Ilmainen abelin ryhmä

Matematiikassa vapaa Abelin ryhmä ( vapaa Z-moduuli ) on Abelin ryhmä , jolla on perusta , eli sellainen ryhmän elementtien osajoukko, että mille tahansa sen elementille on ainutlaatuinen esitysmuoto peruselementtien lineaarinen yhdistelmä kokonaislukukertoimilla , joista vain äärellinen määrä on nollasta poikkeava. Vapaan Abelin ryhmän elementtejä, joiden kanta on B , kutsutaan myös B:n muodollisiksi summiksi . Vapaita Abelin ryhmiä ja muodollisia summia käytetään algebrallisessa topologiassa ketjuryhmien määrittelyssä ja algebrallisessa geometriassa jakajien määrittelyssä .

Kuten vektoriavaruudet , vapaat Abelin ryhmät luokitellaan perustan kardinaalisuuden mukaan ; tämä kardinaalisuus on riippumaton perustan valinnasta ja sitä kutsutaan ryhmän arvoksi . [1] [2]

Esimerkki ja vastaesimerkki

Ryhmä , äärettömän syklisen ryhmän kahden kopion suora summa , on vapaa Abelin ryhmä, jonka arvo on 2, koska sillä on perusta , missä ja . Ryhmän mielivaltainen elementti esitetään yksiselitteisesti niiden lineaarisena yhdistelmänä: . Yleisesti ottaen vapaa Abelin ryhmä on mikä tahansa hila kohdassa [3] ${\displaystyle G=\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} \simeq \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} =\mathbb {Z} ^{2))$ $\mathbb {Z}$ $B=\lbrace e_{1},e_{2}\rbrace$ $e_{1}=(1,0)$ $e_{2}=(0,1)$ ${\näyttötyyli (n,m)}$ $G$ ${\displaystyle (n,m)=ne_{1}+me_{2))$ ${\mathbb R}^{n}.$
Mikään rajallinen Abelin ryhmä , paitsi triviaali , ei ole vapaa (koska vapaalla Abelin ryhmällä ei ole vääntöä ).

Muodolliset summat

Mille tahansa joukolle voit määrittää ryhmän, jonka elementit ovat funktioita luvusta kokonaislukujen joukkoon, ja sulkumerkit osoittavat, että kaikki funktiot ottavat nollasta poikkeavia arvoja korkeintaan äärellisessä joukossa. Funktioiden summaus määritellään pisteittäin: tämän summauksen suhteen se muodostaa vapaan Abelin ryhmän, jonka kanta on yksi yhteen vastaavuus joukon kanssa . kantafunktioidenlineaarinenäärellinen $B$ ${\mathbb Z}^{{(B))),$ $B$ ${\mathbb Z},$ ${\näyttötyyli (f+g)(x)=f(x)+g(x),}$ ${\mathbb Z}^{{(B)))$ $b.$ $x$ $B$ $e_{x},$ $e_{x}(x)=1,$ $e_{x}(y)=0$ $y$ $b,$ $y\neq x.$ $f$ ${\mathbb Z}^{{(B)))$

f=\sum _{{\{x\mid f(x)\neq 0\))}f(x)e_{x}

Ryhmä , jolla on perusta, on ainutlaatuinen isomorfismiin asti; sen elementtejä kutsutaan muodollisiksi elementtien summiksi ${\mathbb Z}^{{(B)))$ $\{e_{x}\}_{x\in B}$ $b.$

Ominaisuudet

Yleinen ominaisuus

Vapaita ryhmiä voidaan luonnehtia seuraavalla universaalilla ominaisuudella : funktio joukosta B Abelin ryhmään F on kannan upotus tähän ryhmään, jos mille tahansa funktiolle B : stä mielivaltaiseen Abelin ryhmään A on olemassa ainutlaatuinen ryhmähomomorfismi , kuten että Mitä tahansa universaalia ominaisuutta, joka täyttää tämän ominaisuuden, objekti on automaattisesti ainutlaatuinen isomorfismiin asti, joten tätä universaalia ominaisuutta voidaan käyttää osoittamaan, että kaikki muut vapaan ryhmän määritelmät, joilla on kanta B , ovat ekvivalentteja. $b$ $g$ $G:F\-A,$ $g=G\circ b.$

Alaryhmät

Lause : Olkoon vapaa Abelin ryhmä ja olkoon sen aliryhmä . Sitten on myös ilmainen Abelin ryhmä $F$ $G\alajoukko F$ $G$ .

Tämän lauseen todistaminen vaatii valinnan aksiooman [4] . Serge Lengin algebra tarjoaa todisteen käyttämällä Zornin lemaa [5] , kun taas Solomon Lefschetz ja Irving Kaplansky ovat väittäneet, että hyvin järjestyksen periaatteen käyttäminen Zornin lemman sijaan antaa intuitiivisemman todisteen [6] .

Äärillisesti muodostettujen ryhmien tapauksessa todistus on yksinkertaisempi ja antaa meille mahdollisuuden saada tarkempi tulos:

Lause : Olkoon äärellisesti generoidun vapaan ryhmän aliryhmä . Sitten on vapaa, on olemassa ryhmän kanta ja luonnolliset luvut (eli jokainen luku jakaa seuraavan) siten, että ne muodostavat perustan . Lisäksi sarja riippuu vain ja , mutta ei perustan valinnasta $G$ $F$ $G$ $(e_{1},\ldots ,e_{n})$ $F$ $d_{1}|d_{2}|\ldots |d_{k}$ $(d_{1}e_{1},\ldots ,d_{k}e_{k})$ $G.$ $d_{1},d_{2},\ldots ,d_{k}$ $F$ $G$ . [yksi]

Vääntö ja jakautuvuus

Kaikki vapaat Abelin ryhmät ovat vääntövapaita , eli ei ole ryhmäalkiota x ja nollasta poikkeavaa lukua n siten, että nx = 0. Toisaalta mikä tahansa äärellisesti generoitu vääntövapaa Abelin ryhmä on vapaa [7] . Samanlaiset väitteet pitävät paikkansa, jos korvaamme sanat "vääntövapaa ryhmä" sanalla " tasainen ryhmä": Abelin ryhmien tasaisuus vastaa vääntön puuttumista.

Rationaalilukujen ryhmä on esimerkki vääntövapaasta Abelin ryhmästä, joka ei ole vapaa. Viimeisen väitteen todistamiseksi riittää, kun todetaan, että rationaalilukujen ryhmä on jaollinen , kun taas vapaassa ryhmässä yksikään kantan alkioista ei voi olla toisen alkion kerrannainen [1] . $\mathbb {Q}$

Suorat summat ja tuotteet

Mikä tahansa vapaa Abelin ryhmä voidaan kuvata joidenkin kopioiden suorana summana (vastaa sen arvoa). Minkä tahansa määrän vapaiden Abelin ryhmien suora summa on myös ilmainen; sen perustaksi voimme ottaa termien perusteiden liiton. [yksi] $\mathbb {Z}$

Äärillisen määrän vapaiden Abelin ryhmien suora tulo on myös vapaa ja on isomorfinen niiden suoralle summalle . Tämä ei kuitenkaan pidä paikkaansa äärettömän määrän ryhmien tulolle; esimerkiksi Baer-Specker-ryhmä, joka on suora tulos laskettavasta määrästä kopioita , ei ole vapaa Abelin [8] [9] . Samaan aikaan mikä tahansa sen laskettavissa olevista alaryhmistä on vapaa Abelin [10] . ${\mathbb Z}^{{{\mathbb N}}},$ ${\mathbb Z},$

Muistiinpanot

↑ 1 2 3 4 Hungerford, Thomas W. II.1 Vapaat Abelin ryhmät // Algebra . - Springer, 1974. - Voi. 73.—s. 70–75. — (Matematiikan tutkinnon tekstit). Arkistoitu 9. elokuuta 2014 Wayback Machinessa
↑ Hofmann, Karl H.; Morris, Sidney A. Kompaktien ryhmien rakenne: Pohjakirja opiskelijoille - Käsikirja asiantuntijalle . - Walter de Gruyter, 2006. - Voi. 25. - s. 640. - (De Gruyter Studies in Mathematics). — ISBN 9783110199772 . Arkistoitu 9. elokuuta 2014 Wayback Machinessa
↑ Mollin, Richard A. Kehittynyt lukuteoria sovellusten kanssa . - CRC Press, 2011. - P. 182. - ISBN 9781420083293 . Arkistoitu 11. elokuuta 2014 Wayback MachinessaKehittynyt lukuteoria sovellusten kanssa]. - CRC Press, 2011. - P. 182. - ISBN 9781420083293 .
↑ Blass, Andreas. Injektio, projektiivisuus ja valinnan aksiooma // Transactions of the American Mathematical Society. - 1979. - Voi. 255.—s. 31–59. - doi : 10.1090/S0002-9947-1979-0542870-6 . . Esimerkki 7.1 tarjoaa joukkoteoriamallin ja siinä mallissa olevan ei-vapaan projektiivisen Abelin ryhmän, joka on vapaan Abelin ryhmän alaryhmä, jossa A on joukko atomeja. $\left({\mathbb {Z}}^{{(A)))\oikea)^{n},$
↑ Lang, Serge. Algebra. - Springer-Verlag, 2002. - Voi. 211. - S. 880. - (Matematiikan tutkinnon tekstit). - ISBN 978-0-387-95385-4 .
↑ Kaplansky, Irving. Joukkoteoria ja metriavaruudet . - AMS, 2001. - Voi. 298.—s. 124–125. - (AMS Chelsea Publishing Series). — ISBN 9780821826942 . Arkistoitu 3. tammikuuta 2014 Wayback Machineen
↑ Lee, John M. Vapaat Abelin ryhmät // Topologisten monimuotojen esittely . - Springer. - s. 244-248. — (Matematiikan tutkinnon tekstit). — ISBN 9781441979407 . Arkistoitu 11. elokuuta 2014 Wayback Machinessa
↑ Griffith, Phillip A. Ääretön Abelin ryhmäteoria . — University of Chicago Press, 1970. — s . 1 , 111–112. — (Chicago Lectures in Mathematics). — ISBN 0-226-30870-7 .
↑ Baer, Reinhold. Abelin ryhmät ilman äärellisen järjestyksen elementtejä // Duke Mathematical Journal. - 1937. - Voi. 3, nro 1 . — s. 68–122. - doi : 10.1215/S0012-7094-37-00308-9 .
↑ Specker, Ernst. Lisäaine Gruppen von Folgen ganzer Zahlen // Portugaliae Math. - 1950. - Voi. 9. - s. 131-140.