Funktiojohdannainen

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 18. elokuuta 2022 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 3 muokkausta . Tässä artikkelissa kuvataan todellisten funktioiden johdannaisia. Katso monimutkaisten funktioiden derivaatta kohdasta Kompleksianalyysi .

Funktion derivaatta on differentiaalilaskennan käsite, joka kuvaa funktion muutosnopeutta tietyssä pisteessä. Se määritellään funktion lisäyksen ja sen argumentin lisäyksen suhteen rajaksi , kun argumentin lisäys pyrkii nollaan , jos tällainen raja on olemassa. Funktiota, jolla on äärellinen derivaatta (jossain vaiheessa), kutsutaan differentioituvaksi (tietyssä pisteessä).

Derivaatan laskentaprosessia kutsutaan differentiaatioksi . Käänteinen prosessi - antijohdannaisen löytäminen - integraatio .

Historia

Klassisessa differentiaalilaskennassa derivaatta määritellään useimmiten rajan käsitteen kautta , mutta historiallisesti rajateoria ilmestyi myöhemmin kuin differentiaalilaskenta. Historiallisesti derivaatta otettiin käyttöön kinemaattisesti (nopeudena) tai geometrisesti (määritettynä pääasiassa tangentin kaltevuuden perusteella, erilaisissa erityisissä formulaatioissa). Newton kutsui derivaatta fluxiksi , joka merkitsee pistettä funktiosymbolin yläpuolella, Leibnizin koulukunta suosi differentiaalia peruskäsitteenä [1] .

Venäläistä termiä muodossa "johdannainen funktio" käytti ensimmäisenä V. I. Viskovatov , joka käänsi venäjäksi vastaavan ranskalaisen termin dérivée , jota käytti ranskalainen matemaatikko Lagrange [2] .

Määritelmä

Olkoon funktio määritelty jossain pisteen naapurustossa Funktion derivaatta on sellainen luku , että naapurissa oleva funktio voidaan esittää $x_{0}\in \mathbb{R}$ $f\colon U(x_{0})\subset \mathbb{R} \to \mathbb{R} .$ $A$ $U(x_{0})$

f(x_{0}+h)=f(x_{0})+Ah+o(h)

jos on olemassa. $A$

Funktion derivaatan määritelmä rajan suhteen

Olkoon funktio määritelty jossain pisteen ympäristössä . Pisteessä olevan funktion derivaatta kutsutaan rajaksi , jos se on olemassa, $x_{0}\in \mathbb{R}$ $f\colon U(x_{0})\subset \mathbb{R} \to \mathbb{R} .$ $f$ $x_{0}$

f'(x_{0})=\lim \limits _{x\to x_{0}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0} }}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}}=\lim \limits _ {{\Delta x}\to 0}{\frac {\Delta {f(x)))}{\Delta x)).

Perinteinen merkintä funktion derivaatalle pisteessä $y=f(x)$ $x_{0}$

f'(x_{0})=f'_{x}(x_{0})={\mathrm {D}}\!f(x_{0})={\frac {df}{dx}}( x_{0})=\left.{\frac {dy}{dx}}\right\vert _{{x=x_{0}}}={\piste {y}}(x_{0}).

Huomaa, että jälkimmäinen tarkoittaa yleensä derivaatta ajan suhteen ( teoreettisessa mekaniikassa ja fysiikassa myös historiallisesti usein).

Johdannaisten taulukko

Tehofunktioiden johdannaiset	Trigonometristen funktioiden johdannaiset	Käänteisten trigonometristen funktioiden derivaatat	Hyperbolisten funktioiden johdannaiset
$\left(c\right)^{(n)}=0$	$\left(\sin x\right)^{(n)}=\sin(x+{\dfrac {\pi n}{2)))$	$\left(\arcsin x\right)'={\dfrac {1}({\sqrt {1-x^{{2))))}}$	$(\sinh x)'=\cosh x$
$\left(x^{a}\right)^{(n)}={\dfrac {a!}{(an)!}}x^{an}$	$\left(\cos x\right)^{(n)}=\cos(x+{\dfrac {\pi n}{2)))$	$\left(\arccos x\right)'=-{\dfrac {1}({\sqrt {1-x^{{2))))}}$	${\textstyle (\cosh x)'=\sinh x}$
$\left(a^{x}\right)^{(n)}=a^{x}\ln ^{n}a$	$\left(\operaattorinimi {tg} x\oikea)'=\sec ^{2}x$	${\displaystyle \left(\operaattorinimi {arctg} x\right)'={\dfrac {1}{1+x^{2))))$	$(\tanh x)'=\operaattorin nimi {sch} x$
$\left(\log _{a}x\right)^{(n)}={\dfrac {(-1)^{n-1}(n-1)!}{x^{n} \ln a}}$	$\left(\operaattorinimi {ctg} x\right)'=-\csc ^{2}x$	${\displaystyle \left(\operaattorinimi {arcctg} x\right)'=-{\dfrac {1}{1+x^{2))))$	$(\coth x)'=-\operaattorin nimi {csch} x$
	$\left(\operaattorinimi {sec} x\right)'=\sec x\cdot \mathrm {tg} \ x$	$\left(\operaattorinimi {arcsec} x\right)'={\frac {1}{\|x\|{\sqrt {x^{2}-1))))$	$(\mathrm {sch} \ x)'=-{\frac {\sinh x}{\cosh ^{2}x))$
	$\left(\operaattorinimi {cosec} x\right)'=-\mathrm {cosec} \ x\cdot \mathrm {ctg} \ x$	$\left(\operaattorinimi {arccosec} x\right)'=-{\frac {1}{\|x\|{\sqrt {x^{2}-1))))$	$(\mathrm {csch} \ x)'=-{\frac {\cosh x}{\sinh ^{2}x))$

$\left(c\right)=\left(\mathrm {const} \right)$
$\left(e^{{x}}\right)^{{\left(n\right)}}=e^{{x}}$
${\displaystyle (\ln {x})^{(n)}={\dfrac {(-1)^{n-1}(n-1)!}{x^{n))))$

Erilaistuvuus

Pisteessä olevan funktion derivaatta , joka on raja, ei välttämättä ole olemassa, tai se voi olla olemassa ja olla äärellinen tai ääretön. Funktio on differentioituva pisteessä, jos ja vain jos sen derivaatta kyseisessä pisteessä on olemassa ja on äärellinen: $f'(x_{0})$ $f$ $x_{0}$ $f$ $x_{0}$

f\in {\mathcal {D}}(x_{0})\nuoli vasemmalle \exists f'(x_{0})\in (-\infty ;\infty ).

Naapurustossa differentioitavissa olevalle funktiolle pätee seuraava esitys: $x_{0}$ $f$ $U(x_{0})$

f(x)=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})+o(x-x_{0})

klo

x\to x_{0}.

Muistiinpanot

Kutsutaan funktion argumentin lisäystä ja tai funktion arvon lisäystä pisteessä Sitten $\Delta x=x-x_{0}$ $\Delta y=f(x)-f(x_{0})$ $\Delta y=f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})$ $x_{0}.$ $f'(x_{0})=\lim \limits _({\Delta x\to 0)){\frac {\Delta y}{\Delta x)).$
Olkoon funktiolla äärellinen derivaatta jokaisessa pisteessä. Sitten derivaattafunktio määritellään $f\colon (a,b)\to \mathbb{R}$ $x_{0}\in(a,b).$ $f'\colon (a,b)\to \mathbb{R} .$
Funktio, jolla on derivaatta jossain pisteessä, on jatkuva siinä pisteessä. Käänteinen ei ole aina totta.
Jos derivaattafunktio on itsessään jatkuva, funktiota kutsutaan jatkuvasti differentioituvaksi ja kirjoitetaan: $f$ $f\in C^{{(1)}}{\bigl (}(a,b){\bigr )}.$

Derivaatan geometrinen ja fyysinen merkitys

Tangenttiviivan kaltevuuden tangentti

Jos funktiolla on äärellinen derivaatta pisteessä, niin se voidaan naapurustossa approksimoida lineaarisella funktiolla $f\colon U(x_{0})\to \mathbb{R}$ $x_0,$ $U(x_{0})$

f_{l}(x)\equiv f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0}).

Funktiota kutsutaan tangentiksi pisteessä Numero on kulmakerroin ( tangentin kulmakerroin ) tai tangenttiviivan kulmakertoimen tangentti. $f_{l}$ $f$ $x_{0}.$ $f'(x_{0})$

Funktion muutosnopeus

Antaa olla suoraviivaisen liikkeen laki . Ilmaisee sitten hetkellisen liikkeen nopeuden ajanhetkellä . Uudella funktiolla on myös derivaatta. Tämä ns. toinen derivaatta, jota merkitään , ja funktio ilmaisee hetkellisen kiihtyvyyden ajankohdassa $s=s(t)$ $v(t_{0})=s'(t_{0})$ $t_0$ $s'(t)$ $s''(t)$ $a(t_{0})=s''(t_{0})$ $t_{0}.$

Yleensä funktion derivaatta pisteessä ilmaisee funktion muutosnopeuden pisteessä eli riippuvuuden kuvaaman prosessin nopeuden $y=f(x)$ $x_{0}$ $x_{0}$ $y=f(x).$

Korkeampien tilausten johdannaiset

Mielivaltaisen järjestyksen derivaatan käsite annetaan rekursiivisesti . Me uskomme

f^{{(0)}}(x_{0})\equiv f(x_{0}).

Jos funktio on differentioituva , niin ensimmäisen kertaluvun derivaatta määritellään relaatiolla $f$ $x_{0}$

f^{{(1)}}(x_{0})\equiv f'(x_{0}).

Olkoon nyt kolmannen kertaluvun derivaatta määritelty jossain pisteen ympäristössä ja differentioituva. Sitten $n$ $f^{{(n)}}$ $x_{0}$

f^{{(n+1)}}(x_{0})=\left(f^{{(n)}}\oikea)'(x_{0}).

Erityisesti toinen johdannainen on johdannaisen johdannainen:

f''(x_{0})=(f'(x))'|_{x=x_{0}}

Jos funktiolla on osittaisderivaata jonkin alueen D muuttujan suhteen , niin nimetyllä derivaatalla, joka on itse funktio , voi jossain vaiheessa olla osittaisderivaata saman tai minkä tahansa muun muuttujan suhteen. Alkuperäisessä funktiossa nämä derivaatat ovat toisen asteen osittaisia derivaattoja (tai toisen asteen osittaisderivaataita). ${\näyttötyyli u=f(x,y,z)}$ ${\näyttötyyli x,y,z,}$ $(x_{0},y_{0},z_{0})$ ${\näyttötyyli u=f(x,y,z)}$

u''_{x^{2}}=f''_{x^{2}}(x_{0},y_{0},z_{0})

tai

{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2))}={\frac {\partial ^{2}f(x_{0},y_{0},z_{ 0})}{\osittainen x^{2))))

u''_{xy}=f''_{xy}(x_{0},y_{0},z_{0})

tai

{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x\partial y))={\frac {\partial ^{2}f(x_{0},y_{0},z_{0 })}{\partial x\partial y}}

Eri muuttujien suhteen otettua toisen tai korkeamman kertaluvun osittaisderivaatta kutsutaan sekaosittaisderivaattaksi . Esimerkiksi,

u''_{xy}=f''_{xy}(x_{0},y_{0},z_{0})

Funktioiden luokkaa, joiden -järjestyksen derivaatta on jatkuva, merkitään . $n$ $C^{(n)}$

Johdannaisten kirjoittamistapoja

Riippuen tavoitteista, sovellusalueesta ja käytetystä matemaattisesta laitteistosta, käytetään erilaisia derivaatan kirjoitusmenetelmiä. Joten n:nnen kertaluvun derivaatta voidaan kirjoittaa merkintöihin:

Lagrange , kun taas pienille n-vetoille ja roomalaisia numeroita käytetään usein : $f^{{(n)}}(x_{0})$

f^{{(1)}}(x_{0})=f'(x_{0})=f^{I}(x_{0}),

f^{{(2)}}(x_{0})=f''(x_{0})=f^{{II}}(x_{0}),

f^{{(3)}}(x_{0})=f'''(x_{0})=f^{{III}}(x_{0}),

f^{{(4)}}(x_{0})=f^{{IV}}(x_{0}),

jne.

Tällainen merkintä on kätevä lyhyytensä vuoksi ja laajalle levinnyt; vedot eivät kuitenkaan saa merkitä korkeintaan kolmatta derivaatta.

Leibniz , kätevä visuaalinen esitys infinitesimaalien suhteesta (vain jos on riippumaton muuttuja; muuten merkintä on voimassa vain ensimmäisen kertaluvun derivaatalle): $x$

{\frac {d^{n}\!f}{dx^{n}}}(x_{0})

Newton , jota käytetään usein mekaniikassa koordinaattifunktion aikaderivaattana (tiladerivaattassa käytetään useammin Lagrangen merkintää). Johdannan järjestys ilmaistaan funktion yläpuolella olevien pisteiden lukumäärällä, esimerkiksi:

{\piste {x}}(t_{0})

on ensimmäisen kertaluvun derivaatta suhteessa kohtaan , tai on toinen derivaatta suhteessa pisteeseen jne.

x

t

t=t_{0}

{\dpiste {f}}(x_{0})

f

x

x_{0}

Euler , joka käyttää differentiaalioperaattoria (tarkasti ottaen differentiaalilauseketta, kunnes vastaava funktioavaruus otetaan käyttöön), ja siksi kätevä funktionaaliseen analyysiin liittyvissä asioissa :

{\mathrm {D}}^{n}\!f(x_{0})

, tai joskus .

\osittais ^{n}\!f(x_{0})

Variaatiolaskennassa ja matemaattisessa fysiikassa käytetään usein merkintää ; derivaatan arvolle pisteessä - . Osittaisjohdannaisten merkintätapa on sama, joten merkinnän merkitys määräytyy kontekstin perusteella. $f_{x}$ $f_{{xx}}$ $f_{x}\vert _{{x=x_{0}}}$

Tietenkään ei pidä unohtaa, että ne kaikki tarkoittavat samoja objekteja:

f^{(n)}(x_{0})={\frac {d^{n}\!f}{dx^{n))}(x_{0})={\overset {\ yliviivaus {\cdot \cdot \ldots \cdot } ^{n\ {\text{times}}}}{f}}(x_{0})=\mathrm {D} ^{n}\!f(x_{ 0})=f{\alaviiva {_{xx\ldots x}} _{n\ {\text{times}}}}\vert _{x=x_{0}}.

Esimerkkejä

Anna . Sitten $f(x) = x^2$

f'(x_{0})=\lim \limits _{{x\to x_{0))}{\frac {x^{2}-x_{0}^{2}}{x-x_{0 }}}=\lim \limits _{{x\to x_{0}}}{\frac {(x-x_{0})(x+x_{0})}{x-x_{0}}} =\lim \limits _{{x\to x_{0}}}(x+x_{0})=2x_{0}.

Anna . Sitten jos sitten $f(x)=|x|$ $x_{0}\neq 0,$

f'(x_{0})=\operaattorinimi{sgn} x_{0},

jossa tarkoittaa merkkifunktiota . Ja jos a ei siis ole olemassa. $\operaattorinimi{sgn}$ $x_{0}=0,$ $f'_{+}(x_{0})=1,\;f'_{-}(x_{0})=-1,$ $f'(x_{0})$

Erilaistumiseen liittyvät lauseet

Jatkuville intervallin funktioille , jotka vaihtelevat välillä , ovat voimassa seuraavat: $f,g$ $[a,b]$ $(a, b)$

Lemma Fermat . Josottaa suurimman tai pienimmän arvon pisteessäja on olemassa, niin. $f$ $c$ $f'(c)$ $f'(c) = 0$

Nolla derivaatan lause . Jos samat arvotjanan päissä välissä on ainakin yksi piste, jossa funktion derivaatta on yhtä suuri kuin nolla. $f$ $[a,b]$ $(a, b)$

Äärillinen lisäyskaava . Silläon sellainen kohta, että. $f$ $c\in(a,b)$ ${\frac {f(b)-f(a)}{ba}}=f'(c)$

Cauchyn keskiarvon lause . Josse ei ole yhtä suuri kuin nolla välissä, niin siellä on sellainen piste, että. $g'$ $(a, b)$ $c\in(a,b)$ ${\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}={\frac {f'(c)}{g'(c)))$

L'Hopitalin sääntö . Jostai, jajollekinpuhjennetusta naapurustostaja on olemassa, niin. $\lim _{x\to c}f(x)=\lim _{x\to c}g(x)=0$ $\infty$ $g'(x)\neq 0$ $x$ $c$ $\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)))$ $\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g '(x)}}$

Erotussäännöt

Operaatiota derivaatan löytämiseksi kutsutaan differentiaatioksi. Tätä toimintoa suoritettaessa joudut usein työskentelemään osamäärien, summien, funktioiden tulojen sekä "funktioiden funktioiden" eli monimutkaisten funktioiden kanssa. Derivaatan määritelmän perusteella voimme johtaa tätä työtä helpottavia differentiointisääntöjä. Jos on vakioluku ja ovat joitain differentioituvia funktioita, seuraavat differentiointisäännöt ovat voimassa: $C$ ${\näyttötyyli f=f(x),g=g(x)}$

$C' = 0$
$x'=1$
$\left(f+g\right)'=f'+g'$ [3]

Todiste

${\näyttötyyli y(x)=f(x)+g(x)}$

$y'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {y(x+\Delta {x})-y(x)}{\Delta x}}=$

$=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {(f(x+\Delta {x})+g(x+\Delta {x}))-(f(x)+g(x) ))}{\Delta x}}=$

$=\lim _{\Delta x\to 0}{({\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x))+{\frac {g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x)))}=$

$=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x))+\lim _{\Delta x\to 0} {\frac {g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x))=$

$=f'(x)+g'(x)$ ■

$\left(fg\right)'=f'g+fg'$ [neljä]

Todiste

$y(x)=f(x)g(x)$

$\Delta f(x)=f(x+\Delta x)-f(x)$

$\Delta g(x)=g(x+\Delta x)-g(x)$

$y'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {y(x+\Delta x)-y(x)}{\Delta x))=$

$=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x)}{\Delta x))=$

$=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {(f(x)+\Delta f(x))(g(x)+\Delta g(x))-f(x) g(x)}{\Delta x}}=$

$=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x)g(x)+f(x)\Delta g(x)+\Delta f(x)g(x)+ \Delta f(x)\Delta g(x)-f(x)g(x)}{\Delta x}}=$

$=\lim _{\Delta x\to 0}(f(x){\frac {\Delta g(x)}{\Delta x))+g(x){\frac {\Delta f( x)}{\Delta x))+\Delta g(x){\frac {\Delta f(x)}{\Delta x)))=$

$=f(x)g'(x)+g(x)f'(x)+0f'(x)=$

$=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$ ■

$\left(Cf\right)'=Cf'$
$\left({\frac {f}{g}}\right)'={\frac {f'g-fg'}{g^{2}}}$ …(g ≠ 0)

Todiste

$y(x)={\frac {f(x)}{g(x)))$

$\Delta f(x)=f(x+\Delta x)-f(x)$

$\Delta g(x)=g(x+\Delta x)-g(x)$

$y'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {y(x+\Delta x)-y(x)}{\Delta x))=$

$=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {{\frac {f(x+\Delta x)}{g(x+\Delta x)))-{\frac {f(x) }{g(x)}}}{\Delta x}}=$

$=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)g(x)-f(x)g(x+\Delta x)}{g(x+\Delta x) )g(x)\Delta x}}=$

$={\frac {1}{g^{2}(x)))\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {(f(x)+\Delta f(x))g (x)-f(x)(g(x)+\Delta g(x))}{\Delta x}}=$

$={\frac {1}{g^{2}(x)}}\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x)g(x)+\Delta f(x) )g(x)-f(x)g(x)-f(x)\Delta g(x)}{\Delta x))=$

$={\frac {1}{g^{2}(x)))\lim _{\Delta x\to 0}{(g(x){\frac {\Delta f(x)}{ \Delta x))-f(x){\frac {\Delta g(x)}{\Delta x)))}=$

$={\frac {1}{g^{2}(x)))(g(x)f'(x)-f(x)g'(x))=$

$={\frac {f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^{2}(x)))$ ■

$\left({\frac {C}{g}}\right)'=-{\frac {Cg'}{g^{2}}}$ (g ≠ 0)
Jos toiminto on asetettu parametrisesti:

$\left\{{\begin{matrix}x=x(t),\\y=y(t),\end{matrix}}\;\;t\in \left[T_{1};T_{2 }\oikea]\oikea.$ , sitten $y'_{x}={\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{dt}}\cdot {\frac {dt}{dx}}=y'_{t}\cdot t '_{x}={\frac {y'_{t}}{x'_{t}}}$

${\frac {d}{dx}}f(g(x))={\frac {df(g)}{dg}}\cdot {\frac {dg(x)}{dx}}=f'_ {g}g'_{x}$
Johdannaisten tulo- ja suhdekaavat yleistetään n-kertaisen erilaistumisen tapaukseen ( Leibnizin kaava ):

(fg)^{{(n)}}=\summa \limits _{{k=0}}^{{n}}{C_{n}^{k}f^{{(nk)}}g^ {{(k)}}},

missä ovat binomikertoimet .

C_{n}^{k}

Seuraavat derivaatan ominaisuudet toimivat lisäyksenä erilaistumissääntöihin:

jos funktio on differentioituva välissä , niin se on jatkuva välillä . Päinvastoin ei yleensä pidä paikkaansa (esimerkiksi funktio on ); $(a, b)$ $(a, b)$ $y(x)=|x|$ $[-1,1]$
jos funktiolla on paikallinen maksimi/minimi , kun argumentin arvo on yhtä suuri kuin , niin (tämä on ns. Fermat'n lemma ); $x$ $f'(x) = 0$
tämän funktion derivaatta on ainutlaatuinen, mutta eri funktioilla voi olla samat derivaatat.
$(f(x)^{{g(x)}})'=f(x)^{{g(x)}}\left(g'(x)\ln f(x)+{\frac {g (x)f'(x)}{f(x)}}\oikea)(\forall x\in D_{f}:f(x)>0)$

Todiste

$y=f(x)^{{g(x)}}$

$\ln y=g(x)\ln f(x)$

${\frac {y'}{y}}=g'(x)\ln f(x)+{\frac {g(x)f'(x)}{f(x)))$

$y'=y\left(g'(x)\ln f(x)+{\frac {g(x)f'(x)}{f(x)))\oikea)$

$y'=f(x)^{{g(x)}}(g'(x)\ln f(x)+{\frac {g(x)f'(x)}{f(x))) )$ ■

Taulukko joidenkin funktioiden johdannaisista

Toiminto $f(x)$	Johdannainen $f'(x)$	Merkintä
${\displaystyle x^{\alpha ))$	${\displaystyle \alpha \cdot x^{\alpha -1))$	Todiste Korjaamme ja lisäämme argumenttia . Lasketaan funktion inkrementti: , joten Katso $x\in {\mathbb {D}}(f)$ $\Delta x$ $\Delta y=(x+\Delta x)^{\alpha }-x^{\alpha }=x^{\alpha }((1+{\frac {\Delta x}{x)))^{\alpha }-yksi)$ $(x^{\alpha })'=\lim _({\Delta x\to 0))({\frac {\Delta y}{\Delta x))}=\lim _({\Delta x\to 0)){{\frac {x^{\alpha }((1+{\frac {\Delta x}{x)))^{\alpha }-1)}{\Delta x))}=$ $=\lim _({\Delta x\to 0)){\frac {\alpha \cdot x^{\alpha }\cdot {\frac {\Delta x}{x))}{\Delta x))= \alpha \cdot x^{{\alpha -1}}$
$a^{x}$	$a^{x}\cdot \ln {a}$	Todiste Korjaamme ja lisäämme argumenttia . Lasketaan funktion inkrementti: , joten Katso $x\in {\mathbb {D}}(f)$ $\Delta x$ $\Delta y=a^{x+\Delta x}-a^{x}=a^{x}(a^{\Delta x}-1)$ $(a^{x})'=\lim _({\Delta x\to 0))({\frac {\Delta y}{\Delta x))}=\lim _({\Delta x\to 0 }}{{\frac {a^{x}(a^{{\Delta x}}-1)}{\Delta x}}}=$ $=\lim _{{\Delta x\to 0}}{\frac {a^{x}\cdot \Delta x\cdot \ln {a}}{\Delta x}}=a^{x}\cdot \ln {a}$
${\displaystyle \log _{a}{x))$	${\displaystyle {\frac {1}{x\cdot \ln {a))))$	Todiste $(\log _{a}x)'={\frac {1}{\ln {a))}\cdot (\ln {x})'$ Opimme derivaatan käänteisfunktion derivaatan kautta : ${\näyttötyyli \ln {x))$ $y_{x}=\ln {x}\Rightarrow x_{y}=e^{y},$ $y_{x}'=(\ln {x})'={\frac {1}{(e^{y})'}}={\frac {1}{e^{y}}} ={\frac {1}{x}}$ Saamme: ${\displaystyle (\log _{a}{x})'={\frac {1}{x\cdot \ln {a))))$
$\sin x$	$\cos x$	Todiste Korjaamme ja lisäämme argumenttia . Lasketaan funktion inkrementti: , joten ( Katso ) $x\in {\mathbb {D}}(f)$ $\Delta x$ $\Delta y=sin(x+\Delta x)-sin(x)=2sin({\frac {x+\Delta xx}{2)))\cdot cos({\frac {x+\Delta +x} {2)))=2sin({\frac {\Delta x}{2)))\cdot cos(x+{\frac {\Delta x}{2)))$ ${\displaystyle \lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x))=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {2sin({\frac { \Delta x}{2)))\cdot cos(x+{\frac {\Delta x}{2)))}{\Delta x))=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac { sin({\frac {\Delta x}{2)))\cdot cos(x+{\frac {\Delta x}{2)))}{\frac {\Delta x}{2))}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {sin({\frac {\Delta x}{2)))}{\frac {\Delta x}{2))))$ $\cdot \lim _{\Delta x\to 0}{cos(x+{\frac {\Delta x}{2)))}=cos(x)$
$\cos x$	$-\sin x$	Todiste Korjaamme ja lisäämme argumenttia . Lasketaan funktion inkrementti: , joten ( Katso ) $x\in {\mathbb {D}}(f)$ $\Delta x$ $\Delta y=cos(x+\Delta x)-cos(x)=-2sin({\frac {x+\Delta x+x}{2)))\cdot sin({\frac {x+\Delta -x}{2)))=-2sin(x+{\frac {\Delta x}{2)))\cdot sin({\frac {\Delta x}{2))))$ ${\displaystyle \lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x))=\lim _{\Delta \to 0}{\frac {-2sin(x+{\frac {\Delta x}{2)))\cdot sin({\frac {\Delta x}{2)))}{\Delta x))=\lim _{\Delta \to 0}{\frac {- sin(x+{\frac {\Delta x}{2)))\cdot sin({\frac {\Delta x}{2)))}{\frac {\Delta x}{2))}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {sin({\frac {\Delta x}{2)))}{\frac {\Delta x}{2))))$ $\cdot \lim _{\Delta x\to 0}{-sin(x+{\frac {\Delta x}{2)))}=-sin(x)$
$\mathrm {tg} \x$	${\displaystyle {\frac {1}{\cos ^{2}{x))))$	Todiste 1 Korjaamme ja lisäämme argumenttia . Lasketaan funktion inkrementti: , niin ( Katso ) $x\in {\mathbb {D}}(f)$ $\Delta x$ $\Delta y=tg(x+\Delta x)-tg(x)={\frac {sin(x+\Delta xx)}{cos(x+\Delta x)\cdot cos(x)))={ \frac {sin(\Delta x)}{cos(x+\Delta x)\cdot cos(x)}}$ $\lim _{x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x))=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\frac {sin(\Delta x) )}{cos(x+\Delta x)\cdot cos(x)}}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {sin(\Delta x)}{\Delta x}}\cdot$ $\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {1}{cos(x+\Delta x)\cdot cos(x)))={\frac {1}{cos^{2}( x)}}$ Todiste 2 $(tgx)'=({\frac {sin(x)}{cos(x))))'={\frac {(sin(x))'\cdot cos(x)-sin(x) \cdot (cos(x))'}{cos^{2}(x)}}={\frac {cos(x)\cdot cos(x)-sin(x)\cdot (-sin(x)) }{cos^{2}(x)}}={\frac {cos^{2}(x)+sin^{2}(x)}{cos^{2}(x)))={\frac {1}{cos^{2}(x)}}$
$\mathrm {ctg} \x$	${\displaystyle -{\frac {1}{\sin ^{2}{x))))$	Todiste $(ctgx)'=({\frac {cos(x)}{sin(x))))'={\frac {(cos(x))'\cdot sin(x)-cos(x) \cdot (sin(x))'}{sin^{2}(x)}}={\frac {-sin(x)\cdot sin(x)+cos(x)\cdot cos(x)}{ sin^{2}(x)}}=-{\frac {sin^{2}(x)+cos^{2}(x)}{sin^{2}(x)))=-{\frac {1}{sin^{2}(x)}}$
$\mathrm {s} \x$	$\mathrm {s} \ x\cdot \mathrm {tg} \ x$	Todiste $(sec(x))'=({\frac {1}{cos(x))))'={\frac {(1)'\cdot cos(x)-1\cdot (cos(x) ))'}{cos^{2}(x)}}={\frac {sin(x)}{cos^{2}(x)}}=sek(x)\cdot tg(x)$
$\mathrm {cosec} \x$	$-\mathrm {cosec} \ x\cdot \mathrm {ctg} \ x$	Todiste $(cosec(x))'=({\frac {1}{sin(x))))'={\frac {(1)'\cdot sin(x)-1\cdot (sin(x) ))'}{sin^{2}(x)}}=-{\frac {cos(x)}{sin^{2}(x)}}=-coses(x)\cdot ctg(x)$
$\arcsin {x}$	${\frac {1}{{\sqrt {1-x^{2))))}$	Todiste Voit löytää arsinin derivaatan käyttämällä keskenään käänteisiä funktioita. Tämän jälkeen meidän on otettava näiden kahden funktion johdannainen. Nyt meidän on ilmaistava arcsinin derivaatta. Trigonometrisen identiteetin ( ) perusteella saamme. Ymmärtääksesi plus tai miinus, sinun on tarkasteltava kosiniarvojen aluetta. Koska kosini on 2. ja 4. kvadrantissa, käy ilmi, että kosini on positiivinen. Se käy ilmi. $sin(arcsin((x))=x$ $[sin(arcsin((x))]'=x'$ $cos(arcsin(x))\cdot (arcsin(x))'=1$ $(arcsin(x))'={\frac {1}{cos(arcsin(x))))$ $sin^{2}x+cos^{2}x=1$ $(arcsin(x))'={\frac {1}{\pm {\sqrt {1-sin^{2}(arcsin(x))))))}$ $D(cos(x))=[{\frac {\pi }{2);-{\frac {\pi }{2))]$ ${\displaystyle (arcsin(x))'={\frac {1}{\sqrt {1-sin^{2}(arcsin(x))))))$ $(arcsin(x))'={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2))))$
$\arccos {x}$	$-{\frac {1}{{\sqrt {1-x^{2))))}$	Todiste Voit löytää arkosiinin derivaatan käyttämällä tätä identiteettiä: Nyt löydämme tämän identiteetin molempien osien johdannaisen. Nyt ilmaisemme arkosiinin derivaatan. Se käy ilmi. $arcsin(x)+arccos(x)={\frac {\pi }{2))$ $[arcsin(x)+arccos(x)]'=({\frac {\pi }{2)))'$ $(arcsin(x))'+(arccos(x))'=0$ $(arccos(x))'=-(arcsin(x))'$ $(arccos(x))'=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2))))$
$\mathrm {arctg} \x$	${\displaystyle {\frac {1}{1+x^{2))))$	Todiste Löydät arktangentin derivaatan käyttämällä käänteisfunktiota: Nyt löydämme tämän identiteetin molempien osien derivaatan. Nyt meidän on ilmaistava arctangentin derivaatta: Nyt identiteetti ( ) tulee avuksemme : Osoittautuu. $tg(arctg(x))=x$ $[tg(arctg(x))]'=1$ ${\frac {1}{cos^{2}(arctg(x))))\cdot (arctg(x))'=1$ $(arctg(x))'=cos^{2}(arctg(x))$ ${\displaystyle cos(x)={\frac {1}{\sqrt {1+tg^{2}(x)))))$ ${\displaystyle (arctg(x))'=({\frac {1}{\sqrt {1+tg^{2}(arctg(x)))))^{2))$ ${\displaystyle (arctg(x))'={\frac {1}{1+x^{2))))$
$\mathrm {arcctg} \x$	${\displaystyle -{\frac {1}{1+x^{2))))$	Todiste Voit löytää käänteisen tangentin derivaatan käyttämällä tätä identiteettiä: Nyt löydämme tämän identiteetin molempien osien derivaatan. Nyt ilmaisemme käänteisen tangentin derivaatan. Se käy ilmi. $arctg(x)+arcctg(x)={\frac {\pi }{2))$ $[arctg(x)+arcctg(x)]'=({\frac {\pi }{2)))'$ $(arctg(x))'+(arctg(x))'=0$ $(arctg(x))'=-(arctg(x))'$ ${\displaystyle (arcctg(x))'=-{\frac {1}{1+x^{2))))$
$\mathrm {arcsec} \ x$	${\frac {1}{\|x\|{\sqrt {x^{2}-1))))$	Todiste Löydät kaarevan johdannaisen identiteetin avulla: $arcsec(x)=arccos({\frac {1}{x)))$ Nyt löydämme tämän identiteetin molempien osien johdannaisen. $(arcsec(x))'=(arccos({\frac {1}{x))))'$ $(arcsec(x))'=-{\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {1}{x^{2))))))\cdot (-{\frac {1 }{x^{2}}})$ $(arcsec(x))'={\frac {1}{x^{2}{\sqrt {\frac {x^{2}-1}{x^{2))))))))$ $(arcsec(x))'={\frac {1}{x^{2}{\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{\|x\|}}}}$ Se käy ilmi. $(arcsec(x))'={\frac {1}{\|x\|{\sqrt {x^{2}-1))))$
$\mathrm {arccosec} \ x$	$-{\frac {1}{\|x\|{\sqrt {x^{2}-1))))$	Todiste Voit löytää kaaren kosekantin derivaatan käyttämällä tätä identiteettiä: Nyt löydämme tämän identiteetin molempien osien derivaatan. Nyt ilmaisemme arkosiinin derivaatan. Se käy ilmi. $arccosec(x)+arcsec(x)={\frac {\pi }{2))$ $[arccosec(x)+arcsec(x)]'=({\frac {\pi }{2)))'$ $(arccosec(x))'+(arcsec(x))'=0$ $(arccosec(x))'=-(arcsec(x))'$ $(arccosec(x))'=-{\frac {1}{\|x\|{\sqrt {x^{2}-1))))$
$\mathrm {sh} \x$	$\mathrm {ch} \x$	Todiste $(\operaattorin nimi {sh} {x})'=\left({\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}\right)'={\frac {1} {2}}\cdot (e^{x}-e^{-x})'={\frac {1}{2}}\cdot (e^{x}-(-1)\cdot e^{ -x})={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}=\operaattorinimi {ch} {x}$
$\mathrm {ch} \x$	$\mathrm {sh} \x$	Todiste $(\operaattorinimi {ch} {x})'=\left({\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}\right)'={\frac {1} {2}}\cdot (e^{x}+e^{-x})'={\frac {1}{2}}\cdot (e^{x}+(-1)\cdot e^{ -x})=\left({\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}\right)=\operaattorinimi {sh} {x}$
$\mathrm {th} \x$	${\frac {1}{\mathrm {ch} ^{2}\ x))$	Todiste $(th(x))'=({\frac {sh(x)}{ch(x))))'={\frac {(sh(x))'\cdot ch(x)-sh (x)\cdot (ch(x))'}{ch^{2}(x)}}={\frac {ch(x)\cdot ch(x)-sh(x)\cdot sh(x) }{ch^{2}(x)}}={\frac {ch^{2}(x)-sh^{2}(x)}{ch^{2}(x)))={\frac {1}{ch^{2}(x)}}$
$\mathrm {cth} \x$	$-{\frac {1}{\mathrm {sh} ^{2}\ x))$	Todiste $(cthx)'=({\frac {ch(x)}{sh(x))))'={\frac {(ch(x))'\cdot sh(x)-ch(x) \cdot (sh(x))'}{sh^{2}(x)}}={\frac {sh(x)\cdot sh(x)-ch(x)\cdot ch(x)}{sh ^{2}(x)}}={\frac {sh^{2}(x)-ch^{2}(x)}{sh^{2}(x)))=-{\frac {1 }{sh^{2}(x)}}$
$\mathrm {sch} \x$	$-{\frac {\operaattorinnimi {sh} (x)}{\operaattorin nimi {ch} ^{2}(x)))$	Todiste $(sch(x))'=({\frac {1}{ch(x))))'={\frac {(1)'\cdot ch(x)-1\cdot (ch(x) ))'}{ch^{2}(x)}}=-{\frac {sh(x)}{ch^{2}(x)}}$
$\mathrm {csch} \x$	$-{\frac {\operaattorin nimi {ch} (x)}{\operaattorin nimi {sh} ^{2}(x)))$	Todiste $(csch(x))'=({\frac {1}{sh(x))))'={\frac {(1)'\cdot sh(x)-1\cdot (sh(x) ))'}{sh^{2}(x)}}=-{\frac {ch(x)}{sh^{2}(x)}}$
$\mathrm {arsh} \ x$	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1))))$	Todiste ${\displaystyle (arsh(x))'=(\ln {(x+{\sqrt {x^{2}+1)))})'={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{ 2}+1))))\cdot (x+{\sqrt {x^{2}+1)))'={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{2}+1))} }\cdot ((x)'+({\sqrt {x^{2}+1)))')={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{2}+1)))) \cdot (1+({\sqrt {x^{2}+1}})')={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{2}+1}}}}\cdot (1 +{\frac {1}{2{\sqrt {x^{2}+1))))\cdot (x^{2}+1)')={\frac {1}{x+{\sqrt { x^{2}+1))))\cdot (1+{\frac {2x}{2{\sqrt {x^{2}+1)))))={\frac {1}{x+{ \sqrt {x^{2}+1))))\cdot ({\frac {x+{\sqrt {x^{2}+1}}}{\sqrt {x^{2}+1}}} )={\frac {x+{\sqrt {x^{2}+1}}}{(x+{\sqrt {x^{2}+1}})\cdot ({\sqrt {x^{2} +1))))={\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1))))$
$\mathrm {arch} \ x$	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1))))$	Todiste ${\displaystyle (arch(x))'=(\ln {(x+{\sqrt {x^{2}-1)))})'={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{ 2}-1))))\cdot (x+{\sqrt {x^{2}-1)))'={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{2}-1))} }\cdot ((x)'+({\sqrt {x^{2}-1)))')={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{2}-1)))) \cdot (1+({\sqrt {x^{2}-1}})')={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{2}-1}}}}\cdot (1 +{\frac {1}{2{\sqrt {x^{2}-1))))\cdot (x^{2}-1)')={\frac {1}{x+{\sqrt { x^{2}-1))))\cdot (1+{\frac {2x}{2{\sqrt {x^{2}-1)))))={\frac {1}{x+{ \sqrt {x^{2}-1))))\cdot ({\frac {x+{\sqrt {x^{2}-1}}}{\sqrt {x^{2}-1}}} )={\frac {x+{\sqrt {x^{2}-1}}}{(x+{\sqrt {x^{2}-1}})\cdot ({\sqrt {x^{2} -1)))))={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1))))$
$\mathrm {arth} \ x$	${\displaystyle {\frac {1}{1-x^{2))))$	Todiste $({\displaystyle \mathrm {arth} \ x})'={\biggl (}{\frac {1}{2))\cdot \ln {\biggl (}{\frac {1+x} {1-x}}{\biggl )}{\biggl )}'={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1-x}{1+x}}\cdot {\biggl ( }{\frac {1+x}{1-x}}{\biggl )}'={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1-x}{1+x}}\cdot {\frac {(1+x)'(1-x)-(1+x)(1-x)'}{(1-x)^{2))}={\frac {1}{2} }\cdot {\frac {1-x}{1+x}}\cdot {\frac {2}{(1-x)^{2}}}={\frac {1}{1-x^{ 2}}}$
$\mathrm {arcth} \x$	${\displaystyle {\frac {1}{1-x^{2))))$	Todiste $({\displaystyle \mathrm {arcth} \ x})'={\biggl (}{\frac {1}{2))\cdot \ln {\biggl (}{\frac {x+1} {x-1}}{\biggl )}{\biggl )}'={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {x-1}{x+1}}\cdot {\biggl ( }{\frac {x+1}{x-1}}{\biggl )}'={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {x-1}{x+1}}\cdot {\frac {(x+1)'(x-1)-(x+1)(x-1)'}{(x-1)^{2))}={\frac {1}{2} }\cdot {\frac {x-1}{x+1}}\cdot {\frac {-2}{(x-1)^{2}}}={\frac {1}{1-x^ {2}}}$
$\mathrm {arsech} \x$	${\displaystyle -{\frac {1}{x(x+1){\sqrt {\frac {1-x}{1+x)))))))$
$\mathrm {arcsch} \ x$	${\displaystyle -{\frac {1}{x(x+1){\sqrt {1+{\frac {1}{x^{2))))))))))$

Vektorifunktion johdannainen suhteessa parametriin

Määritellään vektorifunktion derivaatta parametrin suhteen: ${\mathbf {r}}(t)$

{\frac {d}{dt}}{\mathbf {r}}(t)=\lim _{{h\to 0}}{\frac {{\mathbf {r}}(t+h)-{ \mathbf {r}}(t)}{h}}

Jos derivaatta on olemassa pisteessä, vektorifunktion sanotaan olevan differentioituva tässä pisteessä. Derivaatan koordinaattifunktiot ovat . $t$ $x'(t),\y'(t),\z'(t)$

Vektorifunktion derivaatan ominaisuudet (kaikkialla oletetaan, että derivaattoja on olemassa):

${\frac {d}{dt))({\mathbf {r_{1))}(t)+{\mathbf {r_{2))}(t))={\frac {d{\mathbf {r_ {1}}}(t)}{dt}}+{\frac {d{\mathbf {r_{2}}}(t)}{dt}}$ Summan derivaatta on johdannaisten summa.
${\frac {d}{dt}}(f(t){\mathbf {r}}(t))={\frac {df(t)}{dt}}{\mathbf {r}}(t) +f(t){\frac {d{\mathbf {r}}(t)}{dt}}$ — tässä on differentioituva skalaarifunktio . $f(t)$
${\frac {d}{dt))({\mathbf {r_{1))}(t){\mathbf {r_{2))}(t))={\frac {d{\mathbf {r_{ 1}}}(t)}{dt}}{\mathbf {r_{2}}}(t)+{\mathbf {r_{1}}}(t){\frac {d{\mathbf {r_{ 2}}}(t)}{dt}}$ - skalaaritulon eriyttäminen .
${\frac {d}{dt}}[\mathbf {r_{1}} (t),\mathbf {r_{2}} (t)]=\left[{\frac {d\mathbf { r_{1}} (t)}{dt}},\mathbf {r_{2}} (t)\oikea]+\vasen[\mathbf {r_{1}} (t),{\frac {d\ mathbf {r_{2}} (t)}{dt}}\right]$ — vektorituotteen eriyttäminen .
${\frac {d}{dt}}({\mathbf {a}}(t),{\mathbf {b}}(t),{\mathbf {c}}(t))=\left({\ frac {d{\mathbf {a}}(t)}{dt}},{\mathbf {b}}(t),{\mathbf {c}}(t)\right)+\left({\mathbf {a}}(t),{\frac {d{\mathbf {b}}(t)}{dt}},{\mathbf {c}}(t)\oikea)+\vasen({\mathbf { a}}(t),{\mathbf {b}}(t),{\frac {d{\mathbf {c}}(t)}{dt}}\oikea)$ on sekatuotteen eriyttäminen .

Johdannaisten asetustapoja

Jacksonin johdannainen [5] :

D_{{x}}^{{q}}f(x)={\frac {f(qx)-f(x)}{(q-1)x}}.

Muunnelmia ja yleistyksiä

Johdannaisten yleistykset

Katso myös

Muistiinpanot

↑ Kolmogorov A. N. , Abramov A. M. , Dudnitsyn Yu. P. Algebra ja analyysin alku. Oppikirja lukion 10-11 luokalle. - M., Education, 1994. - ISBN 5-09-006088-6 . - C. 155-156
↑ Komkov G.D. , Levshin B.V., Semenov L.K. Neuvostoliiton tiedeakatemia. Lyhyt historiallinen essee (kaksi osaa). - 2. painos - M .: Tiede , 1977. - T. 1. 1724-1917. - S. 173.
↑ Summan derivaatta on yhtä suuri kuin derivaattojen summa
↑ Tästä seuraa erityisesti, että funktion ja vakion tulon derivaatta on yhtä suuri kuin tämän funktion derivaatan ja vakion tulo
↑ AI Olemskoi, SS Borysov,a ja IA Shuda. Tilastolliset kenttäteoriat ovat vääristyneet eri laskuissa . Haettu 21. huhtikuuta 2014. Arkistoitu alkuperäisestä 21. syyskuuta 2017. (määrätön)

Kirjallisuus

Vilenkin N., Mordkovich A. Mikä on johdannainen // Kvant. - 1975. - Nro 12 .
V. G. Boltyansky , Mitä on eriyttäminen?, " Suosittuja matematiikan luentoja ", numero 17, Gostekhizdat 1955, 64 s.
V. A. Gusev , A. G. Mordkovich "Matematiikka"
G. M. Fikhtengolts "Differentiaali- ja integraalilaskennan kurssi ", osa 1
V. M. Borodikhin , Korkeampi matematiikka , oppikirja. käsikirja, ISBN 5-7782-0422-1

Linkit

Sanakirjat ja tietosanakirjat	Suuri tanskalainen Hienoa norjalaista Iso venäläinen maailman ympäri Britannica (verkossa) Treccani
Bibliografisissa luetteloissa	GND : 4233840-2 J9U : 987007574837105171 LCCN : sh2011005437 NDL : 00560650 NKC : ph137564