Ehdollinen odotus

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 10. marraskuuta 2021 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 2 muokkausta .

Ehdollinen matemaattinen odotus todennäköisyysteoriassa on satunnaismuuttujan keskiarvo tietyssä tilanteessa (joidenkin tapahtumien toteutus). Usein ehdona toimii jollekin tasolle kiinnitetty toisen satunnaismuuttujan arvo, joka voidaan liittää annettuun satunnaismuuttujaan (jos nämä satunnaismuuttujat ovat riippumattomia, niin ehdollinen matemaattinen odotus osuu yhteen (ehdottoman) matemaattisen odotuksen kanssa). Tässä tapauksessa satunnaismuuttujan ehdollinen matemaattinen odotus , mikäli satunnaismuuttuja on saanut arvon, merkitään vastaavasti , sitä voidaan pitää funktiona . Tätä funktiota kutsutaan satunnaismuuttujan satunnaismuuttujan regressiofunktioksi , ja siksi ehdollinen matemaattinen odotus merkitään muodossa , eli ilman kiinteää arvoa . $Y$ $X$ $x$ $E(Y|X=x)$ $x$ $Y$ $X$ $E(Y|X)$ $x$

Ehdollinen odotus on ehdollisen jakauman ominaisuus .

Määritelmät

Oletetaan, että meille on annettu todennäköisyysavaruus . Olkoon integroitava satunnaismuuttuja , eli . Olkoon myös σ-algebran σ- aligebra . $(\Omega ,{\mathcal {F}),\mathbb {P})$ $X:\Omega \to \mathbb {R}$ $\mathbb {E} \vert X\vert <\infty$ ${\mathcal {G}}\subset {\mathcal {F}}$ ${\mathcal {F}}$

ULV suhteessa σ-algebraan

Satunnaismuuttujaa kutsutaan ehdolliseksi odotukseksi suhteessa σ-algebraan , jos ${\hattu {X}}$ $X$ ${\mathcal {G}}$

${\hattu {X}}$ mitattavissa suhteessa . ${\mathcal {G}}$
$\forall A\in {\mathcal {G)),\quad \mathbb {E} \left[{\hat {X}}\mathbf {1} _{A}\right]=\mathbb {E} [X \mathbf {1} _{A}]$ ,

missä on tapahtuman indikaattori (toisin sanoen se on joukkotapahtuman ominaisfunktio, jonka argumentti on satunnaismuuttuja tai alkeistulos). Ehdollinen matemaattinen odotus on merkitty . $\mathbf {1} _{A}$ $A$ $\mathbb {E} [X\mid {\mathcal {G}}]$

Esimerkki. Laitetaanpa . _ Sitten on σ-algebra ja . Olkoon satunnaismuuttujalla muoto $\Omega =\{1,2,3,4\},\,{\mathcal {F}}=2^{\Omega },\,\mathbb {P} (\omega )=1/4,\, \omega =1,\ldots ,4.$ ${\mathcal {G}}=\{\varnothing ,\{1,2\},\{3,4\},\Omega \}$ ${\mathcal {G}}$ ${\mathcal {G}}\subset {\mathcal {F}}$ $X$

X(\omega )=\omega ^{2},\;\omega =1,\ldots ,4

Sitten

\mathbb {E} [X\mid {\mathcal {G}}](\omega )=\left\{{\begin{matrix}{\frac {5}{2)),&\omega =1,2 \\[5pt]{\frac {25}{2}},&\omega =3,4.\end{matrix}}\oikea.

UMO koskien tapahtumaperhettä

Olkoon mielivaltainen tapahtumien perhe. Sitten ehdollista matemaattista odotusta kutsutaan suhteellisesti ${\mathcal {C}}=\{C_{\alpha }\}\subset {\mathcal {F}}$ $X$ ${\mathcal {C}}$

\mathbb {E} [X\mid {\mathcal {C}}]\equiv \mathbb {E} [X\mid \sigma ({\mathcal {C}})]

missä on pienin sigma-algebra, joka sisältää . $\sigma ({\mathcal {C}})$ ${\mathcal {C}}$

Esimerkki. Anna myös . Sitten . Olkoon satunnaismuuttujalla muoto $\Omega =\{1,2,3,4\},\,{\mathcal {F}}=2^{\Omega },\,\mathbb {P} (\omega )=1/4,\, \omega =1,\ldots ,4.$ $C=\{1,2,3\}$ $\sigma (C)=\{\varnothing ,\{1,2,3\},\{4\},\Omega \}\subset {\mathcal {F))$ $X$

X(\omega )=\omega ^{2},\;\omega =1,\ldots ,4

Sitten

\mathbb {E} [X\mid {\mathcal {C}}](\omega )=\left\{{\begin{matrix}{\frac {14}{3)),&\omega =1,2 ,3\\[5pt]16,&\omega =4.\end{matrix}}\oikea.

ULV suhteessa satunnaismuuttujaan

Olkoon toinen satunnaismuuttuja. Sitten ehdollista matemaattista odotusta kutsutaan suhteellisesti $Y:\Omega \to \mathbb {R}$ $X$ $Y$

\mathbb {E} [X\mid Y]\equiv \mathbb {E} [X\mid \sigma (Y)]

missä on satunnaismuuttujan generoima σ-algebra . $\sigma (Y)$ $Y$

Toinen ULV:n määritelmä koskee : $X$ $Y$

$\mathbb {E} (X\mid Y)=\mathbb {E} (X\mid Y=y)\mid _{y=Y}$

Tämä määritelmä kuvaa rakentavasti algoritmia ULV:n löytämiseksi:

löytää satunnaismuuttujan matemaattinen odotus vakiona ; $X$ $Y$ $y$
Korvaa sitten tuloksena olevassa lausekkeessa takaisin satunnaismuuttujalla . $y$ $Y$

Esimerkki : $X\equiv N(a,\sigma ^{2})$

$\mathbb {E} \left[{\frac {X}{Y}}\mid Y\right]=\mathbb {E} \left[{\frac {X}{y}}\right]\mid _{ y=Y}={\frac {1}{y}}\mathbb {E} [X]\mid _{y=Y}={\frac {a}{y}}\mid _{y=Y} ={\frac {a}{Y}}$

Ehdollinen todennäköisyys

Antaa olla mielivaltainen tapahtuma ja olla sen indikaattori. Silloin ehdollista todennäköisyyttä kutsutaan suhteellisesti $B\in {\mathcal {F}}$ $\mathbf {1} _{B}$ $B$ ${\mathcal {G}}$

\mathbb {P} (B\mid {\mathcal {G}})\equiv \mathbb {E} [\mathbf {1} _{B}\mid {\mathcal {G}}]

Muistiinpanot

Ehdollinen odotusarvo on satunnaismuuttuja, ei luku.
Ehdollinen matemaattinen odotus määritellään nollatodennäköisyystapahtumaan saakka . Siten jos ja - melkein kaikkialla , niin . Kun olet tunnistanut satunnaismuuttujat, jotka eroavat vain todennäköisyydellä nolla, saamme ehdollisen matemaattisen odotuksen ainutlaatuisuuden. ${\hat {X}}_{1}=\mathbb {E} [X\mid {\mathcal {G}}]$ ${\hattu {X}}_{1}={\hattu {X}}_{2}$ $\mathbb {P}$ ${\hat {X}}_{2}=\mathbb {E} [X\mid {\mathcal {G}}]$
Ottamalla , saamme määritelmän mukaan: $A=\Omega$

\mathbb {E} [X]=\mathbb {E} [\mathbb {E} [X\mid {\mathcal {G}}]]

ja erityisesti kokonaistodennäköisyyskaava on voimassa :

\mathbb {P} (B)=\mathbb {E} [\mathbb {P} (B\mid {\mathcal {G)))]

Olkoon σ-algebra generoitu osion avulla . Sitten ${\mathcal {G}}=\sigma (C_{1},\ldots ,C_{n})$ $\{C_{i}\}_{i=1}^{\infty }$

\mathbb {E} [X\mid {\mathcal {G}}]=\sum _{i=1}^{\infty }\mathbb {E} [X\mid C_{i}]\mathbf {1} _{C_{i}}

Erityisesti kokonaistodennäköisyyskaava on klassisessa muodossa:

\mathbb {P} (A\mid {\mathcal {G))=\sum \limits _{i=1}^{\infty }\mathbb {P} (A\mid C_{i})\mathbf { 1 }_{C_{i}}

ja näin ollen

\mathbb {E} [\mathbb {P} (A\mid {\mathcal {G))]=\sum \limits _{i=1}^{\infty }\mathbb {P} (A \ mid C_{i})\mathbb {E} [\mathbf {1} _{C_{i}}]=\sum \limits _{i=1}^{\infty }\mathbb {P} (A\ mid C_{i})\,\mathbb {P} (C_{i})=\mathbb {P} (A)

Perusominaisuudet

Jos , niin on olemassa Borel-funktio sellainen, että ${\hat {X}}=\mathbb {E} [X\mid Y]$ $h:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$

{\hattu {X}}=h(Y)

Tapahtuman ehdollinen odotus on määritelmän mukaan yhtä suuri kuin $X$ $\{Y=y\}$

\mathbb {E} [X\mid Y=y]\equiv h(y)

Jos a.s. , sitten a.s. $X\geq 0$ $\mathbb {E} [X\mid {\mathcal {G}}]\geq 0$
Jos riippumaton , niin $X$ ${\mathcal {G}}$

\mathbb {E} [X\mid {\mathcal {G}}]=\mathbb {E} [X]

b.s.

Erityisesti jos riippumattomia satunnaismuuttujia, niin $X,Y$

\mathbb {E} [X\mid Y]=\mathbb {E} [X]

b.s.

Jos on kaksi σ-algebraa sellainen, että , niin ${\mathcal {G}}_{1},{\mathcal {G}}_{2}$ ${\mathcal {G}}_{1}\subset {\mathcal {G}}_{2}\subset {\mathcal {F}}$

\mathbb {E} [\mathbb {E} [X\mid {\mathcal {G}}_{2}]\mid {\mathcal {G}}_{1}]=\mathbb {E} [X\ puolivälissä {\mathcal {G}}_{1}]

Jos — on mitattavissa, ja — on satunnaismuuttuja niin, että , sitten $X$ ${\mathcal {G}}$ $Y$ $Y,XY\in L^{1}$

\mathbb {E} [XY\mid {\mathcal {G}}]=X\,\mathbb {E} [Y\mid {\mathcal {G}}]

"Odotus poistaa ehdon." Tämä sääntö pätee satunnaismuuttujan ULV:lle (tässä tapauksessa ULV on satunnaismuuttuja) ja ehdolliseen todennäköisyyteen satunnaismuuttujan suhteen.

\mathbb {E} [\mathbb {E} (X\mid Y)]=\mathbb {E} (X)

Lisäominaisuudet

ULV diskreeteille määrille

Olkoon diskreetti satunnaismuuttuja , jonka jakauman antaa todennäköisyysfunktio . Tällöin tapahtumajärjestelmä on osio , ja $Y$ $\mathbb {P} (Y=y_{j})\equiv p_{Y}(y_{j})=p_{j}>0,\;j=1,2,\ldots$ $\{Y=y_{j}\}$ $\Omega$

\mathbb {E} [X\mid Y]=\sum \limits _{j=1}^{\infty }\mathbb {E} [X\mid Y=y_{j}]\mathbf {1} _{ \{Y=y_{j}\}}

\mathbb {E} [X\mid Y=y_{j}]=\mathbb {E} _{j}[X]

jossa tarkoittaa matemaattista odotusta suhteessa ehdolliseen todennäköisyyteen . $\mathbb {E} _{j}$ $\mathbb {P} _{j}(\cdot )=\mathbb {P} (\cdot \mid Y=y_{j})$

Jos satunnaismuuttuja on myös diskreetti, niin $X$

\mathbb {E} [X\mid Y=y_{j}]=\sum \limits _{i=1}^{\infty }x_{i}\,\mathbb {P} (X=x_{i} \mid Y=y_{j})=\sum \limits _{i=1}^{\infty }x_{i}\,p_{X\mid Y}(x_{i}\mid y_{j})

missä on satunnaismuuttujan ehdollinen todennäköisyysfunktio suhteessa . $p_{X\mid Y}$ $X$ $Y$

ULV ehdottoman jatkuville satunnaismuuttujille

Olkoon satunnaismuuttujia sellaisia, että vektori on ehdottoman jatkuva , ja sen jakauman antaa todennäköisyystiheys . Otetaan käyttöön ehdollinen tiheys , asetettuna määritelmän mukaan $X,Y$ $(X,Y)^{\ylä }$ $f_{{X,Y}}(x,y)$ $f_{X\mid Y}$

f_{X\mid Y}(x\mid y)={\frac {f_{X,Y}(x,y)}{f_{Y}(y)))

missä on satunnaismuuttujan todennäköisyystiheys . Sitten $f_{Y}$ $Y$

\mathbb {E} [X\mid Y]=h(Y)

missä funktiolla on muoto $h$

h(y)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }x\,f_{X\mid Y}(x\mid y)\,dx

Erityisesti,

\mathbb {E} [X\mid Y=y_{j}]=\int \limits _{-\infty }^{\infty }x\,f_{X\mid Y}(x\mid y_{j} )\,dx

UMO in L 2

Tarkastellaan satunnaismuuttujien avaruutta, joilla on äärellinen toinen momentti . Se määrittelee skalaaritulon $L^{2}$

\langle X,Y\rangle \equiv \mathbb {E} [XY],\;\kaikki X,Y\in L^{2}

ja sen synnyttämä normi

\|X\|={\sqrt {\mathbb {E} \left[X^{2}\right]}},\;\forall X\in L^{2}

Kaikkien satunnaismuuttujien joukko, joilla on äärellinen toinen momentti ja mitattavissa suhteessa , missä on aliavaruus . Sitten tasa-arvon antama operaattori $L_{\mathcal {G}}^{2}$ ${\mathcal {G}}$ ${\mathcal {G}}\subset {\mathcal {F}}$ $L^{2}$ $\Pi _{L_{\mathcal {G}}^{2}}:L^{2}\to L^{2}$

\Pi _{L_{\mathcal {G}}^{2}}(X)=\mathbb {E} [X\mid {\mathcal {G}}]

on ortogonaalisen projektiooperaattori . Erityisesti: $L_{\mathcal {G}}^{2}$

Ehdollinen odotusarvo on paras neliön keskiarvon likiarvo mitattavilla satunnaismuuttujilla: $\mathbb {E} [X\mid {\mathcal {G}}]$ $X$ ${\mathcal {G}}$

\|X-\mathbb {E} [X\mid {\mathcal {G}}]\|=\inf \limits _{Z\in L_{\mathcal {G}}^{2}}\|XZ\ |

Ehdollinen odotus säästää pistetulon:

\langle X,Z\rangle =\langle \mathbb {E} [X\mid {\mathcal {G}}],Z\rangle ,\;\forall Z\in L_{\mathcal {G}}^{2 }

Ehdollinen odotus on idempotentti :

\Pi _{L_{\mathcal {G}}^{2}}^{2}=\Pi _{L_{\mathcal {G}}^{2}}

Katso myös

Ehdollinen jakelu

Tarkoittaa
Matematiikka	Tehon keskiarvo ( painotettu ) harmoninen keskiarvo painotettu geometrinen keskiarvo painotettu Keskiverto painotettu juuri tarkoittaa neliötä Keskimääräinen kuutio liukuva keskiarvo Aritmeettis-geometrinen keskiarvo Toiminto Keskiarvo Kolmogorov tarkoittaa
Geometria	geometrinen keskusta Barycenter
Todennäköisyysteoria ja matemaattinen tilasto	Winsorized keskiarvo näytteen keskiarvo Odotettu arvo Mediaani Muoti keskihajonta Katkaistu keskiarvo Ehdollinen odotus
Tietotekniikka	Medoid k-mediaani menetelmä
Lauseet	Ensimmäinen keskiarvolause Toinen keskiarvolause Aritmeettisen, geometrisen ja harmonisen keskiarvon epäyhtälö
muu	Jakelukeskuksen mittarit