Yksinkertainen moduuli

Rengasteoriassa yksinkertainen moduuli (kutsutaan myös "pelkistymättömäksi moduuliksi") renkaan R päällä on R :n päällä  oleva moduuli , jolla ei ole nollasta poikkeavia oikeita alimoduuleja . Vastaavasti moduuli on yksinkertainen, jos ja vain jos mikä tahansa sen yhden elementin (nollasta poikkeava elementti) generoima syklinen moduuli osuu yhteen koko moduulin kanssa. Yksinkertaiset moduulit muodostavat äärellisen pituisia moduuleja , tässä mielessä ne ovat samanlaisia ​​kuin yksinkertaiset ryhmät .

Esimerkkejä

• Yksinkertainen Z -moduuli on Abelin ryhmä , jolla ei ole aliryhmiä, eli ryhmä, jonka alkuluku on Z p .
• Renkaan R ideaali I on yksinkertainen moduulina tämän renkaan päällä silloin ja vain, jos tämä ideaali on minimaalinen (ei sisällä muita ihanteita kuin nolla). Näin ollen tekijärengas R/I on yksinkertainen silloin ja vain, jos ideaali I on maksimaalinen .
• Mikä tahansa yksinkertainen R -moduuli on isomorfinen tekijämoduulin R/m kanssa, missä m on jokin renkaan R maksimiideaali . [1] Todellakin, yksinkertainen moduuli generoidaan nollasta poikkeavalla elementillä x , eli on olemassa surjektiivinen homomorfismi R → M , joka lähettää r :n rx :lle . Tämän homomorfismin ydin on ideaali renkaassa R , jää soveltaa homomorfismilausetta. Edellinen ominaisuus osoittaa, että tämä ihanne on maksimaalinen.
• Jos k  on kenttä ja G  on ryhmä, niin tämän ryhmän esitykset ovat täsmälleen vasenta moduuleja ryhmärenkaan k [ G ] päällä. Tässä yhteydessä yksinkertaisia ​​moduuleja kutsutaan redusoitumattomiksi esityksiksi . Edustusteorian päätavoitteena on kuvata  ryhmän kaikki redusoitumattomat esitykset.

Ominaisuudet

Jokainen alkumoduuli on hajoamaton , päinvastoin ei yleensä pidä paikkaansa. Myös yksinkertainen moduuli on syklinen .

Olkoon M ja N  moduuleja saman renkaan päällä ja f  : M → N  moduulihomomorfismi. Jos M on yksinkertainen, niin f on joko nolla tai injektiivinen . Itse asiassa homomorfismin ytimen täytyy olla alimoduuli. Jos N on myös yksinkertainen, niin f on joko nolla tai isomorfismi. Siksi alkumoduulin endomorfismirengas on jakorengas . Tämä tulos tunnetaan nimellä Schurin lemma .

Jacobsonin tiheyslause

Yksinkertaisten moduulien teorian tärkeä saavutus on Jacobsonin tiheyslause (1945). Hän väittää sen

Olkoon U yksinkertainen R-moduuli ja D = Loppu R (U). Olkoon A mielivaltainen D-lineaarinen operaattori U:lla ja X äärellinen D-lineaarisesti riippumaton U:n osajoukko. Silloin on olemassa renkaan R alkio r siten, että x A = x r kaikille X:n x:ille. [2]

Toisin sanoen mikä tahansa nollasta poikkeava yksinkertainen rengas, jolla on minimaaliset oikeat ihanteet, on isomorfinen jonkin kappaleen yläpuolella olevan vektoriavaruuden rajallisen lineaarimuunnosten tiheän renkaan kanssa [3] .

Erityisesti mitä tahansa primitiivistä rengasta voidaan pitää D -lineaaristen operaattorien renkaana jossain avaruudessa.

Tiheysteoreema viittaa Wedderburnin lauseeseen, jonka mukaan oikea artinilainen yksinkertainen rengas on isomorfinen n x n -matriisirenkaan kanssa jakorenkaan päällä . Se on myös seurausta Artin-Wedderburn-lauseesta , että puoliyksinkertaiset renkaat ovat isomorfisia matriisirenkaiden tulolle.

Katso myös

• Puoliyksinkertaiset moduulit  ovat moduuleja, jotka voidaan hajottaa yksinkertaisten moduulien suoraksi summaksi.

Muistiinpanot

1. ↑ Herstein, Ei-kommutatiivinen rengasteoria , Lemma 1.1.3
2. ↑ Isaacs, Lause 13.14, s. 185
3. ↑ Kurosh, 1973 , s. 251.

• Hersteinissa. Ei- kommutatiiviset renkaat  (neopr.) . – 1. painos. - The Mathematical Association of America, 1968. - ISBN 0-88385-015-X .
• I. Martin Isaacs. Algebra, jatkokurssi  (neopr.) . – 1. painos. — Brooks/Cole Publishing Company, 1993. — ISBN 0-534-19002-2 .

Kirjallisuus

• Kurosh A. G. Luennot yleisalgebrasta. - M .: Nauka, 1973. - 393 s.