Hilbertin nollalause ( Hilbertin juurilause , monilla kielillä, myös joskus venäjäksi, käyttää usein alkuperäistä saksalaista nimeä Nullstellensatz , joka käännetään "nollalauseeksi") on lause , joka muodostaa perustavanlaatuisen suhteen geometrian ja algebran välille . Tämän suhteen käyttö on algebrallisen geometrian perusta .
Tämä lause yhdistää algebrallisen joukon käsitteen ideaalin käsitteestä polynomirenkaassa algebrallisesti suljetun kentän yli . Ensimmäiseksi todisti David Hilbert ( Math. Ann. 1893, Bd 42, S. 313-373) ja nimettiin hänen mukaansa.
Antaa olla mielivaltainen kenttä (esimerkiksi rationaalisten lukujen kenttä ), olla tämän kentän algebrallisesti suljettu laajennus (esimerkiksi kompleksilukujen kenttä ). Harkitse polynomirengasta muuttujissa, joiden kertoimet kentässä , Olkoon ihanteellinen tässä renkaassa. Tämän ihanteen määrittelemä algebrallinen joukko koostuu kaikista pisteistä siten, että mille tahansa . Hilbertin nollalause sanoo, että jos jokin polynomi katoaa joukosta , eli jos kaikille , niin on olemassa luonnollinen luku siten, että .
Välitön seuraus on seuraava "Hilbertin nollalauseen heikko muoto": jos on varsinainen ideaali renkaassa , niin se ei voi olla tyhjä joukko , eli kaikille annetun ideaalin polynomeille on yhteinen nolla (tosin, muuten polynomin juuret ovat kaikkialla , joten sen aste kuuluu ). Tämä seikka antoi lauseelle nimen. Yleinen tapaus voidaan päätellä "heikosta muodosta" käyttämällä niin kutsuttua Rabinowitzin temppua . Oletus, että kenttä on algebrallisesti suljettu, on olennainen: oikean ihanteen elementeillä ei ole yhteistä nollaa.
Kommutatiivisen algebran standarditerminologiaa käyttäen Hilbertin nollalause voidaan ilmaista seuraavasti: jokaiselle ihanteelle kaava
missä on ideaalin radikaali , ja on ideaalin, joka koostuu kaikista polynomeista, jotka ovat yhtä suuria kuin nolla joukossa .
Tästä seuraa, että operaatiot ja määrittelevät bijektiivisen järjestyksen kääntävän vastaavuuden algebrallisten joukkojen ja radikaalien ihanteiden välillä .
Myös polynomirenkaan homogeenisten ideaalien ja projektitiivisen avaruuden algebrallisten joukkojen välillä on vastaavuus , jota kutsutaan projektiiviseksi Nullstellensatziksi . Olkoon , on joukko homogeenisia astepolynomeja . Sitten
kutsutaan maksimaaliseksi homogeeniseksi ihanteeksi . Kuten affinisessa tapauksessa, otamme käyttöön merkinnän: osajoukolle ja homogeeniselle ihanteelle olkoon
Muista, että tämä ei ole funktio projektiivisessa avaruudessa, mutta tämän polynomin homogeenisuudesta seuraa, että pisteiden joukko, joilla on homogeeniset koordinaatit , jossa , on hyvin määritelty. Nyt mielivaltaisen homogeenisen ihanteen puolesta,
David Hilbertin panos tieteeseen | |
---|---|
tilat | |
aksiomatiikka | Hilbertin aksiomaattinen |
Lauseet | |
Operaattorit | |
Yleinen suhteellisuusteoria | |
Muut |