Tetration

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 17. huhtikuuta 2021 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 6 muokkausta .

Tetraatio ( hyperoperaattori-4 ) matematiikassa on eksponentin iteratiivinen funktio, seuraava hyperoperaattori eksponentioinnin jälkeen . Tetraatiota käytetään kuvaamaan suuria lukuja.

Termiä "tetratio" , joka koostuu sanoista " tetra- " (neljä) ja " iteraatio " (toisto), käytti ensimmäisen kerran englantilainen matemaatikko Reuben Goodstein vuonna 1947 [1] .

Määritelmät

Tetraatio voimatornina

Jokaiselle positiiviselle reaaliluvulle ja ei-negatiiviselle kokonaisluvulle tetratio voidaan määritellä rekursiivisesti: $a>0$ $n\geqslant 0$ ${\näyttötyyli {}^{n}a}$

${}^{0}a=1,$
${}^{n}a=a^{{({}^{{n-1}}a)}},\,n>0.$

Tämän määritelmän mukaan tetration laskenta, joka on kirjoitettu "voimatorniksi", eksponentio alkaa kauimpana tasolta alkutasolle (tässä merkinnässä korkeimmasta eksponentista):

{}^{4}2=2^{2^{2^{2}}}=2^{\left(2^{\left(2^{2}\right)}\right)} =2^{(2^{4})}=2^{16}=65536.

Tai:

{}^{5}2=2^{{2^{{2^{{2^{2}}}}}}=2^{{\left(2^{{\left(2^{{ \left(2^{2}\right)}}\right)}}\right)}}=2^{{(2^{{16}})}}=2^{{65536}}.

Samaan aikaan, koska eksponentio ei ole assosiatiivinen operaatio , lausekkeen laskenta eri järjestyksessä johtaa erilaiseen vastaukseen:

2^{{2^{{2^{2}}}}}\neq \left((2^{2})^{2}\oikea)^{2}=2^{{2\cdot 2\ cdot 2}}=2^{8}=256.

Tai:

2^{{2^{{2^{{2^{2}}}}}}\neq \left(((2^{2})^{2})^{2}\oikea)^{ 2}=2^{{2\cpiste 2\cpiste 2\cpiste 2}}=2^{{16}}=65536.

Näin ollen voimatornit on laskettava ylhäältä alas (tai oikealta vasemmalle), eli niillä on oikea assosiatiivisuus.

Tetraatio hyperoperaattorina

Tetraatio on neljäs hyperoperaatio peräkkäin :

lisäys : $a+b=a+\aliviivamerkki {1+1+\lpisteet +1}_{b};$
kertolasku : $a\times b=\underbrace {a+a+\ldots +a}_{b};$
eksponentio : $a^{b}=\underbrace {a\times a\times \ldots \times a}_{b};$
tetratio: ${^{b}a}=\alasiviiva {a^{{a^{{\cdot ^{{\cdot ^({\cdot ^{a)))))))))))))_{b} .$

Tässä jokainen operaatio on iteraatio edellisestä.

Ominaisuudet

Tetraatiota ei pidetä alkeisfunktiona (paitsi tapaukset, joissa luonnollinen eksponentti on vakio, kun tetratio ilmaistaan vakiokorkuisena voimatornina).
Ei- kommutatiivisuudesta johtuen tetratiolla on kaksi käänteistä operaatiota - superlogaritmi ja superjuuri (samanlailla kuin eksponentiolla on kaksi käänteistä funktiota: aritmeettinen juuri ja logaritmi ).

Tetratiolla yleisessä tapauksessa seuraavat edellisille operaattoreille ominaiset ominaisuudet ovat virheellisiä:

${}^{b}({}^{c}a)\neq {}^{c}({}^{b}a)$ , esimerkiksi: mutta . ${}^{3}({}^{2}2)=({}^{2}2)^{({}^{2}2)^{({}^{2}2) }}=4^{4^{4}}=4^{256}$ ${}^{2}({}^{3}2)=({}^{3}2)^{({}^{3}2)}=16^{16}=4^{ 32}$
${\näyttötyyli {}^{b+c}a}$ ei ole yhtä suuri kuin ei , eikä esimerkiksi: , koska . ${}^{b}a+{}^{c}a$ ${}^{b}a\times {}^{c}a$ ${}^{1+2}3={}^{3}3=3^{27}\neq {}^{1}3+{}^{2}3\neq {}^{1 }3\kertaa {}^{2}3$ ${}^{1}3+{}^{2}3=30;{}^{1}3\kertaa {}^{2}3=81$

Huomaa: kuitenkin totta tai . $\underbrace {\log _{a}{\log _{a}{...{\log _{a))))} _{b}{({}^{b+c}a) }={}^{c}a$ $\underbrace {\log _{a}{\log _{a}{...{\log _{a))))} _{c}{({}^{b+c}a) }={}^{b}a$

Tetraatio miinus yksi on yhtä suuri kuin miinus yksi:

${^{n}(-1)}=\alasiviiva {(-1)^{(-1)^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{(-1)))))) } } _{n}=-1,n>0$

Terminologia

Tetraation käsitteen määrittelemiseen on useita termejä , ja jokaisella niistä on oma logiikkansa, mutta joistakin niistä ei ole tullut yleisesti hyväksyttyjä syystä tai toisesta. Alla on muutamia tällaisia esimerkkejä.

Termi tetratio , jota Reuben Goodstein käytti vuonna 1947 kirjassa Transfinite Ordinals in Recursive Number Theory (yleistys Goodsteinin lauseen rekursiivisista esityksistä, joita käytetään korkeampiin operaattoreihin), hallitsee terminologiaa. Rudy Rucker teki myös sen suosituksi Infinity and the Mind - elokuvassa .
Bromer julkaisi termin "superexpponentiation" teoksessaan " Superexpontiation " vuonna 1987 . [2] Termiä käytti aiemmin Ed Nelson kirjassaan Predicative Arithmetic [ 3 ] .
Termi "hypervoima" ( englanniksi hyperpower ) [4] on luonnollinen yhdistelmä käsitteistä "hyper-" ja "aste" , joka kuvaa sopivasti tetratiota. Ongelma piilee itse termin "hyper" käsitteessä suhteessa hyperoperaattoreiden hierarkiaan . Kun tarkastelemme hyperoperaattoreita, termi "hyper" viittaa kaikkiin luokkiin, ja termi "super" viittaa luokkaan 4 tai tetratioon. Näin ollen näissä olosuhteissa "hyperasteen" käsite voi olla harhaanjohtava, koska se viittaa vain tetration käsitteeseen.
Termiä "voimatorni" ( englanniksi power tower ) [5] käytetään joskus muodossa "power tower of order " sanalle . $n$ $\aliviiva {a^{{a^{{\cdot ^{{\cdot ^({\cdot ^{a))))))))))_{n}$

Tetraatio sekoitetaan usein myös muihin läheisesti liittyviin funktioihin ja lausekkeisiin. Alla on muutamia aiheeseen liittyviä termejä:

Lomake	Terminologia
$a^{{a^{{\cdot ^{{\cdot ^({\cdot ^{a))))))))))))}$	tetration
$a^{{a^{{\cdot ^{{\cdot ^({\cdot ^{{a^{x)))))))))))))}$	Iteratiiviset eksponentit
$a_{1}^{{a_{2}^{{\cdot ^{{\cdot ^({\cdot ^{{a_{n)))))))))))))}$	Sisäkkäiset näytteilleasettajat (myös tornit)
$a_{1}^{{a_{2}^{{a_{3}^{{\cdot ^({\cdot ^{\cdot ))))))))))}}$	Äärettömät eksponentit (myös tornit)

Kahdella ensimmäisellä lausekkeella on kanta , ja näkyviin tuleva luku on korkeus . Kolmannessa lausekkeessa on korkeus , mutta kaikki kannat ovat erilaisia. $a$ $a$ $n$

Merkintä

Merkintäjärjestelmät, joissa tetratiota voidaan käyttää (joista jotkin mahdollistavat vielä suurempien iteraatioiden käytön), ovat:

Nimi	Lomake	Kuvaus
Vakiomerkintä	${\näyttötyyli {}^{n}a}$	Maurerin [1901] ja Goodsteinin [1947] käyttämä ; suosiota Rudy Rueckerin Infinity and the Mind -elokuvassa .
Knuthin nuolen merkintä	$a{\uparrow \uparrow }n$	Mahdollistaa laajentamisen lisäämällä inkrementaalisia tai indeksoituja nuolia, mikä on tehokkaampaa.
Conway ketju	$a\to n\to 2$	Mahdollistaa pidentämisen lisäämällä 2 (vastaa yllä olevaa menetelmää), mutta vieläkin tehokkaampi tapa kirjoittaa on mahdollista myös lisäämällä ketjua.
Ackermann-toiminto	${}^{n}2={\mathrm {A}}(4,\;n-3)+3$	Mahdollistaa kirjallisen erikoistapauksen Ackermann-funktion kannalta. $a = 2$
Iteroitavissa oleva eksponentiaalinen merkintä	${}^{n}a=\exp _{a}^{n}(1)$	Mahdollistaa yksinkertaisen laajentamisen iteratiivisille eksponenteille, jotka alkavat muista arvoista kuin 1.
Hoosmand- merkintä ( englanniksi Hooshmand ) [6]	${\mathrm {uxp}}_{a}n,\quad a^{{\frac {n}{}}}$
Hyperoperaattorin merkintäjärjestelmä	$a^{{(4)}}n,\quad {\mathrm {hyper}}_{4}(a,\;n)$	Mahdollistaa pidentämisen lisäämällä 4; tämä antaa perheen hyperoperaattoreita .
ASCII kirjoitusjärjestelmä	a^^n	Koska ylöspäin osoittavaa nuolta käytetään identtisesti pistemerkin ( ^) merkinnän kanssa, tetratiooperaattori voidaan kirjoittaa muodossa ( ^^).
Bowers / Bird array -merkintä [7]	{a,b,2}	{a, b, c} = a^^^…^^^b (c superastenuolet).

Yksi yllä olevista järjestelmistä käyttää iteroitua eksponenttimerkintää; yleensä se määritellään seuraavasti:

\exp _{a}^{n}(x)=\alasiviiva {a^{{a^{{\cdot ^({\cdot ^({\cdot ^{{a^{x)))))) ) }}}}}}_{n}.

Iteroiduille eksponenteille ei ole olemassa monia merkintöjä, mutta muutama on esitetty alla:

Nimi	Lomake	Kuvaus
Vakiomerkintä	$\exp _{a}^{n}(x)$	Merkintäjärjestelmän ja iteratiivisen merkintäjärjestelmän esitteli Euler . $\exp _{a}(x)=a^{x}$ $f^{n}(x)$
Knuthin nuolen merkintä	$(a{\uparrow })^{n}(x)$	Mahdollistaa supervoimat ja supereksponentiaaliset funktiot nuolien määrän lisäämiseksi.
Hyper-E-merkintä	E(a)x#n
Ioannis Galidakis ( eng . Ioannis Galidakis ) merkintäjärjestelmä	${}^{n}(a,\;x)$	Mahdollistaa suurten lausekkeiden käytön pohjassa. [kahdeksan]
ASCII (lisä)	a^^n@x	Perustuu näkemykseen, että iteratiivinen eksponentti on lisätetratio .
ASCII (vakio)	exp_a^n(x)	Perustuu vakiomerkintään.

Esimerkkejä

Alla olevassa taulukossa useimmat arvot ovat liian suuria kirjoitettavaksi eksponentiaalisella merkinnällä, joten ne esitetään iteratiivisella eksponenttimerkinnällä kannassa 10. Desimaalipilkun sisältävät arvot ovat likimääräisiä. Esimerkiksi neljäs tetratio numerosta 3 (eli ) alkaa numerolla 1258, päättyy numeroon 39387 ja siinä on 3638334640025 numeroa, OEIS - sekvenssi on A241292 . ${\näyttötyyli 3^{3^{3^{3))))$

$x$	${}^{2}x$	${}^{3}x$	${}^{4}x$
yksi	yksi	yksi	yksi
2	neljä	16	65 536
3	27	7 625 597 484 987	$\exp _{{10}}^{3}(1{,}09902)$
neljä	256	$\exp _{{10}}^{2}(2{,}18788)$	$\exp _{{10}}^{3}(2{,}18726)$
5	3 125	$\exp _{{10}}^{2}(3{,}33931)$	$\exp _{{10}}^{3}(3{,}33928)$
6	46 656	$\exp _{{10}}^{2}(4{,}55997)$	$\exp _{{10}}^{3}(4{,}55997)$
7	823 543	$\exp _{{10}}^{2}(5{,}84259)$	$\exp _{{10}}^{3}(5{,}84259)$
kahdeksan	16 777 216	$\exp _{{10}}^{2}(7{,}18045)$	$\exp _{{10}}^{3}(7{,}18045)$
9	387 420 489	$\exp _{{10}}^{2}(8{,}56784)$	$\exp _{{10}}^{3}(8{,}56784)$
kymmenen	10 000 000 000	$\exp _{{10}}^{3}(1)$	$\exp _{{10}}^{4}(1)$

Avoimet numerot

Ei tiedetä, ovatko n π vai n e kokonaislukuja mille tahansa luonnolliselle n > 4 :lle . Ei edes tiedetä, onko se koko ${^4\pi}=\pi^{\pi^{\pi^\pi}}$ .
Ei tiedetä, voiko se olla rationaaliluku , jos kokonaisluku on suurempi kuin 3, ja se on rationaalinen, mutta ei kokonaisluku (sillä vastaus on negatiivinen) [9] . ${^nq}$ $n$ $q$ $n = 2,\,3$
Yhdelläkään kokonaisluvulla ei tiedetä, onko yhtälön positiivinen juuri rationaalinen, algebrallinen irrationaaliluku vai transsendentaalinen luku . $n>3$ ${^{n}x}=2$

Muistiinpanot

↑ Goodstein RL Transfinite ordinaals rekursiivisessa lukuteoriassa (neopr.) // Journal of Symbolic Logic. - 1947. - T. 12 . - doi : 10.2307/2266486 .
↑ Bromer N. Superexpontiation // Mathematics Magazine : aikakauslehti . - 1987. - Voi. 60 , ei. 3 . - s. 169-174 . Arkistoitu alkuperäisestä 27. tammikuuta 2017.
↑ Nelson E. Predikatiivinen aritmetiikka. - Princeton University Press, 1986.
↑ MacDonnell JF Hypervoimafunktion eräitä kriittisiä kohtia $\scriptstyle {x^{{x^{{\dots }}}}}$ // International Journal of Mathematical Education : Journal. - 1989. - Voi. 20 , ei. 2 . - s. 297-305 .
↑ Weisstein, Eric W. Power Tower Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
↑ Hooshmand MH Ultra -teho- ja ultraeksponentiaaliset funktiot (neopr.) // Integral Transforms and Special Functions. - 2006. - T. 17 , nro 8 . - S. 549-558 . - doi : 10.1080/10652460500422247 .
↑ Lähde . Käyttöpäivä: 20. tammikuuta 2013. Arkistoitu alkuperäisestä 21. lokakuuta 2014. (määrätön)
↑ Galidakis I. Hyper4:n ja Knuthin ylänuolimerkinnän laajentamisesta realseihin Arkistoitu 25. toukokuuta 2006 Wayback Machinessa .
↑ Marshall, Ash J. ja Tan, Yiren, "Rational number of form a a with a irrational", Mathematical Gazette 96, March 2012, pp. 106-109. . Haettu 28. huhtikuuta 2013. Arkistoitu alkuperäisestä 6. toukokuuta 2014. (määrätön)

Linkit

Andrew Robinsin tetratiota käsittelevä sivusto .
Daniel Geislerin tetratiota käsittelevä verkkosivusto .
Tetracy-keskustelufoorumi .
Kuznetsov D. Tetraatio erikoisfunktiona // Vladikavkaz Mathematical Journal. – 2010.

Isoja lukuja
Numerot	googol Shannonin numero Googolplex Skewesin numero Moser numero Grahamin numero PUU(3) Rayo numero
Toiminnot	Ackermann-toiminto Veblen-toiminto Buchholzin Psi-funktiot tetration Pentation Hyperoperaattori Nopeasti kasvava hierarkia Hierarkia kasvaa hitaasti Kova hierarkia
Merkinnät	Steinhaus-Moser-merkintä Knuthin nuolen merkintä Conway-nuolen merkintä Massiivinen Bowers-merkintä