Krullin ulottuvuus

Krull-ulottuvuus on kommutatiivisten renkaiden numeerinen ominaisuus , joka on tietyn renkaan sisäkkäisten alkuideaalien ketjun suurin pituus . Ei välttämättä äärellinen edes Noetherin renkaille .

Krull-dimensio mahdollistaa puhtaasti algebrallisen määritelmän algebrallisen muunnelman dimensiolle: polynomirenkaan ideaalin antama affiinin algebrallisen muunnelman ulottuvuus on osamäärärenkaan Krull-ulottuvuus . $minä$ $R$ $R/I$

Määritelmä

Muodon tärkeimpien ihanteiden ketjun pituus:

{\mathfrak {p}}_{0}\subsetneq {\mathfrak {p}}_{1}\subsetneq \ldots \subsetneq {\mathfrak {p}}_{n}

otetaan muodossa , eli otetaan huomioon tiukkojen inkluusioiden lukumäärä, ei ihanteiden määrää. Renkaan Krull-ulottuvuus on suurin pituus yli kaikkien tärkeimpien ihanteiden ketjujen joukon . $n$ $R$ $R$

Alkuideaalille voidaan määrittää sen koodiulottuvuus (kutsutaan myös korkeudeksi tai arvoksi), jota kutsutaan muodon alkuideaalien ketjun enimmäispituudeksi . $\mathfrak{p}$ $\operaattorinnimi{codim}(\mathfrak{p})$ $\mathfrak{p}_0\subsetneq \mathfrak{p}_1\subsetneq \ldots \subsetneq \mathfrak{p}_n\subseteq \mathfrak{p}$

Esimerkkejä

Mielivaltaisen kentän ulottuvuus on nolla, yleisemmin polynomien renkaan k [ x 1 , …, x n ] ulottuvuus on yhtä suuri kuin n . Lisäksi, jos R on Noetherin rengas , jonka mitta on yhtä suuri kuin n , niin renkaan R [ x ] ulottuvuus on yhtä suuri kuin n + 1. Ilman Noetherin hypoteesia R [ x ]:n ulottuvuus voi vaihdella välillä n +1 - 2 n +1.
Minkä tahansa pääideaalirenkaan mitta on 1.
Integraalirengas on kenttä silloin ja vain, jos sen mitta on nolla. Dedekind-renkailla , jotka eivät ole kenttiä, on mitat 1.
Noetherian rengas on artinilainen , jos ja vain jos sen ulottuvuus on nolla.
Renkaan kokonaislukujatkeella on sama mitta kuin alkuperäisellä renkaalla.
Renkaan R Krull-ulottuvuus on yhtä suuri kuin sen spektrin dimensio topologisena avaruudena, eli redusoitumattomien suljettujen osajoukkojen ketjun maksimipituus.

Moduulin mitta

Jos R on kommutatiivinen rengas ja M on R - moduuli, niin moduulin annihilaattori määrittää M :n Krull-ulottuvuuden osamäärärenkaan Krull-ulottuvuudeksi:

\operaattorinnimi{dim}_R M := \operaattorinnimi{dim}( R/\operaattorinnimi{Ann}_R(M))

missä Ann R ( M ) on luonnollisen kuvauksen R → End R (M) ydin (liittäen renkaan elementtiin kertomisen tällä alkiolla).

Ihanteellinen korkeus

Kommutatiivisen renkaan alkuideaalin korkeus on : n sisältämien alkuideaalien ketjujen korkeus . Esimerkiksi alkuideaalin korkeus, joka ei sisällä muita alkuideaaleja, on 0. Renkaan Krull-ulottuvuus voidaan määritellä korkeuden summaksi alkuideaalien joukon yli. $\mathfrak s$ $R$ $\mathfrak s$ $R$

Noetherin kommutatiivisen renkaan tapauksessa Krullin lauseen mukaan n elementin synnyttämän ideaalin korkeus ei ylitä n .

Korkeuden määritelmää voidaan laajentaa mielivaltaisiin ihanteisiin määrittämällä ihanteen korkeus tietyn ihanteen sisältävien pääideaalien korkeuksien minimiksi.

Katso myös

Kirjallisuus

Atiyah M., McDonald I. Johdatus kommutatiiviseen algebraan. - Factorial Press, 2003 - ISBN 5-88688-067-4 .
Irving Kaplansky , Commutative rings (tarkistettu painos), University of Chicago Press, 1974, ISBN 0-226-42454-5 . Sivu 32.
Eisenbud, David (1995), Kommutatiivinen algebra näkökulmasta algebralliseen geometriaan , voi. 150, Graduate Texts in Mathematics, Berliini, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94268-1

Tilan mitat
Tilat mittojen mukaan	Nollaulotteinen yksiulotteinen 2D 3D neliulotteinen viisiulotteinen Kuusiulotteinen Seitsemänulotteinen oktaali Yhdeksänulotteinen n-ulotteinen Negatiivinen ulottuvuus
Polytoopit ja hahmot	Yksinkertainen hyperkuutio tesserakti Hypersuorakulmio (ortotooppi) Puolihyperkuutio Cross-polytooppi hypersfääri
Tilojen tyypit	äärellisulotteinen avaruus Euklidinen avaruus affinista tilaa projektiivinen tila Ilmainen moduuli Jakotukki Algebrallisen muuttujan ulottuvuus aika-avaruus
Muut ulottuvuuskäsitteet	Krullin ulottuvuus Lebesguen ulottuvuus Induktiivinen ulottuvuus Murtoluku ( Minkowskin ulottuvuus , Hausdorffin ulottuvuus ) fraktaali ulottuvuus Vapauden asteet
Matematiikka