Fuchs ryhmä

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 15. tammikuuta 2022 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 2 muokkausta .

Fuksialainen ryhmä on PSL(2, R ) -ryhmän erillinen alaryhmä . Ryhmää voidaan pitää hyperbolisen tason liikkeiden ryhmänä tai yksikkökiekon konformaalisina mappauksina tai ylemmän puolitason konformisina mappauksina . Näin ollen fuksialaista ryhmää voidaan pitää ryhmänä, joka toimii missä tahansa näistä tiloista. Muissa tulkinnoissa fuksialainen ryhmä määritellään ryhmäksi, jossa on äärellinen määrä generaattoreita , tai aliryhmäksi, joka sisältää suuntaa säilyttäviä elementtejä. On myös hyväksyttävää määritellä fuksialainen ryhmä kleinilaiseksi ( diskreetti PSL(2, C ) -ryhmä ), joka on konjugoitu aliryhmään . $\mathrm {PSL} (2,\mathbb {R} )$ $\mathrm {PGL} (2,\mathbb {R} )$ $\mathrm {PSL} (2,\mathbb {R} )$

Fuksialaisia ryhmiä käytetään fuksialaisen mallin luomiseen Riemannin pinnoista . Tässä tapauksessa ryhmää voidaan kutsua fuksialaiseksi pintaryhmäksi . Eräässä mielessä fuksialaiset ryhmät tekevät ei-euklidiselle geometrialle samoin kuin kristallografiset ryhmät euklidiselle geometrialle . Jotkut Escherin piirustuksista perustuvat fuksialaisiin ryhmiin (Lobatševskin geometrian levymallille ).

Yleisiä fuksialaisia ryhmiä tutki ensimmäisenä Henri Poincaré [1] , joka kiinnostui Lazarus Fuchsin [2] artikkelista , ja tämä nimi tulee hänen nimestään.

Fuksialaiset ryhmät ylemmällä puolitasolla

Antaa olla ylempi puolitaso . Sitten on hyperbolisen tason malli , joka toimitetaan metriikan mukana $\mathbb {H} =\{z\in \mathbb {C} :\mathrm {Im} (z)>0$ ${\mathbb {H}}$

ds={\frac {1}{y}}{\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}.

Ryhmä PSL(2, R ) toimii murto- lineaarisessa muunnoksessa (joka tunnetaan nimellä Möbius-muunnos ): ${\mathbb {H}}$

{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\cdot z={\frac {az+b}{cz+d)).

Tämä toiminta on tehokas ja itse asiassa isomorfinen kaikkien suuntausta säilyttävien liikkeiden ryhmälle . $\mathrm {PSL} (2,\mathbb {R} )$ ${\mathbb {H}}$

Fuksialainen ryhmä voidaan määritellä ryhmän alaryhmäksi, joka toimii epäjatkuvasti . Tuo on $\Gamma$ $\mathrm {PSL} (2,\mathbb {R} )$ ${\mathbb {H}}$

Minkä tahansa z : n kiertoradalla ei ole rajapisteitä . ${\mathbb {H}}$ ${\displaystyle {\Gamma }z=\{{\gamma }z\colon \gamma \in \Gamma \))$ ${\mathbb {H}}$

Vastaava määritelmä on fuksialainen ryhmä, kun . Se tarkoittaa sitä: $\Gamma$ $\Gamma$

Mikä tahansa elementtijono , joka konvergoi identtisyyselementtiin tavanomaisessa pisteittäisen konvergenssin topologiassa, on lopulta vakio, eli on olemassa kokonaisluku N siten, että mille tahansa n > N , jossa E on identiteettimatriisi. ${\displaystyle \{\gamma _{n}\))$ $\Gamma$ $\gamma _{n}=E$

Vaikka epäjatkuvuus ja diskreettisyys ovat samat tässä tapauksessa, tämä ei pidä paikkaansa mielivaltaisten konformisten homeomorfismien ryhmien tapauksessa, jotka vaikuttavat koko Riemannin sfääriin (toisin kuin ). Lisäksi fuksialainen ryhmä on diskreetti, mutta sillä on rajapisteet reaaliviivalla Im z = 0 - elementeillä on z = 0 mille tahansa rationaaliluvulle ja rationaaliluvut ovat tiheitä . ${\mathbb {H}}$ $\mathrm {PSL} (2,\mathbb {Z} )$ $\mathrm {PSL} (2,\mathbb {Z} )$ $\mathbb {Q}$ $\mathbb {R}$

Perusmääritelmä

Lineaarinen murtolukumuunnos, jonka määrittelee matriisi , säilyttää Riemannin pallon , mutta lähettää ylemmän puolitason jollekin avoimelle levylle . Muunnoskonjugaatti tällaiseen muunnokseen lähettää diskreetin aliryhmän ryhmän erilliseen aliryhmään säilyttäen samalla . $\mathrm {PSL} (2,\mathbb {C} )$ $\mathbf {P} ^{1}(\mathbb {C} )=\mathbb {C} \cup \infty$ ${\mathbb {H}}$ $\Delta$ $\mathrm {PSL} (2,\mathbb {R} )$ $\mathrm {PSL} (2,\mathbb {C} )$ $\Delta$

Tästä syntyy seuraava fuksialaisen ryhmän määritelmä . Antaa toimii muuttumattomana omalla avoimella levyllään , eli . Silloin on fuksialainen , jos ja vain jos jokin seuraavista vastaavista ominaisuuksista pätee: $\Gamma \subset \mathrm {PSL} (2,\mathbb {C} )$ $\Delta \subset \mathbb {C} \cup \infty$ $\Gamma (\Delta )=\Delta$ $\Gamma$

$\Gamma$ on erillinen ryhmä (ottaen huomioon vakiotopologian kohdassa ). $\mathrm {PSL} (2,\mathbb {C} )$
$\Gamma$ toimii oikein epäjatkuvasti joka kohdassa . $z\in \Delta$
joukko on epäjatkuvuusalueen osajoukko . $\Delta$ $\Omega (\Gamma )$ $\Gamma$

Toisin sanoen mitä tahansa näistä kolmesta ominaisuudesta voidaan käyttää fuksialaisen ryhmän määritelmänä, muut seuraavat valitusta määritelmästä lauseena. Oikean invariantin epäjatkuvan osajoukon käsitys on tärkeä. Ns. Picard-ryhmä on diskreetti, mutta ei säilytä yhtään levyä Riemannin sfäärissä. Lisäksi edes modulaarinen ryhmä , joka on fuksialainen ryhmä, ei toimi epäjatkuvasti oikealla linjalla. Sillä on rajapisteitä rationaalisissa luvuissa . Samoin ajatus siitä, mikä on epäjatkuvuusalueen oikea osajoukko, on tärkeä. Jos tätä ei ole, alaryhmää kutsutaan Kleinian ryhmäksi . $\Delta$ $\mathrm {PSL} (2,\mathbb {Z} [i])$ $\mathrm {PSL} (2,\mathbb {Z} )$ $\Delta$

Yleensä joko avoin yksikkölevy tai ylempi puolitaso otetaan invariantiksi alueeksi . $\Delta$

Raja asettaa

Kun otetaan huomioon toiminnan diskreetti, ylemmän puolitason pisteen z kiertoradalla toiminnan alla ei ole kondensaatiopisteitä ylemmässä puolitasossa. Reaaliakselilla voi kuitenkin olla rajapisteitä. Antaa olla raja joukko ryhmän , Eli joukko rajapisteitä varten . Sitten . Rajajoukko voi olla tyhjä tai koostua yhdestä tai kahdesta pisteestä tai se voi koostua äärettömästä määrästä. Jälkimmäisessä tapauksessa on kaksi vaihtoehtoa: ${\Gamma }z$ $\Gamma$ $\Lambda (\Gamma )$ $\Gamma$ ${\Gamma }z$ $z\in \mathbb {H}$ $\Lambda (\Gamma )\subseteq \mathbb {R} \cup \infty$

Ensimmäisen tyypin fuksialainen ryhmä on ryhmä, jonka raja-arvo on suljettu reaalirivi . Tämä tapahtuu, kun osamääräavaruuden tilavuus on äärellinen, mutta on olemassa ensimmäisen tyyppisiä fuksialaisia ryhmiä, joilla on ääretön kotilavuus. $\mathbb {R} \cup \infty$ $\mathbb {H} /\Gamma$

Muuten fuksialaisen ryhmän sanotaan olevan toista tyyppiä . Vastaavasti se on ryhmä, jolle asetettu raja on täydellinen joukko , eli ei missään tiheä joukko . Koska se ei ole missään tiheä, tästä seuraa, että mikä tahansa rajapiste on mielivaltaisen lähellä jotakin avointa joukkoa, joka ei kuulu rajajoukkoon. Toisin sanoen asetettu raja on Cantor-joukko . $\mathbb {R} \cup \infty$

Fuksialaisen ryhmän tyypin ei tarvitse olla sama, jos sitä pidetään Kleinian-ryhmänä – itse asiassa kaikki fuksialaiset ryhmät ovat toisen tyypin kleinisiä ryhmiä, koska niiden rajajoukot (kleiniläisinä ryhminä) ovat Riemannin sfäärin varsinaisia osajoukkoja. sisältyy johonkin ympyrään.

Esimerkkejä

Esimerkki fuksialaisesta ryhmästä on modulaarinen ryhmä . Se on lineaaristen murto-osien muunnoksia koostuvan ryhmän alaryhmä $\mathrm {PSL} (2,\mathbb {Z} )$ $\mathrm {PSL} (2,R)$

{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\cdot z={\frac {az+b}{cz+d}}

missä a , b , c , d ovat kokonaislukuja. Osamääräavaruus on elliptisten käyrien moduuliavaruus . $\mathbb {H} /\mathrm {PSL} (2,\mathbb {Z} )$

Fuksialaiset ryhmät sisältävät myös ryhmät kullekin n > 0:lle. Tässä se koostuu yllä olevan muodon lineaarisista murto-muunnoksista , joissa matriisin elementit $\Gamma (n)$ $\Gamma (n)$

{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}

ovat vertailukelpoisia identiteettimatriisin elementtien kanssa alimoduulin n suhteen .

Yhteistiivis esimerkki on (tavallinen) kolmioryhmä (2,3,7) (kiertojen mukaan), joka sisältää kaikki Kleinin kvartisten ja McBeathin pintojen fuksialaiset ryhmät , kuten muut Hurwitz-ryhmät . Yleisemmin sanottuna mikä tahansa hyperbolinen von Dyck - ryhmä (kolmioryhmän alaryhmä , jonka indeksi 2 vastaa suuntaa säilyttäviä liikkeitä) on fuksialainen ryhmä.

Kaikki ne ovat ensiluokkaisia fuksialaisia ryhmiä .

Kaikki ryhmän hyperboliset ja paraboliset sykliset alaryhmät ovat fuksialaisia. $\mathrm {PSL} (2,\mathbb {R} )$
Mikä tahansa elliptinen syklinen alaryhmä on fuksialainen, jos ja vain jos se on äärellinen.
Mikä tahansa Abelin fuksialainen ryhmä on syklinen.
Mikään fuksialainen ryhmä ei ole isomorfinen . $\mathbb {Z} \times \mathbb {Z}$
Olkoon ei-abelilainen fuksialainen ryhmä. Sitten ryhmän normalisoija on fuksialainen. $\Gamma$ $\Gamma$ $\mathrm {PSL} (2,\mathbb {R} )$

Mittarin ominaisuudet

Jos h on hyperbolinen alkio, ylemmän puolitason ryhmätoiminnan translaatiopituus L liittyy h : n jälkiin matriisina suhteella ${\näyttötyyli 2\kertaa 2}$

|\mathrm {tr} \;h|=2\cosh {\frac {L}{2)).

Samanlainen ominaisuus pätee vastaavan Riemannin pinnan systolia , jos fuksialainen ryhmä on vääntövapaa ja kokompakti.

Katso myös

Lähes fuksialainen ryhmä
Ei-euklidinen kristallografinen ryhmä
Schottky-ryhmä

Kirjallisuus

Lazarus Fuchs . Ueber eine Klasse von Funktionen mehrerer Variablen, welche durch Umkehrung der Integrale von Lösungen der linearen Differentialgleichungen mit rationalen Coeffizienten entstehen // J. Reine Angew. Matematiikka.. - 1880. - T. 89 . — S. 151–169 .
Hershel M. Farkas, Irwin Kra. Katso kohta 1.6 // Theta-vakiot, Riemannin pinnat ja modulaarinen ryhmä. - Providence R.I.: American Mathematical Society . — ISBN 978-0-8218-1392-8 .
Henryk Iwaniec . Katso luku 2. // Spectral Methods of Automorphic Forms, toinen painos. - Providence, RI: America Mathematical Society, 2002. - V. 53. - ( Graduate Studies in Mathematics ). - ISBN 978-0-8218-3160-1 .
Svetlana Katok . Fuksialaiset ryhmät. - Chicago: University of Chicago Press, 1992. - ISBN 978-0-226-42583-2 .
David Mumford , Caroline-sarja, David Wright. Indran helmet: Felix Kleinin visio . - Cambridge University Press, 2002. - ISBN 978-0-521-35253-6 . .
Peter J. Nicholls. Diskreettien ryhmien ergodinen teoria. - Cambridge: Cambridge University Press, 1989. - V. 143. - (London Mathematical Society Lecture Note Series). - ISBN 978-0-521-37674-7 .
Henri Poincare . Théorie des groupes fuchsiens // Acta Mathematica . - Springer Alankomaat, 1882. - T. 1 . - S. 1-62 . — ISSN 0001-5962 . - doi : 10.1007/BF02592124 .
Ernest B. Winberg . Matemaattinen tietosanakirja / päätoimittaja I.M. Vinogradov. - Neuvostoliiton tietosanakirja, 1977. - V. 5.