Tasa-arvo (matematiikka)

  0 yksi 2 3 neljä 5 6 7 kahdeksan 9
0 • × × × × × × × × ×
yksi × • × × × × × × × ×
2 × × • × × × × × × ×
3 × × × • × × × × × ×
neljä × × × × • × × × × ×
5 × × × × × • × × × ×
6 × × × × × × • × × ×
7 × × × × × × × • × ×
kahdeksan × × × × × × × × • ×
9 × × × × × × × × × •
Desimaalilukujen yhtäläisyys binäärirelaationa: • tosi, × epätosi

Tasa -arvo (tasa-arvosuhde) on  matematiikassa binäärirelaatio , loogisesti vahvin ekvivalenssirelaation laji .

Tasa-arvon määritelmät

Tasa-arvo on intuitiivinen suhde: kahden ilmaisun merkitys on sama . Sen muodollisessa määritelmässä on epäjohdonmukaisuutta.

Joukkoteoria määritelmän mukaan pitää kahta objektia (eli kahta joukkoa ) samanarvoisina, jos ne koostuvat samoista alkioista:

Oliotyypityksen teorioissa tasa-arvosuhteella on järkeä vain samantyyppisten elementtien välillä (eli tietyn joukon sisällä). Logistit (ensin Fregen predikaattilogiikassa , sitten tyyppiteoriassa) luottivat yhtäläisyyden määritelmään, joka on samanlainen kuin joukkoteoreettinen, mutta pohtii suhteita eri näkökulmasta:

Toisin sanoen kahden objektin yhtäläisyydelle on välttämätöntä ja riittävää , että mikä tahansa predikaatti , joka voidaan rakentaa tietylle tyypille, antaa niille saman loogisen arvon. Logistit eivät kuitenkaan keksineet tätä määritelmää - sen tiesi jopa Leibniz .

Jotkut muodolliset teoriat kiertävät tasa-arvon määritelmää pitäen sitä alun perin annettuna ekvivalenssisuhteena.

Aiheeseen liittyvät määritelmät

Muodollinen määritelmä ja tasa-arvon intuitiivinen ymmärrys ovat joskus ristiriidassa. Onko (kokonais)luku 1 yhtä kuin (reaali)luku ? Intuition näkökulmasta kyllä, mutta tyyppiteorian näkökulmasta kysymys on asetettu väärin (vrt. ohjelmoinnin tyyppivalun ongelma). Matematiikassa tällaisissa tapauksissa tarkoitetaan yhden joukon (avaruuden, tyypin) kanonista upottamista toiseen, suurempaan. Kysymys kokonaisluvun yhtäläisyydestä reaaliluvun kanssa voidaan ymmärtää varsinaisen reaaliluvun ja kokonaisuuttamme vastaavan toisen reaaliluvun yhtäläisyydeksi . Toisin sanoen intuitiivisesti "ilmeisten" tosiasioiden, kuten jokainen kokonaisluku on rationaalinen ja rationaalinen on todellinen, kanssa työskentely vaatii erityisiä varauksia joidenkin muodollisten lähestymistapojen puitteissa.

Yhtälö on yhtälön avulla  muodostettu looginen lause , joka sisältää muuttujan . Se määrittää muuttujan aihealueen osajoukon - yhtälön juurijoukon.

Suuren tai muuttujan määritelmä kirjoitetaan yhtälöllä: Olkoon muuttuja yhtä suuri kuin lauseke.

Identiteetti  on väite, joka on totta kaikille muuttujien arvoille. Se on usein (vaikkakaan ei välttämättä) rakennettu tasa-arvosuhteen pohjalle.

Katso myös