Tiheä yhtäläisten pallojen pakkaus

Kuva tasaisten pallojen tiheästä pakkaamisesta hilaksi HP (HPC) (vasemmalla) ja FCC (oikealla)
FCC-pakkaus 4. asteen symmetria-akselien suunnassa
Erillinen kerros tiivistä pakkausta
Näytössä näkyy GP (GPU) -hilan yhdentoista pallon pinoaminen . HP(HPC)-asennus eroaa alla olevan kuvan kolmesta ylemmästä FCC-kerroksen kerroksesta vain alemmassa kerroksessa. Se voidaan muuntaa fcc-pinoamiseksi kiertämällä tai siirtämällä yhtä kerroksista. Suuressa todellisessa kiteessä tämä voi myös tapahtua tietyissä olosuhteissa (tämä on vaihemuutos ).
Useita FCC -kerroksia. Huomaa, kuinka vierekkäiset pallot säännöllisen tetraedrin kummallakin reunalla sijaitsevat suhteessa toisiinsa ja vertaa HP (HPC) -pakkaukseen yllä olevassa kuvassa.

Tasaisten pallojen tiheä pakkaus on sellainen identtisten ei-päällekkäisten pallojen järjestely avaruudessa, jossa näiden pallojen sisäisten alueiden tilan osuus ( pakkaustiheys ) on suurin, sekä kombinatorisen geometrian ongelma tämän löytämisessä. pakkaus [1] .

Carl Friedrich Gauss osoitti , että suurin pakkaustiheys , joka voidaan saavuttaa yksinkertaisella säännöllisellä tiivisteellä ( hila ) on

{\frac {\pi }{3{\sqrt {2))))\simeq 0,74048.

Tämä tiheys saavutetaan pakkauksissa kasvokeskittyneisiin kuutioihin (fcc) ja kuusikulmaisiin tiiviisti pakattuihin (HP, HCP [2] ) hilakoihin (katso alla). Keplerin olettamus väittää, että tällä tiivisteellä on suurin tiheys kaikista mahdollisista säännöllisistä ja epäsäännöllisistä pallopakkauksista. Tämän hypoteesin todisti T. K. Halesmonien vuosien ohjelmoinnin jälkeen todistukseen tarvittavat laskelmat [3] [4] .

Lattices fcc ja GP (GPU)

HCC		GPU (GPU)

FCC - paketti voidaan suunnata eri tavoin, ja sen yksittäinen kerros on suunnasta riippuen neliön tai kolmion muotoinen. Tämä voidaan nähdä kuutiokaedrista , jossa on 12 kärkeä, jotka edustavat 12 pallon keskusten sijaintia keskipallon ympärillä. HP (HPC) -pakkaus voidaan katsoa kolmiomaiseen pakkaukseen pakatuiksi kerroksiksi, joissa viereisen kerroksen pallot sijaitsevat kolmikulmaisen suoran kaksikuvun kärjessä, joka kulkee tämän kerroksen pallon keskipisteiden läpi.
FCC- ja HP (HPC) -pakettien vertailu

HP (HPC) -pakkaus (vasemmalla) ja FCC-pakkaus (oikealla). Vastaavien Bravais-ritilöiden ääriviivat näkyvät punaisella. Kirjaimet osoittavat, mitkä pakkauksen kerrokset osuvat yhteen (vaakatasossa ei ole siirtymää toisiinsa nähden): esimerkiksi HP (HPC) -paketissa kerroksen A yläpuolella on kerros B ja sen yläpuolella taas kerros A, jossa pallot ovat samoissa paikoissa kuin muillakin kerroksilla A. Fcc-pakkauksessa näkyy kolme kerrosta, ja ne kaikki ovat erilaisia: kerroksen A yläpuolella on B, B:n yläpuolella on C ja vain C:n yläpuolella on taas A. ) pakkaus leikkaamalla kerroksia katkoviivan osoittamalla tavalla.

On olemassa kaksi yksinkertaista säännöllistä hilaa, joilla saavutetaan suurin keskimääräinen tiheys. Niitä kutsutaan kasvokeskeisiksi kuutioiksi ( fcc ) (tai kuutioiksi tiiviiksi pakatuiksi ) ja kuusikulmioksi tiiviiksi pakatuiksi ( HP tai HCP = Hexagonal close-packed cell tai lattice) hilan symmetrioista riippuen . Molemmat hilat perustuvat pallokerroksiin, jotka on keskitetty kolmiomaisen laatoituksen kärkipisteisiin. Molemmat hilat voidaan esittää identtisten arkkien pinona, jonka sisällä pallot on järjestetty kolmiomaiseen hilaan (tiiviisti pakatut kerrokset); FCC ja HP (HCP) eroavat näiden arkkien sijainnista suhteessa toisiinsa.

Matematiikassa fcc-hila tunnetaan A3-juurijärjestelmän muodostamana hilana [ 5 ] . Englanninkielisessä kirjallisuudessa tämän tyyppistä solua kutsutaan kasvokeskeiseksi kuutioksi ( fcc ). Englanninkielisessä kirjallisuudessa HP (HPC) hilaa kutsutaan hexagonal close-packed ( hcp ).

Sijainti ja välilyönti

Ottaen yhden tiiviisti pakatuista pallokerroksista vertailupisteeksi, voimme jakaa loput eri tyyppeihin riippuen siitä, kuinka ne sijaitsevat suhteessa ensimmäiseen kerrokseen vaakasuuntaisen siirtymän suhteen. Tällaisia tyyppejä on kolme, ja niitä kutsutaan yleisesti A:ksi, B:ksi ja C:ksi.

Mitä tulee tasoon pallon A kanssa (katso kuva vasemmalla "Fcc- ja hp (hcp)-pakkausten vertailu") pallojen B ja C eri paikat ovat mahdollisia. Mikä tahansa asemien A, B ja C sarja kerroksissa ilman toisto vierekkäisissä kerroksissa on mahdollista ja antaa saman tiheyden.

Oikein pakkaus:

FCC = ABCABCA (tasot ovat samat kahden jälkeen);
GP (GPU) = ABABABA (tasot osuvat yhteen).

Sama pakkaustiheys voidaan kuitenkin saavuttaa vaihtoehtoi- sesti kerrostamalla samat tiiviit pallopakkaukset tasoon, mukaan lukien pinoamiskerrosten suunnassa jaksoittaiset rakenteet. On olemassa lukematon määrä epäsäännöllisiä tasojärjestelyjä (esim. ABCACBABABAC…), joita kutsutaan joskus "Barlow-pakkauksiksi", jotka on nimetty kristallografi William Barlowin mukaan [6] .

Suljetussa pakkauksessa pallojen keskipisteiden välinen etäisyys tiiviisti pakatun kerroksen tasossa on yhtä suuri kuin pallon halkaisija. Palojen keskipisteiden välinen etäisyys projektiossa akselille, joka on kohtisuorassa tiiviisti pakattuun kerrokseen nähden on yhtä suuri kuin

{\text{pitch}}_{Z}={\sqrt {6}}\cdot {d \over 3}\noin 0,81649658d,

missä d on pallon halkaisija. Tämä johtuu tiiviisti pakattujen pallojen tetraedrisesta järjestelystä.

Sekä FCC- että HPC (HCP) -asetteluissa jokaisella pallolla on kaksitoista naapuria (toisin sanoen minkä tahansa pallon koordinointinumero niissä on 12). Pallon ympärillä on tyhjiä alueita, joita ympäröi kuusi palloa (oktaedri) ja pienempiä tyhjiä alueita, joita ympäröi neljä palloa (tetraedri). Etäisyydet näiden tyhjien alueiden keskipisteisiin ympäröivien pallojen keskuksista ovat yhtä suuret tetraedrisille ja √2 oktaedrisille [Comm 1 ] ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {3}{2))))$ välilyöntejä, jos pallon säde on yhtä suuri kuin 1. FCC-pakkaus saadaan asettamalla pallot seuraavan kerroksen oktaedristen onteloiden päälle, HP (HCP) - joidenkin tetraedristen aukkojen päälle.

Ristikon rakentaminen

Kun muodostetaan mikä tahansa pallopakkaushila, on huomioitava, että jos kaksi palloa koskettaa, voidaan yhden pallon keskustasta vetää viiva toisen pallon keskelle, ja tämä viiva kulkee kosketuspisteen kautta. Keskipisteiden välinen etäisyys - lyhin reitti pisteiden välillä - on juuri tällä suoralla, joten tämä etäisyys on yhtä suuri kuin r 1 + r 2 , missä r 1 on yhden pallon säde ja r 2 on toisen pallon säde. Tiivistetyssä pakkauksessa kaikilla palloilla on sama säde r , joten keskipisteiden välinen etäisyys on yksinkertaisesti 2r .

Yksinkertainen HP(HPC)-hila

ABAB-… kuusikulmaisen tiheän pallopakkauksen muodostamiseksi hilapisteiden koordinaatit ovat pakkauksen pallojen keskipisteitä. Oletetaan, että tavoitteena on täyttää laatikko palloilla HP(HPC) -mallin mukaisesti. Laatikko sijaitsee x - y - z - koordinaattijärjestelmässä .

Ensin muodostamme sarjan palloja; niiden keskipisteet ovat samalla suoralla linjalla. X - koordinaattiarvot muuttuvat 2 r , koska kahden koskettavan pallon keskipisteiden välinen etäisyys on 2 r . Näille palloille y- ja z -koordinaatit ovat samat. Yksinkertaisuuden vuoksi oletetaan, että ensimmäisen rivin pallojen y- ja z -koordinaatit ovat yhtä suuria kuin r , mikä vastaa pallojen pintojen sijaintia tasoilla, joiden koordinaatit ovat nolla y ja z . Näin ollen ensimmäisen rivin pallojen koordinaatit näyttävät tältä ( r , r , r ), (3 r , r , r ), (5 r , r , r ), (7 r , r , r ),… .

Muodostetaan nyt toinen pallorivi. Keskipisteet ovat jälleen suoralla linjalla ja x -koordinaatit eroavat 2 r :llä , mutta pallot siirtyvät akselia pitkin r :llä , niin että niiden keskipisteiden x -koordinaatit ovat yhtä suuret kuin niiden pisteiden koordinaatit. ensimmäisen rivin pallojen kosketus. Koska jokainen pallo uudesta rivistä koskettaa kahta palloa alimmasta, niiden keskipisteet muodostavat tasasivuisia (säännöllisiä) kolmioita viereisten pallojen keskusten kanssa. Kaikkien sivujen pituudet ovat yhtä suuria kuin 2 r , joten rivien välinen ero y -koordinaatilla on √ 3 r . Eli toisella rivillä on koordinaatit

\left(2r,r+{\sqrt {3}}r,r\right),\ \left(4r,r+{\sqrt {3}}r,r\right),\ \left(6r, r+{\sqrt {3}}r,r\oikea),\ \left(8r,r+{\sqrt {3}}r,r\oikea),\pisteet .

Seuraava pallorivi noudattaa tätä mallia siirtämällä riviä x -akselia pitkin r :llä ja y -akselia pitkin √ 3 r :llä . Lisäämme rivejä, kunnes saavutamme laatikon reunan.

ABAB-…-pakkauksessa parittomien pallojen tasoilla on täsmälleen samat x- ja y -koordinaatit ; vain z - koordinaatit muuttuvat , mikä pätee myös parillisiin tasoihin . Molemmat tasotyypit muodostetaan saman kaavion mukaan, mutta ensimmäisen rivin ensimmäisen pallon sijainti on erilainen.

Käytämme edellä kuvattua rakennetta kerroksena A. Aseta pallo tämän kerroksen päälle niin, että se koskettaa kolmea kerroksen A palloa. Nämä kolme palloa jo koskettavat toisiaan muodostaen tasasivuisen kolmion. Koska nämä kolme palloa ovat tangentti lisättyä palloa, neljä keskusta muodostavat säännöllisen tetraedrin [7] , jonka kaikki sivut ovat yhtä suuria kuin 2 r . Tämän tetraedrin korkeus on z -koordinaattien ero kahden kerroksen välillä ja on yhtä suuri kuin . Yhdistelmä x- ja y -koordinaateilla antaa tason B ensimmäisen rivin keskipisteet: ${\tfrac {2{\sqrt {6}}r}{3}}$

\left(2r,r+{\frac {{\sqrt {3}}r}{3)),r+{\frac {2{\sqrt {6}}r}{3}}\right), \ \left(4r,r+{\frac {{\sqrt {3}}r}{3)),r+{\frac {2{\sqrt {6}}r}{3}}\right),\ \ vasen(6r,r+{\frac {{\sqrt {3}}r}{3)),r+{\frac {2{\sqrt {6}}r}{3}}\right),\ \left( 8r,r+{\frac {{\sqrt {3}}r}{3)),r+{\frac {2{\sqrt {6}}r}{3}}\right),\dots .

Toisen rivin koordinaatit noudattavat yllä kuvattua kaavaa:

\left(r,r+{\frac {4{\sqrt {3}}r}{3)),r+{\frac {2{\sqrt {6}}r}{3}}\right) ,\ \left(3r,r+{\frac {4{\sqrt {3}}r}{3)),r+{\frac {2{\sqrt {6}}r}{3}}\right), \ \left(5r,r+{\frac {4{\sqrt {3}}r}{3)),r+{\frac {2{\sqrt {6}}r}{3}}\right),\ \left(7r,r+{\frac {4{\sqrt {3}}r}{3)),r+{\frac {2{\sqrt {6}}r}{3}}\right),\dots .

Z -koordinaattien ero seuraavaan A-kerrokseen on jälleen yhtä suuri kuin , ja x- ja y -koordinaatit ovat yhtä suuria kuin ensimmäisen A-kerroksen koordinaatit [8] . ${\tfrac {2{\sqrt {6}}r}{3}}$

Yleensä keskusten koordinaatit voidaan kirjoittaa seuraavasti:

{\begin{bmatrix}1+2i+((j\ +\ k){\bmod {2)))\\1+{\sqrt {3}}\left[j+{\frac {1}{ 3}}(k{\bmod {2}})\right]\\1+{\frac {2{\sqrt {6}}}{3}}k\end{bmatrix}}r

missä i , j ja k ovat x- , y- ja z - indeksit (nollaperusteiset), ja " a mod b " tarkoittaa "jäännösosan ottamista" jaosta . $a$ $b$

Vaihtoehdot ja yleistykset

Muiden mittojen tilat

Voidaan harkita samanlaista hyperpallojen (tai ympyröiden) tiheää pakkaamista euklidisessa avaruudessa, jonka ulottuvuus on muu kuin 3. Erityisesti kaksiulotteisessa euklidisessa avaruudessa paras täyttö on sijoittaa ympyröiden keskipisteet parketin kärkiin . muodostavat säännölliset kuusikulmiot , joissa jokaista ympyrää ympäröi kuusi muuta. Juuri tällaisista kerroksista rakennetaan fcc- ja GP (HCP) -pakkaukset. Tämän paketin tiheys:

{\frac {\pi }{2{\sqrt {3))))\noin 0,9069

[1] .

Vuonna 1940 todistettiin, että tämä pakkaus on tihein.

Vuonna 2016 ukrainalainen matemaatikko Marina Vyazovskaya ratkaisi pallon pakkausongelman kahdessa korkeamman ulottuvuuden tilassa - kahdeksanulotteisessa [9] [10] [11] ja 24-ulotteisessa [12] [13] . Vyazovskajan ratkaisu kahdeksanulotteiseen tapaukseen on vain 23 sivua pitkä ja "järkevän yksinkertainen" [13] verrattuna 300 sivuun tekstiä ja 50 000 koodiriviä todistamaan Keplerin olettamus [14] kolmiulotteisesta avaruudesta.

Suurin tiheys tunnetaan vain tilamitoilla 1 (tiivistys), 2 ( kolmiohila ), 3 (fcc, HP (HCP) ja muilla kolmiomaisista hilakerroksista rakennetuilla tiivisteillä), 8 ( E8 hila ) ja 24 ( Leach lattice ). ) [ 15] .

Jäljellä olevan tilan täyttäminen

Fcc- ja fcc (hcp) -pakkaukset ovat tiheimpiä tunnettuja identtisten pallojen pakkauksia, joilla on maksimaalinen symmetria (pienin toistoyksikkö). Kuulien läheisempiä pakkauksia tunnetaan, mutta niissä käytetään halkaisijaltaan erilaisia palloja. Pakkaukset, joiden tiheys on 1 ja jotka täyttävät tilan kokonaan, vaativat ei-pallomaisia kappaleita, kuten hunajakennoja , tai äärettömän määrän palloja äärellisessä tilavuudessa ( Apollonian grid ).

Honeycombs

Jos korvaamme jokaisen kahden pallon kosketuspisteen reunalla, joka yhdistää kosketuksissa olevien pallojen keskipisteet, saadaan tetraedrit ja oktaedrit, joilla on yhtä pitkä sivu. FCC-pinoaminen antaa tetraedris-oktaedrisen kennojen . HP (HPC) pinoaminen tuottaa kierrettyjä tetraedris-oktaedrikennoja . Jos sen sijaan jotakin palloa laajennetaan pisteillä, jotka ovat lähempänä sitä kuin mitä tahansa muuta palloa, saadaan kaksoiskennoja - rombiset dodekaedrit FCC:lle ja trapecerombiset dodekaedrit HP:lle.

Pallomaiset kuplat saippuavedessä FCC- tai HCP (HCP) -kaavion mukaan, kun kuplien välinen vesi kuivuu, ovat myös rombododekaedrisen tai trapecerombisen dodekaedrin muodossa . Tällaiset FCC- tai HP (HPC) -vaahdot, joissa on erittäin alhainen nestepitoisuus, ovat kuitenkin epästabiileja, koska Platen laki ei päde niihin . Kelvin-vaahto ja Weir and Pelan -rakenne ovat vakaampia, ja niillä on pienempi rajapintaenergia pienellä nestemäärällä [16] .

Tiheä pallopakkaus elämässä

Monilla kiteillä on yhden tyyppisen atomin tiivis tiivistysrakenne tai suurien ionien tiivis tiivistys, jossa pienemmät ionit täyttävät niiden välisen tilan. Kuutio- ja kuusikulmiojärjestelyt ovat pääsääntöisesti energialtaan hyvin lähellä toisiaan, ja on vaikea ennustaa, minkä muodon kide saa.

Thomas Harriot , noin 1585, otti ensimmäisen matemaattisen pohdinnan pallojen pinoamisesta tykinkuulat pinoamisen yhteydessä ja katsoi fcc:n hilaksi: kanuunankuulat pinottiin yleensä suorakaiteen tai kolmion muotoisiin puukehyksiin muodostaen kolmi- tai nelisivuisia pyramideja; molemmat pinot antavat kasvokeskeisen kuutiohilan ja eroavat vain suunnan suhteen pohjaan nähden. Kuusikulmainen tiivis pakkaaminen johtaa kuusikulmaiseen pyramidiin. Tykinkuulien pinoamisen yhteydessä tunnetaan myös samanniminen lukuteorian ongelma.

Katso myös

Kommentti

↑ Etäisyys tetraedrisen tyhjän alueen keskustaan on yhtä suuri kuin tetraedrin, jonka sivu on 2, rajatun ympyrän säde, eli . Lue rajatun ympyrän säteen kaava artikkelista Säännöllinen tetraedri . Etäisyys oktaederisen alueen keskustaan on yhtä suuri kuin tämän alueen rajatun ympyrän säde, jonka sivun pituus on 2. Tämän alueen säteen kaava löytyy artikkelista Octahedron ${\displaystyle 2{\sqrt {\tfrac {3}{8))))$

Muistiinpanot

↑ 1 2 Sloan N. J. A. Pallien pakkaaminen // Tieteen maailmassa . - 1984. - Nro 3 . - S. 72-82 .
↑ Podolskaja E. A., Krivtsov A. M. Kuusikulmaisen tiiviisti pakatun rakenteen omaavien kiteiden geometrian kuvaus parillisten kiteiden perusteella / Institute for Problems of Mechanical Engineering RAS, Pietari. // Russia Solid State Physics, 2012. - V. 54. - Numero. 7. - S. - 1327-1334.
↑ Hales, TC (1998), Yleiskatsaus Keplerin oletukseen, arΧiv : math/9811071v2 .
↑ Szpiro, 2003 , s. 12–13.
↑ Conway, Sloane, 1998 , s. Kohta 6.3.
↑ Barlow, 1883 , s. 186-188.
↑ Grunch.net .
↑ Weisstein, Eric W. Hexagonal Close Packing Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
↑ Kevin Knudson. Tykinkuulien pinoaminen kahdeksassa ulottuvuudessa // Forbes . - 2016 - 29. maaliskuuta.
↑ Frank Morgan. Pallopakkaus dimensiossa 8 // The Huffington Post . - 2016 - 21. maaliskuuta.
↑ Andreas Loos. So stapeln Mathematiker Melonen (saksa) // Die Zeit . - 2016 - 21. maaliskuuta.
↑ Lisa Grossman. Uusi matemaattinen todistus osoittaa, kuinka pinota appelsiineja 24-ulotteiseksi // New Scientist . - 2016 - 28. maaliskuuta.
↑ 12 Erica Klarreich . Pallopakkaus ratkaistu korkeampiin mittoihin // Quanta : Magazine. - 2016 - 30. maaliskuuta.
↑ Natalie Wolchover. Luotamme tietokoneisiin? (englanniksi) // Quanta : Magazine. - 2013 - 22. helmikuuta.
↑ Cohn, Kumar, Viller, Radchenko, Viazovska, 2017 .
↑ Cantat, Cohen-Addad, Elias, Graner ym., 2013 .

Kirjallisuus

George Szpiro. Matematiikka: Pystyykö todistus? // Luonto. - 2003. - heinäkuu ( v. 424 ). - doi : 10.1038/424012a .
Henry Cohn, Abhinav Kumar, Stephen D. Miller, Danylo Radchenko, Maryna Viazovska. Palloongelma pakkaus dimensiossa 24. - 2017. - Helmikuu. - arXiv : 1603.06518v2 .
John Horton Conway , Neil James Alexander Sloane . Osa 6.3 // Pallotiivisteet, ristikot ja ryhmät. - Springer, 1998. - T. 290. - (Grundlehren der mathematischen Wissenschaften). — ISBN 0-387-98585-9 .
William Barlow. Kiteiden sisäisen symmetrian todennäköinen luonne // Luonto. - 1883. - T. 29 .
Isabelle Cantat, Sylvie Cohen-Addad, Florence Elias, François Graner, Reinhard Höhler, Ruth Flatman, Olivier Pitois. Vaahdot, rakenne ja dynamiikka. - Oxford: Oxford University Press, 2013. - ISBN 9780199662890 .

Linkit

P. Krishna & D. Pandey, "Close-Packed Structures" International Union of Crystallography, University College Cardiff Press. Cardiff, Wales. PDF Arkistoitu 29. elokuuta 2017 Wayback Machinessa
D.K. Uusi palapeli: pallojen asettaminen kuutioon // Kvant . - 1990. - Nro 5 . - S. 82 .
on Sphere Packing . Grunch.net. Haettu 12. kesäkuuta 2014. Arkistoitu alkuperäisestä 20. maaliskuuta 2015. (määrätön)

Pakkaustehtävät
Pakkaa ympyrät	Ympyrässä / suorakulmaisessa kolmiossa / tasakylkisessä suorakulmaisessa kolmiossa / neliössä Apolloniuksen matto Ympyräpakkauslause Tammes -ongelma (sfäärillä)
Ilmapallon pakkaus	Apolloniev pallossa tiheä pakkaus yhteysnumero Pallomainen pakkausraja (Hamming)
Muut paketit	Konteihin Tetrahedra Sarjat
Palapeli	Conway Slotobera - Graatsma