Taylorin lause

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 1. helmikuuta 2019 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 12 muokkausta . Tämä artikkeli käsittelee differentioituvien funktioiden Taylor-polynomeja . Katso Taylor-sarjan analyyttiset funktiot vastaavasta artikkelista.

Taylorin lause antaa approksimaation k - kertaiselle differentioituvalle funktiolle lähellä tiettyä pistettä käyttämällä k : nnen kertaluvun Taylor - polynomia . Analyyttisille funktioille Taylor-polynomi tietyssä pisteessä on niiden Taylor-sarjan osasumma, joka puolestaan määrittelee täysin funktion jossakin pisteen ympäristössä. Taylorin lauseen tarkasta sisällöstä ei ole toistaiseksi sovittu. Lauseen eri tilanteisiin sovellettavia versioita on tietysti useita, ja osa näistä versioista sisältää arvioita virheestä, joka ilmenee, kun funktiota approksimoidaan Taylor-polynomin avulla.

Tämä lause on nimetty matemaatikko Brooke Taylorin mukaan, joka muotoili siitä yhden version vuonna 1712. Joseph Lagrange antoi selkeän lausekkeen approksimaatiovirheelle paljon myöhemmin . Aiemmin, vuonna 1671, James Gregory oli jo maininnut lauseen seurauksen.

Taylorin lause antaa sinun hallita lähtötason laskelmien tekniikat, ja se on yksi keskeisistä matemaattisen analyysin perustyökaluista . Matematiikan tutkimuksessa se on lähtökohta asymptoottisen analyysin tutkimukselle . Lausetta käytetään myös matemaattisessa fysiikassa . Se myös yleistyy useiden muuttujien funktioihin ja vektorifunktioihin mille tahansa ulottuvuudelle ja . Tämä Taylorin lauseen yleistys on perusta ns. suihkujen määrittelylle , jotka esiintyvät differentiaaligeometriassa ja osittaisdifferentiaaliyhtälöiden teoriassa . ${\displaystyle f\,:\,\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{m))$ $n$ $m$

Lauseen käyttöönoton edellytykset

Jos reaaliarvoinen funktio f(x) on differentioituva pisteessä a , niin sillä on lineaarinen approksimaatio pisteessä a . Tämä tarkoittaa, että on olemassa funktio h 1 , joka

f(x) = f(a) + f'(a)(xa) + h_1(x)(xa), \qquad \lim_{x\to a}h_1(x)=0.

Tässä

P_1(x) = f(a) + f'(a)(xa) \

se on funktion f lineaarinen approksimaatio pisteessä a . Funktion y = P 1 ( x ) kuvaaja on tangentti funktion f kuvaajalle pisteessä x = a . Approksimaatiovirhe on

R_1(x) = f(x)-P_1(x) = h_1(x)(xa). \

Huomaa, että virhe lähestyy nollaa hieman nopeammin kuin ero x − a lähestyy nollaa, kun x lähestyy a .

Jos etsimme f :n parempaa approksimaatiota , voimme käyttää toisen asteen polynomia lineaarifunktion sijasta. Sen sijaan, että löytäisimme f :n derivaatan pisteestä a , voimme löytää kaksi derivaatta, jolloin saadaan polynomi, joka, kuten f , kasvaa (tai pienenee) ja jolla on kuten f : llä konveksius (tai koveruus) pisteessä a . Toisen asteen polynomi (neliöpolynomi) näyttää tässä tapauksessa tältä:

P_{2}(x)=f(a)+f'(a)(xa)+{\frac {f''(a)}{2}}(xa)^{2}.

Taylorin lauseen avulla voidaan varmistaa, että neliöllinen approksimaatio on riittävän pienellä pisteen a läheisyydessä parempi approksimaatio kuin lineaarinen. Erityisesti,

f(x) = P_2(x) + h_2(x)(xa)^2, \qquad \lim_{x\to a}h_2(x)=0.

Tässä on approksimaatiovirhe

R_2(x) = f(x)-P_2(x) = h_2(x)(xa)^2 \

joka, jos h 2 on rajoitettu , lähestyy nollaa nopeammin kuin se lähestyy nollaa ( x − a ) 2 x lähestyessä a .

Siten saamme jatkossakin parempia approksimaatioita f :lle, jos käytämme korkeamman ja korkeamman asteen polynomeja . Yleensä virhe funktion approksimoinnissa k -asteen polynomeilla lähestyy nollaa hieman nopeammin kuin ( x − a ) k lähestyy nollaa x : n lähestyessä a :ta .

Tämä seuraus on luonteeltaan asymptoottinen: se kertoo vain, että k:nnen kertaluvun Taylor-polynomien Pk approksimoinnin virhe R k lähestyy nollaa nopeammin kuin nollasta poikkeava k :nnen kertaluvun polynomi , kun x → a . Se ei kerro meille, kuinka suuri virhe on missä tahansa approksimaatiokeskuksen ympäristössä, mutta tälle on olemassa kaava jäännökselle (alla annettu).

Taylorin lauseen täydellisimmät versiot johtavat yleensä yhdenmukaisiin estimaatteihin approksimaatiovirheestä approksimaatiokeskuksen pienessä ympäristössä, mutta nämä estimaatit eivät ole riittäviä lähiöille, jotka ovat liian suuria, vaikka funktio f olisi analyyttinen . Tässä tilanteessa tulee valita useita Taylor-polynomeja, joilla on erilaiset approksimaatiokeskukset, jotta saadaan luotettava Taylor-approksimaatio alkuperäiselle funktiolle (katso animoitu kuva yllä). On myös mahdollista, että polynomin kertaluvun lisääminen ei lisää approksimoinnin laatua ollenkaan, vaikka funktio f differentioidaan äärettömän monta kertaa. Tällainen esimerkki on esitetty alla.

Taylorin lause yhden reaalimuuttujan funktioille

Lauseen lause

Lauseen useimpien perusversioiden tarkka muotoilu on seuraava.

Taylorin lauseessa esiintyvä polynomi on k : nnen kertaluvun Taylor-polynomi

P_k(x) = f(a) + f'(a)(xa) + \frac{f''(a)}{2!}(xa)^2 + \cdots + \frac{f^{(k) )}(a)}{k!}(xa)^k

funktio f pisteessä a .

Taylorin lause kuvaa jäännöstermin asymptoottista käyttäytymistä

\ R_k(x) = f(x) - P_k(x),

mikä on virhe löydettäessä funktion f approksimaatio Taylor-polynomien avulla. Käyttämällä "O" big ja "o" small , Taylorin lause voidaan muotoilla seuraavasti

R_k(x) = o(|xa|^k), \qquad x\ to a.

Kaavat lopulle

Taylor-polynomin lopputermille R k on olemassa useita tarkkoja kaavoja , joista yleisin on seuraava.

Nämä Taylorin lauseen tarkennukset johdetaan tavallisesti käyttämällä äärellisten inkrementtien kaavaa .

Voit myös löytää muita ilmaisuja lopulle. Esimerkiksi jos G ( t ) on jatkuva suljetulla aikavälillä ja differentioituva katoamattomalla derivaatalla avoimella aikavälillä a ja x , niin

R_k(x) = \frac{f^{(k+1)}(\xi)}{k!}(x-\xi)^k \frac{G(x)-G(a)}{G' (\xi)}

jollekin luvulle ξ välillä a ja x . Tämä versio kattaa Lagrangen ja Cauchyn muodot erikoistapauksina, ja se johdetaan Cauchyn keskiarvolauseen avulla (laajennettu versio Lagrangen keskiarvolauseesta ).

Jäännöksen kaavan kirjoittaminen integraalimuotoon on yleisempää kuin aikaisemmat kaavat ja edellyttää Lebesguen integraaliteorian ymmärtämistä . Se pätee kuitenkin myös Riemannin integraaliin edellyttäen, että f : n derivaatta ( k +1) on jatkuva suljetulla intervallilla [ a , x ].

Johtuen f ( k ) :n absoluuttisesta jatkuvuudesta suljetulla alueella a :n ja x :n välillä , sen derivaatta f ( k +1) on olemassa L 1 -funktiona, ja tämä seuraus voidaan saada muodollisilla laskelmilla käyttäen Newton-Leibnizin lausetta. ja integrointi osittain .

Arviot lopusta

Käytännössä on usein hyödyllistä arvioida numeerisesti Taylor-approksimaation loppuosan arvo.

Oletetaan, että f on ( k + 1)-kertaisesti differentioituva välillä I , joka sisältää a . Oletetaan, että on olemassa sellaisia reaalivakiolukuja q ja Q , että

q\le f^{(k+1)}(x)\le Q

koko I. _ Sitten jäljellä oleva termi tyydyttää epätasa-arvon [5]

q\frac{(xa)^{k+1}}{(k+1)!}\le R_k(x)\le Q\frac{(xa)^{k+1}}{(k+1) !},

jos x > a , ja samanlainen arvio jos x < a . Tämä on yksinkertainen seuraus jäännöskaavan Lagrange-muodosta. Varsinkin jos

|f^{(k+1)}(x)|\leq M

välillä I = ( a − r , a + r ) , jossa jokin r >0, niin

|R_k(x)| \le M\frac{|xa|^{k+1}}{(k+1)!}\le M\frac{r^{k+1}}{(k+1)!}

kaikille x ∈( a − r , a + r ). Toista epäyhtälöä kutsutaan yhtenäiseksi estimaattoriksi , koska se säilyttää tasaisuuden kaikille x :ille alueella ( a − r , a + r ).

Esimerkki

Oletetaan, että haluamme löytää funktion f ( x ) = e x approksimaatio väliltä [−1,1] ja varmistaa, että virhe ei ylitä arvoa 10 −5 . Tässä esimerkissä oletetaan, että tiedämme seuraavat eksponentiaalisen funktion ominaisuudet:

(*) \qquad e^0=1, \qquad \frac{d}{dx} e^x = e^x, \qquad e^x>0, \qquad x\in\mathbb{R}.

Nämä ominaisuudet viittaavat siihen, että f ( k ) ( x ) = e x kaikille k : ille ja erityisesti f ( k ) ( 0 ) = 1 . Tästä seuraa, että funktion f k :nnen kertaluvun Taylor-polynomi pisteessä 0 ja sen lopputermi Lagrange-muodossa saadaan kaavalla

P_k(x) = 1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^k}{k!}, \qquad R_k(x)=\frac{e^\xi}{ (k+1)!}x^{k+1},

missä ξ on jokin luku välillä 0 ja x . Koska e x kasvaa (*) mukaan, voimme käyttää arvoa e x ≤ 1 x ∈ [−1, 0] estimoimaan osavälin [−1, 0] jäännösosa. Jotta voidaan löytää yläraja välin [0,1] jäännöksen arvolle, voimme käyttää ominaisuutta e ξ << e x arvolle 0< ξ< x

e^x = 1 + x + \frac{e^\xi}{2}x^2 < 1 + x + \frac{e^x}{2}x^2, \qquad 0 < x\leq 1

käyttämällä toisen asteen Taylor-polynomia. Ilmaisemalla e x tästä epäyhtälöstä päättelemme, että

e^x \leq \frac{1+x}{1-\frac{x^2}{2}} = 2\frac{1+x}{2-x^2} \leq 4, \qquad 0 \ leqx\leq 1

olettaen, että osoittaja ottaa suurimman mahdollisista arvoistaan ja nimittäjä pienimmän kaikista mahdollisista arvoistaan. Käyttämällä näitä arvioita e x :n arvoista näemme sen

|R_k(x)| \leq \frac{4|x|^{k+1}}{(k+1)!} \leq \frac{4}{(k+1)!}, \qquad -1\leq x \leq 1 ,

ja vaadittu tarkkuus saavutetaan varmasti, kun

\frac{4}{(k+1)!} < 10^{-5} \quad \Leftrightarrow \quad 4\cdot 10^5 < (k+1)! \quad \Vasen oikea nuoli \quad k \geq 7.

(jossa tekijä on 7!=5040 ja 8!=40320.) Lopulta Taylorin lause johtaa approksimaatioon

e^x = 1+x+\frac{x^2}{2!} + \ldots + \frac{x^7}{7!} + R_7(x), \qquad |R_7(x)| < 10^{-5}, \qquad -1\leq x \leq 1.

Huomaa, että tämän likiarvon avulla voimme laskea arvon e ≈2,71828 viidenteen desimaaliin asti.

Analyyttinen

Taylor-laajennus todellisiin analyyttisiin toimintoihin

Antaa olla avoin väli . Määritelmän mukaan funktio on todellinen analyyttinen , jos se määritellään tietyllä alueella potenssisarjan konvergenssilla . Tämä tarkoittaa, että jokaiselle on jokin r > 0 ja kertoimien sarja c k ∈ R siten, että ( a − r , a + r ) ⊂ I ja $I\subset \mathbb {R}$ $f\,:\,I\rightarrow \mathbb {R}$ $a\in I$

f(x) = \sum_{k=0}^\infty c_k(xa)^k = c_0 + c_1(xa) + c_2(xa)^2 + \cdots, \qquad |xa|<r.

Yleensä konvergenssisäde laskea Cauchyn–Hadamardin

\frac{1}{R} = \limsup_{k\to\infty}|c_k|^\frac{1}{k}.

Tämä tulos perustuu vertailuun äärettömästi pienenevään geometriseen progressioon, ja sama menetelmä osoittaa, että jos a:ssa laajennettu potenssisarja konvergoi jollekin b ∈ R : lle , sen täytyy konvergoida tasaisesti suljetulla välillä [ a − r b , a + r b ] , missä r b = | b - a |. Tässä on tarkasteltu vain potenssisarjojen konvergenssia, ja on mahdollista, että alue ( a − R , a + R ) ulottuu funktion f toimialueen I ulkopuolelle .

Taylor-polynomi todellisessa analyyttisessä funktiossa f pisteessä a

P_k(x) = \sum_{j=0}^k c_j(xa)^j, \qquad c_j = \frac{f^{(j)}(a)}{j!}

on yksinkertainen katkaisu tämän funktion vastaavasta potenssisarjasta, joka on määritelty jollekin aikavälille , ja tämän välin loppuosan antaa analyyttinen funktio

R_k(x) = \sum_{j=k+1}^\infty c_j(xa)^j = (xa)^k h_k(x), \qquad |xa|<r.

Tässä toiminto

h_k:(ar,a+r)\to \R; \qquad h_k(x) = (xa)\sum_{j=0}^\infty c_{k+1+j}(xa)^j

on myös analyyttinen, koska sen potenssisarjalla on sama konvergenssisäde kuin alkuperäisellä sarjalla. Edellyttäen, että [ a − r , a + r ] ⊂ I ja r < R , kaikki nämä sarjat konvergoivat tasaisesti välillä ( a − r , a + r ) . Tietenkin analyyttisten funktioiden tapauksessa on mahdollista estimoida jäännöstermi R k ( x ) "leikkaamalla" derivaattojen sarja f′ ( a ) approksimaatiokeskuksesta , mutta kompleksianalyysiä käytettäessä mahdollisuuksia, jotka kuvataan alla.

Taylorin lause ja Taylor-sarjan konvergenssi

Differentioituvien funktioiden Taylor-polynomien ja analyyttisten funktioiden Taylor-sarjan välillä on erimielisyyttä . Voidaan harkita (melko) Taylor-sarjaa

f(x) \noin \sum_{k=0}^\infty c_k(xa)^k = c_0 + c_1(xa) + c_2(xa)^2 + \ldots

ääretön määrä kertoja differentioituva funktio f : R → R sen "ääretön kertaluvun Taylor-polynomina" pisteessä a . Nyt estimaatti Taylor-polynomin loppuosalle tarkoittaa, että mille tahansa kertaluvulle k ja mille tahansa r >0:lle on vakio M k,r >0 , niin että

(*) \quad |R_k(x)|\leq M_{k,r}\frac{|xa|^{k+1}}{(k+1)!}

jokaiselle x ∈( ar, a+r ). Joskus nämä vakiot voidaan valita siten, että M k ,r → 0 k → ∞ ja r pysyvät samoina. Tällöin funktion f Taylor-sarja konvergoi tasaisesti johonkin analyyttiseen funktioon

T_f:(ar,a+r)\to\mathbb R; \qquad T_f(x) = \sum_{k=0}^\infty \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(xa)^k.

Tässä on tärkeää mainita hienovarainen seikka . On mahdollista, että äärettömän monta kertaa differentioituvalla funktiolla f on pisteessä a Taylor-sarja, joka konvergoi jossain pisteen a avoimessa ympäristössä , mutta rajafunktio T f eroaa f :stä . Tärkeä esimerkki tästä ilmiöstä on

f:\mathbb R \to \mathbb R; \qquad f(x) = \begin{cases} e^{-\frac{1}{x^2}} &, x>0, \\ 0 &, x\leq 0.\end{cases}

Ketjusäännön avulla voidaan osoittaa induktiivisesti , että millä tahansa asteikolla k ,

f^{(k)}(x)={\begin{cases}{\frac {p_{k}(x)}{x^{3k))}e^{-{\frac {1} {x^{2}}}}&,x>0\\0&,x\leq 0\end{cases}}}

jollekin polynomille p k . Funktiolla on taipumus nollata nopeammin kuin mikä tahansa polynomi, kun x → 0 , silloin f on äärettömästi differentioituva ja f ( k ) (0) = 0 jokaiselle positiiviselle kokonaisluvulle k . Nyt arviot funktion f Taylor-polynomin loppuosasta osoittavat, että Taylor-sarja konvergoi tasaisesti nollafunktioon koko reaalilukuakselilla. Seuraavissa lausunnoissa ei ole virhettä: $e^{-\frac{1}{x^2}}$

Funktion f Taylor-sarja konvergoi tasaisesti nollafunktioon T f ( x )=0.
Nollafunktio on analyyttinen, ja jokainen sen Taylor-sarjan kerroin on nolla.
Funktio f on äärettömästi differentioituva, mutta ei analyyttinen.
Jokaiselle k ∈ N ja r >0 on olemassa M k, r >0 siten, että funktion f k :nnen kertaluvun Taylor-polynomin jäännöstermi täyttää ehdon (*).

Taylorin lause kompleksisessa analyysissä

Taylorin lause yleistää funktiot , jotka ovat kompleksisesti differentioituvia kompleksisen tason avoimella osajoukolla U ⊂ C . Sen hyödyllisyyttä vähentävät kuitenkin muut kompleksisen analyysin lauseet, nimittäin: kompleksisesti differentioituville funktioille f : U → C voidaan johtaa täydellisempiä versioita samankaltaisista tuloksista käyttämällä Cauchyn integraalikaavaa alla esitetyllä tavalla. $f:\mathbb C\to\mathbb C$

Olkoon r > 0 siten, että suljettu ympyrä B ( z , r ) ∪ S ( z , r ) sisältyy U : een . Sitten Cauchyn integraalikaava positiivisella parametrisaatiolla γ ( t )= re it ympyrästä S ( z, r ), jossa t ∈ [0,2 π ] antaa

f(z) = \frac{1}{2\pi i}\int_\gamma \frac{f(w)}{wz}dw, \quad f'(z) = \frac{1}{2\pi i}\int_\gamma \frac{f(w)}{(wz)^2}dw, \quad \ldots, \quad f^{(k)}(z) = \frac{k!}{2\ pi i}\int_\gamma \frac{f(w)}{(wz)^{k+1}}dw.

Tässä kaikki integrantit ovat jatkuvia ympyrällä S ( z , r ), mikä oikeuttaa erottamisen integraalimerkin alla . Erityisesti, jos f on kerran kompleksisesti differentioituva avoimella joukolla U , niin se on itse asiassa ääretön määrä komplekseja differentioituvia kertoja U : lla. Meillä on Cauchyn arvio [6]

|f^{(k)}(z)| \leq \frac{k!}{2\pi}\int_\gamma \frac{M_r}{|wz|^{k+1}}dw = \frac{k!M_r}{r^k}, \qquad M_r = \max_{|wc|=r}|f(w)|

mille tahansa z ∈ U ja r > 0 siten, että B ( z , r ) ∪ S ( c , r ) ⊂ U . Nämä arviot viittaavat siihen, että monimutkainen Taylor-sarja

f(z) \noin \sum_{k=0}^\infty \frac{f^{(k)}(c)}{k!}(zc)^k

funktio f konvergoi tasaisesti missä tahansa ympyrässä B ( c , r ) ⊂ U jossa S ( c , r ) ⊂ U jossain funktiossa T f . Myös käyttämällä ääriviivaintegrointikaavaa derivaateille f ( k ) ( c ),

\begin{align} T_f(z) = \ & \sum_{k=0}^\infty \frac{(zc)^k}{2\pi i}\int_\gamma \frac{f(w)}{ (wc)^{k+1}}dw = \frac{1}{2\pi i} \int_\gamma \frac{f(w)}{wc} \sum_{k=0}^\infty \Big (\frac{zc}{wc}\Big)^k dw \\ = \ & \frac{1}{2\pi i} \int_\gamma \frac{f(w)}{wc}\Big( \ frac{1}{1-\frac{zc}{wc}} \Big) dw = \frac{1}{2\pi i} \int_\gamma \frac{f(w)}{wz} dw = f (z), \end{align}

siis mikä tahansa kompleksinen differentioituva funktio f avoimessa joukossa U ⊂ C on kompleksinen analyyttinen . Kaikki, mitä yllä kirjoitettiin todellisille analyyttisille funktioille, pätee myös monimutkaisille analyyttisille funktioille, joissa avoin intervalli I korvataan avoimella osajoukolla U ∈ C ja a -keskeiset intervallit ( a - r , a + r ) korvataan c - keskitetyt ympyrät B ( c , r ). Erityisesti Taylor-laajennus säilytetään

f(z) = P_k(z) + R_k(z), \qquad P_k(z) = \sum_{j=0}^k \frac{f^{(k)}(c)}{k!}( zc)^k,

jossa lopputermin R k on kompleksinen analyyttinen. Taylor-sarjoja tarkasteltaessa monimutkaisen analyysin menetelmät antavat mahdollisuuden saada jonkin verran tehokkaampia tuloksia. Esimerkiksi käyttämällä integraalikaavaa mille tahansa positiivisesti orientoidulle Jordan-käyrälle γ , joka parametroi alueen W ⊂ U rajan ∂ W ⊂ U , voidaan saada lauseke f ( j ) ( c ) -johdannaisille, kuten yllä on esitetty, ja muuta hieman laskelmia T f ( z ) = f ( z ) , saat tarkan kaavan

R_k(z) = \sum_{j=k+1}^\infty \frac{(zc)^j}{2\pi i} \int_\gamma \frac{f(w)}{(wc)^{ j+1}}dw = \frac{(zc)^{k+1}}{2\pi i} \int_\gamma \frac{f(w)dw}{(wc)^{k+1}( wz)} , \qquad z\in W.

Tärkeä piirre tässä on, että Taylor-polynomin approksimaation laatua alueella W ⊂ U hallitsevat funktion f arvot rajalla ∂ W ⊂ U . Lisäksi käyttämällä Cauchyn estimaatteja sarjan loppuosan lausekkeeseen, saamme yhtenäiset estimaatit

|R_k(z)| \leq \sum_{j=k+1}^\infty \frac{M_r |zc|^j}{r^j} = \frac{M_r}{r^{k+1}} \frac{|zc| ^{k+1}}{1-\frac{|zc|}{r}} \leq \frac{M_r \beta^{k+1}}{1-\beta} , \qquad \frac{|zc |}{r}\leq \beta < 1.

Esimerkki

Funktio f : yhtälön määrittelemä R → R

f(x) = \frac{1}{1+x^2}

on todellinen analyyttinen , eli annetulla alueella määräytyy sen Taylor-sarjan mukaan. Yksi yllä olevista kuvista osoittaa , että joitain hyvin yksinkertaisia funktioita ei voida ilmaista Taylor-approksimaatiolla approksimaatiokeskuksen läheisyydessä, jos tämä naapuri on liian suuri. Tämä ominaisuus on helppo ymmärtää monimutkaisen analyysin puitteissa. Tarkemmin sanottuna funktio f laajenee meromorfiseksi funktioksi

f:\mathbb C\cup\{\infty\} \to \mathbb C\cup\{\infty\}; \quad f(z) = \frac{1}{1+z^2}

tiivistetyllä kompleksitasolla. Sillä on yksinkertaiset akselit pisteissä z = i ja z = − i , ja se on kaikkialla analyyttinen. Sen Taylor-sarja, jonka keskipiste on z 0 , suppenee mihin tahansa ympyrään B ( z 0 , r ), jossa r <| zz 0 |, jossa sama Taylor-sarja konvergoi z ∈ C :lle . Tämän seurauksena funktion f , jonka keskipiste on 0, Taylor-sarja konvergoi B :hen (0,1), eikä se konvergoi millään z ∈ C :lla, jossa | z |>1, koska pisteissä i ja − i on akseleita . Samoista syistä funktion f Taylor-sarja, jonka keskipiste on 1, konvergoi B :hen (1,√2) eikä konvergoi millekään z ∈ C :lle , jossa | z -1|>√2.

Taylorin lauseen yleistykset

Korkeammat erottumisasteet

Funktio f : R n → R on differentioituva pisteessä a ∈ R n jos ja vain jos on olemassa lineaarinen muoto L : R n → R ja funktio h : R n → R siten, että

f(\boldsymbol{x}) = f(\boldsymbol{a}) + L(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{a}) + h(\boldsymbol{x})(\boldsymbol{x}-\boldsymbol {a}), \qquad \lim_{\boldsymbol{x}\to\boldsymbol{a}}h(\boldsymbol{x})=0.

Jos tämä tapaus pätee, niin L = df ( a ) on funktion f differentiaali pisteessä a . Lisäksi kun funktion f osittaisderivaatat ovat olemassa pisteessä a , niin f : n differentiaali pisteessä a saadaan kaavalla

df( \boldsymbol{a} )( \boldsymbol{v} ) = \frac{\partial f}{\partial x_1}(\boldsymbol{a})v_1 + \cdots + \frac{\partial f}{\partial x_n}(\boldsymbol{a})v_n.

Esittelemme moniindeksin , kirjoitamme

|\alpha| = \alpha_1+\cdots+\alpha_n, \quad \alpha!=\alpha_1!\cdots\alpha_n!, \quad \boldsymbol{x}^\alpha=x_1^{\alpha_1}\cdots x_n^{\alpha_n}

α ∈ N n ja x ∈ R n . _ Jos kaikki funktion f : R n → R k :nnen kertaluvun osittaisderivaatat ovat jatkuvia kohdassa a ∈ R n , niin Clairaut'n lauseen mukaan voidaan muuttaa sekaderivaataiden järjestystä pisteessä a , jolloin kirjoitetaan

D^\alpha f = \frac{\partial^{|\alpha|}f}{\partial x_1^{\alpha_1}\cdots \partial x_n^{\alpha_n)), \qquad |\alpha|\leq k

korkeamman asteen osittaisille johdannaisille on oikeutettua tässä tilanteessa. Sama pätee, jos kaikki funktion f ( k − 1):nnen asteen osaderivaatat ovat jossain pisteen a ympäristössä ja ovat differentioituvia pisteessä a . Silloin voidaan sanoa, että funktio f on k kertaa differentioituva pisteessä a .

Taylorin lause useiden muuttujien funktioille

Jos funktio f : R n → R on k + 1 kertaa jatkuvasti differentioituva suljetussa pallossa B , niin voidaan saada tarkka kaava f :n ( k + 1):nnen kertaluvun Taylor-laajennuksen jäännökselle tässä ympäristössä. Nimittäin

f( \boldsymbol{x} ) = \sum_{|\alpha|=0}^k \frac{D^\alpha f(\boldsymbol{a})}{\alpha!} (\boldsymbol{x}-\ lihavoitu symboli{a})^\alpha + \sum_{|\beta|=k+1} R_\beta(\boldsymbol{x})(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{a})^\beta, \qquad R_\beta( \boldsymbol{x} ) = \frac{|\beta|}{\beta!} \int_0^1 (1-t)^{|\beta|-1}D^\beta f \big( \boldsymbol{a}+t( \boldsymbol{x}-\boldsymbol{a} )\big) \, dt.

Tässä tapauksessa kompaktissa joukossa B olevien ( k + 1) :nnen kertaluvun osittaisten derivaattojen jatkuvuudesta johtuen saamme suoraan

\big|R_\beta(\boldsymbol{x})| \leq \frac{|\beta|}{\beta!} \max_{|\alpha|=|\beta|} \max_{\boldsymbol{y}\in B} |D^\alpha f(\boldsymbol{ y})|, \qquad \boldsymbol{x}\in B.

Todisteet

Todistus Taylorin lauseesta yhdelle reaalimuuttujalle

Anna [7]

h_k(x) = \begin{cases} \frac{f(x) - P(x)}{(xa)^k} & x\not=a\\ 0&x=a \end{cases}

jossa, kuten Taylorin lauseen muotoilussa todetaan,

P(x) = f(a) + f'(a)(xa) + \frac{f''(a)}{2!}(xa)^2 + \cdots + \frac{f^{(k) )}(a)}{k!}(xa)^k.

Sen osoittaminen riittää

\lim _{x\to a}h_{k}(x)=0.

Todistus perustuu L'Hospitalin säännön toistuvaan soveltamiseen . Huomaa, että jokainen j = 0,1,…, k −1 , . Näin ollen jokainen myöhempi funktion osoittajan derivaatta pyrkii nollaan pisteessä , ja sama pätee nimittäjään. Sitten $f^{(j)}(a)=P^{(j)}(a)$ $h_k(x)$ $x=a$

\begin{align} \lim_{x\to a} \frac{f(x) - P(x)}{(xa)^k} &= \lim_{x\to a} \frac{\frac{d }{dx}(f(x) - P(x))}{\frac{d}{dx}(xa)^k} = \cdots = \lim_{x\to a} \frac{\frac{d ^{k-1}}{dx^{k-1}}(f(x) - P(x))}{\frac{d^{k-1}}{dx^{k-1}}( xa)^k}\\ &=\frac{1}{k!}\lim_{x\to a} \frac{f^{(k-1)}(x) - P^{(k-1) }(x)}{xa}\\ &=\frac{1}{k!}(f^{(k)}(a) - P^{(k)}(a)) = 0 \end{align }

jossa siirtyminen toiseksi viimeisestä lausekkeesta viimeiseen seuraa derivaatan määritelmästä pisteessä x = a .

Muistiinpanot

↑ Hazewinkel, Michiel, toim. (2001), Taylorin kaava , Encyclopedia of Mathematics , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4
↑ Klein, 1998 , §20.3; Apostol, 1967 , §7.7.
↑ Apostol, 1967 , §7.7.
↑ Apostol, 1967 , §7.5.
↑ Apostol, 1967 , §7.6
↑ Rudin, 1987, § 10.26.
↑ Stromberg, 1981

Lähteet

Apostol, Tom (1967), Calculus , Jon Wiley & Sons, Inc., ISBN 0-471-00005-1 .
Bartle & Sherbert (2000), Introduction to Real Analysis (3. painos), John Wiley & Sons, Inc., ISBN 0-471-32148-6 .
Hörmander, L. (1976), Linear Partial Differential Operators, osa 1 , Springer-Verlag, ISBN 978-3540006626 .
Klein, Morris (1998), Calculus: An Intuitive and Physical Approach , Dover, ISBN 0-486-40453-6 .
Pedrick, George (1994), A First Course in Analysis , Springer-Verlag, ISBN 0-387-94108-8 .
Stromberg, Karl (1981), Introduction to classical real analysis , Wadsworth, Inc., ISBN 978-0534980122 .
Rudin, Walter (1987), Real and complex analysis, 3. painos. , McGraw-Hill Book Company, ISBN 0-07-054234-1 .

Linkit

Taylor - sarjan likiarvo kosinukseen
Trigonometrinen Taylor Expansion interaktiivinen demonstroiva sovelma
Taylor-sarjan uusintakäynti Holistic Numerical Methods Institutessa