Vallankumouksen pinta

Pyörimispinta on pinta , joka muodostuu pyöriessä mielivaltaisen linjan ( suora , tasainen tai spatiaalinen käyrä ) suoran linjan (pinta-akselin) ympäri. Esimerkiksi jos suora leikkaa pyörimisakselin, niin sen pyörimisen aikana saadaan kartiomainen pinta, jos se on yhdensuuntainen akselin kanssa - lieriömäinen , jos se leikkaa akselin - hyperboloidi . Sama pinta voidaan saada kiertämällä monenlaisia käyriä.

Se on matemaattisen analyysin , analyyttisen , differentiaalisen ja kuvailevan geometrian tutkimuskohde.

Esimerkkejä

Pyöreä lieriömäinen pinta (saatu kiertämällä suoraa linjaa sen kanssa yhdensuuntaisen suoran ympäri).
Kartio (saatu kiertämällä suoraa toisen suoran ympäri, joka leikkaa ensimmäisen).
Pallo (saatu kiertämällä ympyrää akselin ympäri, joka sijaitsee samassa tasossa ja kulkee sen keskustan läpi).
Torus (saatu kiertämällä ympyrää akselin ympäri, joka ei leikkaa sitä ja sijaitsee samassa tasossa).
Kierrosellipsoidi on ellipsoidi, jonka kahdella puoliakselilla on sama pituus (saatu kiertämällä ellipsiä yhden akselinsa ympäri).
Kierrosparaboloidi on elliptinen paraboloidi , joka saadaan kiertämällä paraabelia akselinsa ympäri.
Katenoidi (saatu ajojohtoa kiertämällä ).

Alue

Pyörimispinnan pinta-ala , joka muodostuu äärellisen pituisen tasokäyrän kiertymisestä akselin ympäri, joka on käyrän tasossa, mutta ei leikkaa käyrää, on yhtä suuri kuin käyrän pituuden ja käyrän pituuden tulo. ympyrän pituus, jonka säde on yhtä suuri kuin etäisyys akselista käyrän massakeskipisteeseen . Tätä väitettä kutsutaan toiseksi Papp-Guldinin lauseeksi tai Pappus - sentroidilauseeksi.

Esimerkiksi torukselle , jonka säteet ovat , pinta-ala on $r,R$

S=(2\pi r)\cdot (2\pi R)=4\pi ^{2}rR

Pyörimispinnan pinta-ala , joka muodostuu käyrän kiertymisestä akselin ympäri , voidaan laskea kaavalla $y=f(x),\ a\leq x\leq b$ $0x$

S=2\pi \int \limits _{a}^{b}f(x){\sqrt {1+\left(f'(x)\right)^{2))}dx

Pyörimispinnan pinta-ala , joka muodostuu käyrän kiertymisestä akselin ympäri , voidaan laskea kaavalla $x=x(t),\ y=y(t),\ \alpha \leq t\leq \beta$ $0x$

S=2\pi \int \limits _{\alpha }^{\beta }y(t){\sqrt {\left(x'(t)\right)^{2}+\left(y'(t) )\right)^{2}}}dt

Siinä tapauksessa, että käyrä on annettu napakoordinaatistossa, kaava pätee $r=\rho (\varphi ),\ \alpha \leq \varphi \leq \beta$

S=2\pi \int \limits _{\alpha }^{\beta }\rho (\varphi )|\sin \varphi |{\sqrt {\left(\rho (\varphi )\right)^{2 }+\left(\rho '(\varphi )\right)^{2}}}d\varphi

Volume

Tilavuus , jonka rajoittaa kierrospinta, joka muodostuu tasaisen suljetun ei-leikkaavan käyrän kiertymisestä käyrän tasossa olevan, mutta ei käyrää leikkaavan akselin ympäri, on yhtä suuri kuin pinta-alan tulo. litteä kuvio, jota rajoittavat käyrä ja ympyrän kehä, jonka säde on yhtä suuri kuin etäisyys akselista litteän hahmon painopisteeseen.

Käyrän akselin ympäri kiertämällä muodostuneen kierrospinnan tilavuus voidaan laskea kaavalla $y=f(x),\ a\leq x\leq b$ $0x$

V=\pi \int \limits _{a}^{b}f^{2}(x)dx

Muunnelmia ja yleistyksiä

vääntynyttä työtä

Vallankumouksen pinta

Esimerkkejä

Alue

Volume

Muunnelmia ja yleistyksiä

Muistiinpanot