Ryhmän laajennus

Ryhmälaajennus on ryhmä , joka sisältää annetun ryhmän normaalina alaryhmänä . Laajennustehtävässä yleensä annetaan normaali aliryhmä ja osamääräryhmä ja haetaan laajennusta siten, että , tai vastaavasti, on olemassa lyhyt tarkka sekvenssi : $N$ $K$ $G\supset N$ $G/N\cong Q$ $G$

1\to N\to G\to Q\to 1

Tässä tapauksessa sen sanotaan olevan jatke [ 1] (joskus käytetään toista muotoilua: ryhmä on laajennus [2] [3] ). $G$ $K$ $N$ $G$ $N$ $K$

Laajennusta kutsutaan keskuslaajennukseksi , jos alaryhmä sijaitsee ryhmän keskellä . $N$ $G$

Esimerkkejä

Ryhmät ovat myös laajennuksia . $\mathbb {Z} _{4}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2))$ ${\mathbb {Z}}_{2}$ ${\mathbb {Z}}_{2}$

Ilmeinen laajennus on suora tulo : if , niin on sekä jatke että . If on puolisuora tulo ryhmistä ja ( ), niin on laajennus . $G=K\times H$ $G$ $H$ $K$ $G$ $K$ $H$ $G=K\rtimes H$ $G$ $H$ $K$

Ryhmien seppeletuotteet antavat lisää esimerkkejä jatkeista.

Ominaisuudet

Jos vaadimme sitä ja ovat Abelin ryhmät , niin ryhmän laajennuksen isomorfismiluokkien joukko tietyllä (Abelin) ryhmällä on itse asiassa ryhmä, joka on isomorfinen : $G$ $K$ $K$ $N$

\operaattorin nimi {Ext} _{\mathbb {Z} }^{1}(Q,N)

( Ext Functor ). Muutamia muita yleisiä laajennusluokkia tunnetaan, mutta ei ole olemassa teoriaa, joka ottaisi huomioon kaikki mahdolliset laajennukset samanaikaisesti, tässä mielessä ryhmälaajennusongelmaa pidetään yleensä vaikeana.

Koska jokaisella äärellisellä ryhmällä on maksimaalinen normaali aliryhmä , jossa on yksinkertainen tekijäryhmä , kaikki äärelliset ryhmät voidaan muodostaa kokoonpanosarjaksi , jossa jokainen ryhmä on jonkin yksinkertaisen ryhmän jatke . Tästä tosiasiasta on tullut yksi tärkeimmistä kannustimista yksinkertaisten äärellisten ryhmien luokitteluongelman ratkaisemisessa . $G$ $N$ $G/N$ $\{A_{i}\}$ $A_{{i+1}}$ $A_{i}$

Laajennusten luokitus

Laajennusongelman ratkaiseminen tarkoittaa ryhmän kaikkien laajennuksien luokittelua tai tarkemmin sanottuna kaikkien sellaisten laajennusten ilmaisemista matemaattisilla kokonaisuuksilla, jotka ovat jossain mielessä yksinkertaisempia (helppo laskea tai hyvin ymmärrettäviä). Yleensä tämä tehtävä on erittäin vaikea, ja kaikki hyödyllisimmät tulokset luokittelevat laajennukset, jotka täyttävät joitain lisäehtoja. $H$ $K$

Luokitteluongelman kannalta tärkeä käsite on laajennusten ekvivalenssi; laajennusten sanotaan olevan:

1\to K{\stackrel {i}{{}\to {}}}G{\stackrel {\pi }{{}\to {}}}H\to 1

1\to K{\stackrel {i'}{{}\to {}}}G'{\stackrel {\pi '}{{}\to {}}}H\to 1

ovat ekvivalentteja (tai kongruentteja), jos on olemassa ryhmäisomorfismi, joka tekeekaaviosta kommutatiivisen : $T:G\to G'$

Itse asiassa riittää, että on homomorfismiryhmä. Kaavion oletetun kommutatiivisuuden vuoksi kartoitus pakotetaan isomorfiksi viiden homomorfismin lyhyt lemma .

Saattaa käydä niin, että jatteet ja eivät ole ekvivalentteja, vaan ovat isomorfisia ryhminä. Esimerkiksi Kleinin nelinkertaisryhmässä on ei-ekvivalentteja laajennuksia käyttäen [4] , mutta isomorfismiin asti on vain neljä luokkaa 8 olevaa ryhmää, jotka sisältävät normaalin kertaluvun alaryhmän , jonka osamääräryhmä on isomorfinen Kleinin nelinkertaisen ryhmän kanssa . $1\to K\to G\to H\to 1$ $1\to K\to G^{\prime }\to H\to 1$ $G$ $G'$ $kahdeksan$ ${\mathbb {Z}}/2{\mathbb {Z}}$ $2$

Triviaaliset laajennukset

Triviaali laajennus on laajennus:

1\to K\to G\to H\to 1

joka vastaa laajennusta:

1\to K\to K\times H\to H\to 1

jossa vasen ja oikea nuoli ovat kunkin tekijän sisällyttäminen ja projektio , vastaavasti . $K\times H$

Jaettujen laajennusten luokitukset

Jaettu laajennus on laajennus:

1\to K\to G\to H\to 1

jolla on homomorfismi siten, että siirtyminen kohdasta toiseen ja sitten takaisin kohtaan lyhyen tarkan sekvenssin tekijäkartoituksen avulla generoi identiteettikartoituksen kohdassa , eli . Tässä tilanteessa yleensä sanotaan, että se jakaa yllä olevan tarkan sekvenssin . $s\colon H\to G$ $H$ $G$ $s$ $H$ $H$ $\pi \circ s=\mathrm {id} _{H}$ $s$

Jaetut laajennukset on erittäin helppo luokitella, koska laajennus jaetaan silloin ja vain, jos ryhmä on ja puolisuora tulo . Semidirect tuotteet ovat itsessään helppoja luokitella, koska ne vastaavat yksitellen homomorfismeja , missä on automorfismiryhmä . $G$ $K$ $H$ $H\to \operaattorin nimi {Aut} (K)$ $\operaattorin nimi {Aut} (K)$ $K$

Keskuslaajennus

Ryhmän keskeinen laajennus on lyhyt tarkka ryhmien $G$

1\to A\to E\to G\to 1

sellainen, joka sijaitsee ( ryhmän keskellä ). Keskusryhmän laajennuksien isomorfismiluokkien joukko (jossa toimii triviaalisti ) on yksi yhteen vastaavuus kohomologiaryhmän kanssa . $A$ $Z(E)$ $E$ $G$ $A$ $G$ $A$ $H^{2}(G,A)$

Esimerkkejä keskuslaajennuksista voidaan rakentaa ottamalla mikä tahansa ryhmä ja mikä tahansa Abelin ryhmä , asettamalla yhtä suuri kuin . Tällainen jaettu esimerkki (jaettu laajennus laajennusongelman merkityksessä, koska se on alaryhmä ) on vähän kiinnostava, koska se vastaa elementtiä yllä olevan vastaavuuden mukaan. Vakavampia esimerkkejä löytyy projektiivisten esitysten teoriasta tapauksissa, joissa projektitiivisia esityksiä ei voida nostaa tavallisiin lineaarisiin esityksiin . $G$ $A$ $E$ $A\times G$ $G$ $E$ $0$ $H^{2}(G,A)$

Äärillisten täydellisten ryhmien tapauksessa on olemassa universaali täydellinen keskuslaajennus .

Samoin Lie-algebran keskuslaajennus on tarkka sekvenssi $\mathfrak{g}$

0\rightarrow {\mathfrak {a}}\rightarrow {\mathfrak {e}}\rightarrow {\mathfrak {g}}\rightarrow 0,

joka on keskellä . $\mathfrak{a}$ ${\mathfrak {e))$

Maltsev-lajikkeiden keskeisistä laajennuksista on yleinen teoria [5] .

Valheryhmät

Lie - ryhmäteoriassa keskeiset laajennukset syntyvät algebrallisen topologian yhteydessä . Karkeasti ottaen Lie-ryhmien keskeiset laajennukset diskreettien ryhmien mukaan ovat samat kuin peittävät ryhmät . Tarkemmin sanottuna yhdistetyn Lie-ryhmän yhdistetty peittotila on ryhmän luonnollinen keskusjatke projektion kanssa ${\displaystyle G^{\ast ))$ $G$ $G$

\pi \colon G^{*}\to G

on homomorfismiryhmä ja on surjektiivinen. (Ryhmän rakenne riippuu valinnasta yhdistää identiteettielementti identiteettielementtiin .) Esimerkiksi kun ryhmän universaali kansi on , ydin on ryhmän perusryhmä , jonka tiedetään olevan Abelin ( H-välilyönti ). Kääntäen, jos Lie-ryhmä ja diskreetti keskusaliryhmä annetaan , osamääräryhmä on Lie-ryhmä ja on sen peittävä avaruus. $G^{\star }$ $G$ $G^{\star }$ $G$ $\pi$ $G$ $G$ $Z$ $G/Z$ $G$

Yleisemmin ottaen, jos ryhmät ja keskilaajennuksessa ovat Lie-ryhmiä ja niiden väliset kuvaukset ovat Lie-ryhmän homomorfismeja, niin jos ryhmän Lie-algebra on , algebra on ja algebra on , niin on ryhmän keskuslaajennus. the Lie algebra by . Teoreettisen fysiikan terminologiassa algebrageneraattoreita kutsutaan keskusvarauksiksi . Nämä generaattorit sijaitsevat algebran keskellä . Noetherin lauseen mukaan symmetriaryhmien generaattorit vastaavat säilyneitä suureita ja niitä kutsutaan varauksiksi . $A$ $E$ $G$ $G$ $\mathfrak g$ $A$ ${\mathfrak a}$ $E$ ${\mathfrak {e))$ ${\mathfrak {e))$ $\mathfrak g$ $\mathbf {a}$ ${\mathfrak a}$ ${\mathfrak {e))$

Perusesimerkkejä keskuslaajennuksista kattavina ryhminä:

spinoriryhmät , jotka kahdesti kattavat erityiset ortogonaaliset ryhmät , jotka (parillisissa ulottuvuuksissa) kaksinkertaisesti peittävät projektiivisen ortogonaalisen ryhmän ;
metaplektiset ryhmät , jotka kattavat symplektiset ryhmät kahdesti .

Tapaus koskee perusryhmää, joka on ääretön syklinen ryhmä ; tässä keskuslaajennus tunnetaan hyvin modulaaristen muotojen teoriasta painoisten muotojen tapauksessa . Vastaava projektiivinen esitys on Weyl-esitys , joka on muodostettu Fourier-muunnoksesta , tässä tapauksessa reaaliakselilla . Metaplektisia ryhmiä esiintyy myös kvanttimekaniikassa . $SL_{2}(\mathbf {R} )$ ${\tfrac {1}{2))$

Katso myös

Lie Algebra Extension
Soiton jatke
Algebra Virasoro
HNN-laajennus
Topologisen ryhmän laajennus

Muistiinpanot

↑ Yleisalgebrassa rakenteen laajennuksen oletetaan yleensä olevan rakenne , jossa on alirakenne, joten erityisesti määritellään kenttälaajennus ; mutta ryhmäteoriassa (mahdollisesti merkinnästä johtuen ) on vakiinnutettu erilainen terminologia, eikä painopiste ole , vaan osamääräryhmässä , joten sitä uskotaan laajentavan :n avulla . $K$ $järkyttynyt K$ $K$ ${\näyttötyyli \operaattorin nimi {Ext} (Q,N)}$ $N\subset G$ $K$ $K$ $N$
↑ Huomautus 2.2. . Haettu 15. maaliskuuta 2019. Arkistoitu alkuperäisestä 26. toukokuuta 2019. (määrätön)
↑ Brown, Porter, 1996 , s. 213-227.
↑ Dummit, Foote, 2004 , s. 830.
↑ Janelidze, Kelly, 2000 .

Kirjallisuus

David S. Dummit, Richard M. Foote. abstrakti algebra. - kolmas painos. - Hoboken, NJ: John Wiley & Sons, Inc., 2004. - ISBN 0-471-43334-9 .
McLane S. Homology. - M .: Mir, 1966.
Taylor RL Yhteenliittämättömien topologisten ryhmien kattaminen // Proceedings of the American Mathematical Society. - 1954. - T. 5 . — S. 753–768 .
Brown R., Mucuk O. Ei-liittyneiden topologisten ryhmien ryhmiä, jotka on tarkasteltu uudelleen // Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. - 1994. - T. 115 . — s. 97–110 .
Brown R., Porter T. Ei-Abelin laajennusten Schreier-teoriasta: yleistykset ja laskelmat // Proceedings of the Royal Irish Academy. - 1996. - T. 96A . — S. 213–227 .
Janelidze G., Kelly GM Keskilaajennukset Malt'sev-lajikkeissa // Kategorioiden teoria ja sovellukset. - 2000. - T. 7 . — S. 219–226 .
Morandi PJ Group Extensions ja $H^{3}$ .
Ryhmälaajennukset . Ryhmänimet . Käyttöönottopäivä: 14.6.2019. (määrätön)