Möbiuksen muunnos

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 10. huhtikuuta 2019 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 24 muokkausta .

Möbius - muunnos on muunnos euklidisen avaruuden yhden pisteen tiivistymisestä , joka on yhdistelmä äärellisestä määrästä inversioita suhteessa hyperpalloihin ja heijastuksia suhteessa hypertasoihin . [1] . ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {R} ^{n))}=\mathbb {R} ^{n}\cup \{\infty \))$

Englanninkielisessä kirjallisuudessa termi Möbius-muunnos määritellään usein vain laajennetulle kompleksitasolle muunnokseksi , joka on määritelty lineaari-murtofunktiolla : ${\widehat {\mathbb {C} }}=\mathbb {C} \cup \{\infty \}$ $f:{\widehat {\mathbb {C} }}\to {\widehat {\mathbb {C} }}$

f(x)={\begin{cases}\displaystyle {\frac {ax+b}{cx+d)),&x\neq \infty \\\displaystyle {\frac {a}{c)) ,&x=\infty \end{cases}}\quad a,b,c,d\in \mathbb {C} ,\quad \left|{\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}}\ oikea|\neq 0

Tätä määritelmää voidaan pitää yleisen erikoistapauksena , koska jos laajennettu kompleksitaso esitetään muodossa , niin määritelmät ovat ekvivalentteja. Venäjänkielisessä kirjallisuudessa kompleksilukujen lineaaristen murto-osien funktioille käytetään termiä lineaarinen murto-osamuunnos . $n = 2$ ${\widehat {\mathbb {C} }}=\mathbb {C} \cup \{\infty \}$ ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {R} ^{2))}=\mathbb {R} ^{2}\cup \{\infty \))$

Jos kyseessä on suoran yhden pisteen tiivistys, se on projektiivisesti laajennettu todellinen viiva . Siinä Möbius-muunnokset voidaan määritellä samalla tavalla kuin kompleksinen tapaus lineaaristen murtolukufunktioiden avulla. $n = 1$

Projektiivisesti laajennettu numerorivi

Jos avaruus on laajennettu numerorivi. Tässä tapauksessa Möbius-muunnos mahdollistaa vaihtoehtoisen määritelmän käyttämällä lineaari-murto-funktiota: $n = 1$ $\R \cup \{\infty\}$

f(x)={\begin{cases}\displaystyle {\frac {ax+b}{cx+d)),&x\neq \infty \\\displaystyle {\frac {a}{c)) ,&x=\infty \end{cases}}\quad a,b,c,d\in \mathbb {R} ,\quad \left|{\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}}\ oikea|\neq 0

Laajennettu kompleksitaso

Tässä tapauksessa avaruutta voidaan tarkastella laajennettuna kompleksisena tasona. Tällä tavalla katsottuna Möbius-muunnosta kutsutaan myös lineaari-murto-muunnokseksi ja se voidaan vaihtoehtoisesti määrittää käyttämällä lineaari-murto-funktiota: $n = 2$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\cup \{\infty \))$

f(x)={\begin{cases}\displaystyle {\frac {ax+b}{cx+d)),&x\neq \infty \\\displaystyle {\frac {a}{c)) ,&x=\infty \end{cases}}\quad a,b,c,d\in \mathbb {C} ,\quad \left|{\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}}\ oikea|\neq 0

Avaruudessa, jonka ulottuvuus on 2, Möbius-muunnos muuttaa yleistetyt ympyrät yleistetyiksi ympyröiksi. Sitä voidaan pitää joko pistemuunnoksena tai yleistettyjen ympyröiden muunnoksena [2] :

pistemuunnoksena Möbius-muunnos on laajennetun euklidisen tason muunnos siten, että ympyrästä tai suorasta tulee ympyrä tai suora. Meillä on pisteanalagmaattinen geometria ;
ei-pistemuunnoksena Möbius-muunnos on kontaktimuunnoksen erikoistapaus , jossa pääelementti ei ole piste, vaan ympyrä. Meillä on pyöreä anallagmaattinen geometria.

Seuraavat yksinkertaiset ominaisuudet on helppo tarkistaa:

Identiteettikartoitus on myös lineaari-murto-funktion erikoistapaus. Tarpeeksi korvata $f(z)=z$ $a=d=1,\;b=c=0.$
Lineaaristen murto-osien kuvausten superpositio on myös lineaarinen murto-osafunktio.
Lineaarisen murtoluvun käänteinen funktio on myös sellainen.

Tästä seuraa, että lineaarinen murto-osakuvaukset muodostavat ryhmän superpositiolla ( Riemannin pallon automorfismiryhmä , jota kutsutaan myös Möbius-ryhmäksi ). Tämä ryhmä on monimutkainen kolmiulotteinen valheryhmä .

Algebralliset ominaisuudet

Kun parametrit , , , kerrotaan nollasta poikkeavalla kompleksiluvulla, muunnos ei muutu. Muodollisesti Möbius-ryhmä on ryhmän projektivisaatio , eli siinä on epimorfismi : . $a$ $b$ $c$ $d$ $GL_{2}(\mathbb {C} )$ $\left(\begin{matrix}a&&b\\c&&d\end{matrix}\right)\to\frac{az+b}{cz+d}$

Möbius-ryhmä on isomorfinen erityisortokroniselle Lorentz-ryhmälle $SO^\uparrow(1,\;3)$ .

Oletetaan, että muunnosa vastaava matriisi on normalisoitu, eli se täyttää ehdon . Sitten, riippuen tämän matriisin jäljestä, joka on yhtä suuri kuin , voimme luokitella kaikki lineaarinen murto-osakuvaukset kolmeen tyyppiin: $ad-bc=1$ $a+d$

elliptinen: ; $|a+d|<2$
parabolinen: ; $a+d=\pm 2$
hyperbolinen: . $|a+d|>2$

Geometriset ominaisuudet

Ensinnäkin mikä tahansa lineaarinen murto-osakartoitus voidaan esittää siirtymien , inversioiden , kiertojen ja venytysten yhdistelmänä . Tämä on helppo todistaa – mielivaltainen kartta voidaan jakaa neljän funktion superpositioon: $f(z)=\frac{az+b}{cz+d}$

f(z)=f_4(f_3(f_2(f_1(z)))),

missä

\begin{matrix}f_1(z)&=&z+\dfrac{d}{c},\\f_2(z)&=&\dfrac{1}{z},\\f_3(z)&=&-\ dfrac{ad-bc}{c^2}z,\\f_4(z)&=&z+\dfrac{a}{c}.\end{matrix}

Toiseksi, tästä seuraa välittömästi ominaisuus säilyttää kulmat ja säilyttää ympyrät lineaarisen murto-osan kuvauksen alla, koska kaikki superpositioon sisältyvät kuvaukset ovat konformisia. Tässä tarkoitamme ympyröitä Riemannin pallolla , jotka sisältävät tasossa olevia viivoja.

Lisäksi kolmelle pareittain erilliselle pisteelle on olemassa ainutlaatuinen lineaarinen murto-osakartoitus, joka kartoittaa nämä kolme pistettä annettuihin kolmeen pareittain erilliseen pisteeseen . Se on rakennettu sen tosiasian perusteella, että lineaarinen murto-osakuvaukset säilyttävät kompleksitason neljän pisteen anharmonisen suhteen . Jos piste on pisteen kuva , niin tasa-arvo $z_1,\;z_2,\;z_3$ $w_1,\;w_2,\;w_3$ $w(z)$ $z$

\frac{(z_1-z_3)(z_2-z)}{(z_1-z)(z_2-z_3)}=\frac{(w_1-w_3)(w_2-w(z))}{(w_1-w( z))(w_2-w_3)},

joka (sillä ehdolla, että for ) määrittää yksiselitteisesti halutun kuvauksen $z_i \ne z_j, w_i \ne w_j$ $i \ne j$ $w(z).$

Möbius-muunnos ja yksikköympyrä

Möbiuksen muunnos

f(z)=\frac{az+b}{cz+d}

on yksikköympyrän automorfismi jos ja vain jos ja . $\Delta=\{z \in {\mathbb C}: \, |z|<1\}$ $a{\bar b}=c{\bar d}$ $|a|=|d|>|c|$

Sekä Riemannin pallolla että yksikköympyrällä kaikki konformiset automorfismit tyhjennetään lineaaristen murtolukufunktioiden avulla. Yksikköympyrän automorfismit muodostavat Möbius-ryhmän todellisen kolmiulotteisen aliryhmän; jokainen niistä ilmaistaan seuraavasti:

f(z)=e^{i\varphi}\frac{z+\beta}{{\bar\beta}z+1},\quad\beta\in\Delta,\quad|e^{i\varphi} |=1.

Esimerkkejä

Yksi tärkeä esimerkki lineaarisesta murtofunktiosta on Cayley-muunnos :

W(z)=\frac{zi}{z+i}.

Se yhdistää kaksi kanonista aluetta kompleksitasolla yhdistämällä ylemmän puolitason yksikköympyrään . ${\mathbb C}^+$ $\Delta$

Suuremmat tilat

Mistä tahansa konformisesta kartoituksesta aloittaminen on Möbius-muunnos. Möbius-muunnoksilla on yksi seuraavista tyypeistä: $n = 3$

$f(x)=b+A(xa)$
${\displaystyle f(x)=b+{\dfrac {A(xa)}{|xa|^{2))))$ ,

missä , on ortogonaalinen matriisi . $a,b\in \mathbb {R}$ $A$

Muistiinpanot

↑ Alfors L. Möbius-muunnokset moniulotteisessa avaruudessa, 1986 , s. 5.
↑ Mathematical Encyclopedia , osa 3, 1982 , st. 122.

Kirjallisuus

Shabat BV Johdatus monimutkaiseen analyysiin. — M .: Nauka , 1969. — 577 s.
Alfors L. Möbius-muunnokset moniulotteisessa avaruudessa: Per. englannista. N. A. Gusevsky. Ed. S. L. Kruskala . M.: Mir, 1986. 112 s., ill. [Moderni matematiikka. Alkukurssit.]
Matemaattinen tietosanakirja : Ch. toim. I. M. Vinogradov , osa 3 Koo-Od. M .: "Soviet Encyclopedia", 1982. 1184 jne., Ill.

Linkit

Moebius Transformations Revealed Arkistoitu 16. helmikuuta 2011 Wayback Machinessa YouTubessa .
- sama (venäläisellä tekstityksellä) Arkistoitu 22. kesäkuuta 2015 Wayback Machineen .