Keskitin ja normalisoija

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 14. lokakuuta 2018 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 4 muokkausta .

Matematiikassa ryhmän G osajoukon S keskittäjä on joukko G :n elementtejä, jotka kommutoivat S :n jokaisen elementin kanssa , ja S : n normalisoija on joukko G :n elementtejä, jotka kommutoivat S :n kanssa "kokonaisuutena". Keskittäjä ja normalisoija S ovat G :n alaryhmiä ja voivat valaista G:n rakennetta .

Määritelmä koskee myös puoliryhmiä .

Rengasteoriassa renkaan osajoukon keskittäjä määritellään suhteessa puoliryhmäoperaatioon (kerroin). R :n osajoukon keskittäjä on R : n alijoukko . Tässä artikkelissa puhutaan myös Lie-algebran keskittäjistä ja normalisoijista .

Idealisoija puoliryhmässä tai renkaassa on toinen rakennelma samaan tapaan kuin keskittäjä ja normalisoija.

Määritelmät

Ryhmät ja puoliryhmät

Ryhmän (tai puoliryhmän) G osajoukon S keskittäjä määritellään [1]

\mathrm{C}_G(S)=\{g\in G\mid sg=gs

kaikille

s\in S\}

Joskus epäselvyyden puuttuessa ryhmä G on täysin määritelty merkinnällä. Jos S ={ a } on joukko, joka koostuu yhdestä alkiosta, C G ({ a }) voidaan pelkistää C G :ksi ( a ). Toinen, vähemmän yleinen keskittäjän merkintätapa on Z( a ), joka on rinnakkainen ryhmän keskipisteen merkinnän kanssa . Tässä on varottava sekoittamasta G:n, Z( G ) keskustaa G : n elementin g keskittäjään , jota merkitään Z( g ).

Normalisoija S ryhmässä (tai puoliryhmässä) G on määritelmän mukaan yhtä suuri kuin

\mathrm{N}_G(S)=\{ g \in G \mid gS=Sg \}

Määritelmät ovat samanlaisia, mutta eivät identtisiä. Jos g on S :n keskittäjä ja s kuuluu S :ään , niin jos g on normalisoija, jollekin t :lle S :ssä , mahdollisesti erilainen kuin s . Samaa käytäntöä G :n ja sulkeiden jättämisestä pois yhden elementin joukoista käytetään myös normalisoijalle. Normalisoijaa ei pidä sekoittaa normaaliin sulkemiseen . $gs = vk$ $gs = tg$

Sormukset, algebrat, renkaat ja Lie-algebrat

Jos R on rengas tai algebra ja S on renkaan osajoukko, niin S :n keskittäjä on täsmälleen sama kuin ryhmien määritelmä, paitsi että G korvataan R :llä .

Jos on Lie-algebra (tai Lie-rengas ) Lie-tulolla [ x , y ], niin osajoukon S keskittäjä määritellään [2] $\mathfrak{L}$ $\mathfrak{L}$

\mathrm{C}_{\mathfrak{L}}(S)=\{ x \in \mathfrak{L} \mid [x,s]=0

kaikille

s\in S\}

Lie-renkaiden keskittäjien määritelmä liittyy renkaiden määritelmään seuraavalla tavalla. Jos R on assosiatiivinen rengas, niin R :lle voidaan asettaa hakasulkutulo [ x , y ] = xy − yx . Luonnollisesti xy = yx jos ja vain jos [ x , y ] = 0. Jos merkitsemme joukkoa R hakasulkutulolla L R , niin on selvää, että renkaan S keskittäjä R :ssä on sama kuin Lie:n keskittäjä. rengas S L R :ssä .

Lie-algebran (tai Lie-renkaan) osajoukon S normalisoija saadaan yhtälöllä [2] $\mathfrak{L}$

\mathrm{N}_{\mathfrak{L}}(S)=\{ x \in \mathfrak{L} \mid [x,s]\in S

kaikille

s\in S\}

Vaikka tämä määritelmä on standardi termille "normalisoija" Lie-algebrassa, on huomattava, että tämä konstruktio on itse asiassa joukon S in idealisoija . Jos S on additiivinen alaryhmä , niin on suurin Lie-alirengas (tai Lie-alibalgebra), jossa S on Lie - ideaali . [2] $\mathfrak{L}$ $\mathfrak{L}$ $\mathrm{N}_{\mathfrak{L}}(S)$

Ominaisuudet

Puoliryhmät

Olkoon S ′ keskittäjä, eli kaikille Sitten: $S'=\{x\in A: sx=xs\$ $s\in S\}.$

S ′ muodostaa aliryhmän .
$S' = S''' = S''''''$ — kommutaattori on sen bicommutantti .

Ryhmät [3]

Keskittäjä ja normalisoija S ovat G :n alaryhmiä .
On selvää, että C G (S)⊆ N G (S). Itse asiassa C G ( S ) on aina NG : n ( S ) normaali alaryhmä .
C G ( C G (S)) sisältää S :n , mutta C G (S) ei välttämättä sisällä S :tä . C G (S) vastaa S :tä , jos st = ts mille tahansa s :lle ja t : lle S :stä . Luonnollisesti, jos H on G : n Abelin alaryhmä , C G (H) sisältää H :n .
Jos S on G :n aliryhmä , niin N G (S) sisältää S :n .
Jos H on G :n alaryhmä , niin suurin alaryhmä, jossa H on normaali, on NG: n (H) alaryhmä .
G :n keskus on täsmälleen C G (G) ja G on Abelin ryhmä silloin ja vain jos C G (G)=Z( G ) = G .
Yhdestä alkiosta koostuville joukoille C G ( a )= N G ( a ).
Symmetriaperiaatteesta, jos S ja T ovat G :n kaksi osajoukkoa , T ⊆ C G ( S ) jos ja vain jos S ⊆ C G ( T ).
Ryhmän G alaryhmälle H tekijäryhmä NG ( H )/ CG ( H ) on isomorfinen alaryhmälle Aut( H ) , ryhmän H automorfismiryhmälle . Koska N G ( G ) = G ja C G ( G ) = Z( G ), tästä seuraa myös, että G /Z( G ) on isomorfinen Inn( G ) kanssa, joka on Aut( G ) -alaryhmä, joka koostuu kaikista sisäisistä automorfismista . G . _
Jos määrittelemme ryhmähomomorfismin T : G → Inn( G ) asettamalla T ( x )( g ) = T x ( g ) = xgx −1 , niin voimme kuvata N G ( S ) ja C G ( S ) ryhmän Inn( G ) toimintaehdot G : llä: Inn ( G ) :n stabilointiaine S on T ( NG ( S )), ja alaryhmän Inn( G ), joka kiinnittää S : n , on T ( CG ( S ) ).

Sormukset ja algebrat [2]

Renkaiden ja algebroiden keskittäjät ovat osarenkaita ja ali-algebroita, ja Lie-renkaiden ja Lie-algebroiden keskittäjät ovat Lie-alirenkaita ja Lie-ali-algebroita.
Lie-renkaan normalisoija S sisältää keskittimen S .
C R ( C R ( S )) sisältää S :n, mutta ei välttämättä ole sama kuin se. Kaksoiskeskittäjälause käsittelee tapauksia, joissa tulos on täsmäys.
Jos S on Lie-renkaan A additiivinen alaryhmä , niin NA ( S ) on A : n suurin Lie-aliryhmä , jossa S on Lie-ideaali.
Jos S on Lie-alarengas A , niin S ⊆ N A ( S ).

Katso myös

Vaihtaa
Alaryhmän stabilointiaine
Norma (ryhmäteoria)
Kertoimet ja keskittäjät (Banach-välit)
Kaksoiskeskittäjälause
Idealisoija

Muistiinpanot

↑ Jacobson, 2009 , s. 41.
↑ 1 2 3 4 Jacobson, 1979 .
↑ Isaacs, 2009 .

Linkit

I. Martin Isaacs. Algebra: jatkokurssi. — uusintapainos vuoden 1994 alkuperäisestä. — Providence, RI: American Mathematical Society, 2009. — s. xii+516. — (matematiikan jatko-opinnot). - ISBN 978-0-8218-4799-2 .
Nathan Jacobson. Perusalgebra. - 2. - Dover, 2009. - T. 1. - ISBN 978-0-486-47189-1 .
Nathan Jacobson. Valhe algebra. vuoden 1962 alkuperäisen uudelleenjulkaisu. - New York: Dover Publications Inc., 1979. - P. ix + 331. — ISBN 0-486-63832-4 .