaikuttaa Riemannin palloon Möbius-muunnoksilla . Tason H ylemmän puoliskon itseensä kuvaava aliryhmä on PSL(2, R ), joka koostuu reaalikertoimisista muunnoksista, joka vaikuttaa transitiivisesti ja isometrisesti tason yläpuoliskolle ja tekee siitä homogeenisen avaruuden .

On olemassa neljä läheisesti toisiinsa liittyvää Lie-ryhmää , jotka vaikuttavat tason yläpuoliskolla lineaaristen murto-osien muunnoksilla, jotka säilyttävät hyperbolisen etäisyyden.

Erityinen lineaarinen ryhmä SL(2, R ) , joka koostuu 2×2 matriisista, joissa on reaalialkiot ja determinantti +1. Huomaa, että monissa teksteissä (mukaan lukien Wikipedia) mainitaan usein SL(2, R ), mikä tarkoittaa PSL(2, R ).
Ryhmä S*L(2, R ), joka koostuu 2×2 matriisista, joissa on reaalialkiot determinantti +1 tai −1. Huomaa, että SL(2, R ) on tämän ryhmän alaryhmä.
Projektiivinen erityinen lineaarinen ryhmä PSL(2, R ) = SL(2, R )/{± E }, joka koostuu matriiseista SL(2, R ) modulo ± identiteettimatriisi (eli se on osamääräryhmä ryhmällä, joka koostuu + E :stä ja -E :stä ).
Ryhmä PS * L(2, R ) = S * L(2, R )/{± E }=PGL(2, R ) on jälleen projektiivinen ryhmä ja jälleen modulo ± E . PSL(2, R ) sisältyy siihen normaalina alaryhmänä indeksillä kaksi; toinen kosetti koostuu 2×2 matriisista, joissa on todellisia merkintöjä ja determinantti −1, jälleen modulo ± E .

Näiden ryhmien yhteys Poincarén malliin on seuraava:

Kaikkien liikkeiden ryhmä H , jota joskus kutsutaan isomiksi ( H ), on isomorfinen PS * L(2, R ) kanssa. Se sisältää sekä suuntaa säilyttäviä että suuntaa muuttavia liikkeitä. Suuntaa muuttava näyttö (peilaus) on . $z\rightarrow -{\overline {z))$
Orientaatiota säilyttävien liikkeiden ryhmä H , jota joskus kutsutaan isomiksi + ( H ), on isomorfinen PSL:lle(2, R ).

Tärkeitä isometriaryhmän alaryhmiä ovat fuksialaiset ryhmät .

Usein ajatellaan modulaarista ryhmää SL(2, Z ) , joka on tärkeä kahdella tavalla. Ensinnäkin se on joukko tason lineaarisia muunnoksia, jotka säilyttävät pisteiden hilan . Siten funktiot, jotka ovat jaksollisia neliöhilassa, kuten modulaariset muodot ja elliptiset funktiot , perivät SL(2, Z ) -hilan symmetrian . Toiseksi, SL(2, Z ) on tietysti SL(2, R ) aliryhmä, ja siksi sillä on luontainen hyperbolinen käyttäytyminen. Erityisesti SL(2, Z ) -funktiota voidaan käyttää hyperbolisen tason tessellointiin samanpintaisilla soluilla.

Isometrinen symmetria

Projektiivisen erikoislineaariryhmän PSL(2, R ) toiminta H :lle määritellään seuraavasti

\left({\begin{matrix}a&b\\c&d\\\end{matrix}}\right)\cdot z={\frac {az+b}{cz+d}}={(ac| z|^{2}+bd+(ad+bc)\Re (z))+i(ad-bc)\Im (z) \over |cz+d|^{2}}.

Huomaa, että toiminto on transitiivinen , koska jokaiselle on elementti , joka on sellainen , että . On myös totta, että jos kaikille z :stä H , niin g = e . $z_{1},z_{2}\in \mathbb {H}$ $g\in {\rm {PSL}}(2,\mathbb {R} )$ ${\displaystyle gz_{1}=z_{2))$ $gz=z$

Elementin z stabilisaattori tai stationäärinen aliryhmä H :sta on joukko , joka jättää z :n ennalleen - gz = z . Stabilisaattori i - kiertoryhmä $g\in {\rm {PSL}}(2,\mathbb {R} )$

{\rm {SO}}(2)=\left\{\left({\begin{matrix}\cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \\ \end{matrix}}\right)\,:\,\theta \in {\mathbf {R} }\right\}.

Koska mikä tahansa H : n alkio z kuvataan i : ksi jollakin alkiolla PSL(2, R ), tämä tarkoittaa, että minkä tahansa elementin z stationaarinen ryhmä on isomorfinen SO(2:n) kanssa. Siten H = PSL(2, R )/SO(2). Myös tason yläpuoliskolla oleva yksikköpituisten tangenttivektorien nippu , jota kutsutaan yksikkötangenttinipuksi , on isomorfinen PSL:n (2, R ) kanssa.

Tason yläpuolisko on laatoitettu vapailla säännöllisillä sarjoilla modulaarisella ryhmällä SL(2, Z ).

Geodeettinen

Metrinen tensorin geodetiikka ovat x -akselille keskitettyjä puoliympyröitä ja x -akselilta lähteviä pystysäteitä .

Geodeesia, jonka nopeus on yksi, joka kulkee pystysuunnassa pisteen i läpi , saadaan lausekkeella

\gamma (t)=\left({\begin{matrix}e^{t/2}&0\\0&e^{-t/2}\\\end{matrix}}\right)\cdot i =ie^{t}.

Koska PSL(2, R ) vaikuttaa transitiivisesti tason ylempään puoliskoon isometrioiden avulla, tämä geodetiikka kartoitetaan muihin geodetiikkaan PSL(2, R ) vaikutuksesta. Siten yleinen geodeettinen nopeusyksikkönopeus saadaan kaavalla

\gamma (t)=\left({\begin{matrix}a&b\\c&d\\\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}e^{t/2}&0 \\0&e^{-t/2}\\\end{matrix}}\right)\cdot i={\frac {aie^{t}+b}{cie^{t}+d)).

Tämä antaa täydellisen kuvauksen tason yläpuoliskolla olevan yksikköpituuden tangenttikipun (kompleksiviivanipun ) geodeettisesta virtauksesta .

Kolmiulotteinen malli

Mallin metriikka puoliavaruudessa

\{\langle x,y,z\rangle |z>0\}\,

ilmaisun antama

(ds)^{2}={\frac {(dx)^{2}+(dy)^{2}+(dz)^{2}}{z^{2}}}\,

missä s mittaa etäisyyden (mahdollisesti) kaarevaa viivaa pitkin. Hyperbolisen avaruuden viivat (tämän metrisen tensorin geodetiikka , eli etäisyyden minimoivat käyrät) esitetään tässä mallissa ympyröiden kaarilla, jotka säteilevät kohtisuorasti tasosta z=0 (puoliympyrät, joiden keskipisteet ovat tasossa z=0 ) ja säteillä, joka lähtee kohtisuoraan tasosta z = 0 .

Kahden pisteen välinen etäisyys mitataan tässä metriikassa geodeettisesti ja on yhtä suuri kuin

\operaattorinnimi {dist} (\langle x_{1},y_{1},z_{1}\rangle ,\langle x_{2},y_{2},z_{2}\rangle )=\operaattorinnimi {arch} \left(1+{\frac {{(x_{2}-x_{1})}^{2}+{(y_{2}-y_{1})}^{2}+{( z_{2}-z_{1})}^{2}}{2z_{1}z_{2}}}\oikea)=

=2\operaattorinnimi {arsh} \left({\frac {\sqrt {{(x_{2}-x_{1})}^{2}+{(y_{2}-y_{1}) }^{2}+{(z_{2}-z_{1})}^{2}}}{2{\sqrt {z_{1}z_{2}}}}}\oikea)\,.

Malli n - ulotteisessa avaruudessa

Malli voidaan yleistää ( n +1)-ulotteisen Lobatševskin avaruuden malliksi korvaamalla reaaliluvut x vektoreilla n - ulotteisessa euklidisessa avaruudessa.

Katso myös

Muistiinpanot

↑ matematiikan pinonvaihto . Käyttöönottopäivä: 19.9.2015. (määrätön)
↑ Bochaca, Judit Abardia Työkalut Half-Plane-mallin kanssa työskentelemiseen . Työkalut puolitasotilan kanssa työskentelemiseen . Haettu 25. kesäkuuta 2015. Arkistoitu alkuperäisestä 22. helmikuuta 2018. (määrätön)
↑ Cannon, Floyd, Kenyon, Parry, 1997 , s. 87.

Kirjallisuus

Cannon JW, Floyd WJ, Kenyon R., Parry WR Kuva 19. Ympyrän hyperbolisen keskustan rakentaminen // Hyperbolic Geometry. - MSRI Publications, 1997. - T. Volume 31. - (Flavors of Geometry).
Eugenio Beltrami. Teoria fondamentale degli spazi di curvatura vakio // Annali. di Mat.. - 1868. - T. 2 . — S. 232–255 .
Henri Poincare. Théorie des Groupes Fuchsiens // Acta Mathematica. - 1882. - T. 1 . - S. 1 . Legendaarisen sarjan ensimmäinen artikkeli mallista yläpuolitasossa.
Hershel M. Farkas, Irwin Kra. Riemannin pinnat. - New York: Springer-Verlag, 1980. - ISBN 0-387-90465-4 .
Jürgen Jost. Osa 2.3 // Kompaktit Riemannin pinnat. - New York: Springer-Verlag, 2002. - ISBN 3-540-43299-X .
Saul Stahl. Poincaren puolitaso . — Jones ja Bartlett, 1993. — ISBN 0-86720-298-X .
John Stillwell. Numerot ja geometria . - NY: Springer-Verlag, 1998. - P. 100-104 . — ISBN 0-387-98289-2 . . Poincare-mallin perusjohdanto.