Puhdas kuvitteellinen luku

... (valittu fragmentti toistuu loputtomasti)
i −3 = i
i -2 = -1
i −1 = − i
i 0 = 1
i 1 = i
i 2 = -1
i 3 = − i
i 4 = 1
i 5 = i
i 6 = -1
i n = i m missä m ≡ n mod 4

Puhtaasti imaginaariluku on kompleksiluku , jonka reaaliosa on nolla . Joskus vain tällaisia lukuja kutsutaan imaginaariluvuiksi, mutta termiä käytetään myös viittaamaan mielivaltaisiin kompleksilukuihin, joissa on nollasta poikkeava imaginaariosa [1] . Termiä "kuvitteellinen luku" ehdotti 1600-luvulla ranskalainen matemaatikko René Descartes [2] , alun perin tällä termillä oli halventava merkitys, koska sellaisia lukuja pidettiin fiktiivisinä tai hyödyttöminä, ja vasta Leonhard Eulerin ja Carl Gaussin teosten jälkeen. saiko tämä käsite tunnustusta tiedeyhteisössä.

Määritelmät

Antaa olla kompleksiluku, jossa ja ovat todellisia lukuja . Numeroita tai ja tai kutsutaan vastaavasti reaali- ja imaginaariosiksi (samanlaiset kuin englanninkielisissä real, imaginary ) osissa . $z=x+iy$ $x$ $y$ $x=\Re(z)$ $\operaattorinimi {Re}~z$ $y=\Im (z)$ $\operaattorinimi {Im}~z$ $z$

Jos , niin kutsutaan puhtaasti kuvitteellinen numero. $x=0$ $z$
Jos , niin on reaaliluku . $y = 0$ $z$

Historia

Antiikin kreikkalainen matemaatikko ja insinööri Heron Aleksandrialainen [3] [4] mainitsi teoksissaan ensimmäisenä kuvitteelliset luvut , mutta säännöt aritmeettisten operaatioiden (erityisesti kertolasku ) suorittamisesta niille otti käyttöön Raphael Bombelli vuonna 1572 . Bombellin konsepti on ennen samanlaista Gerolamo Cardanon työtä . 1500-1600-luvuilla suurin osa tiedeyhteisöstä piti kuvitteellisia lukuja fiktiivisinä tai hyödyttöminä (samanlailla kuin nollan käsite aikoinaan käsitettiin ). Erityisesti Rene Descartes, joka mainitsi imaginaariset luvut perustavanlaatuisessa työssään " Geometria ", käytti termiä "imaginaari" halventavassa merkityksessä [5] [6] . Imaginaarilukujen käyttö yleistyi vasta Leonhard Eulerin (1707-1783) ja Carl Friedrich Gaussin (1777-1855) töissä. Kaspar Wessel (1745-1818) kuvasi ensimmäisen kerran kompleksilukujen geometrisen merkityksen tasopisteinä [7] .

Vuonna 1843 irlantilainen matemaatikko William Hamilton laajensi ajatuksen imaginaarilukujen akselista tasossa neliulotteiseen kvaternionavaruuteen , jossa kolme ulottuvuutta ovat analogisia kompleksisen kentän imaginaarilukujen kanssa.

Kun polynomien renkaan käsite kehitettiin tekijärenkaiden teoriassa, imaginaariluvun käsitteestä tuli mielekkäämpi ja sitä kehitettiin edelleen käsitteellä j - bikompleksiset luvut , jonka neliö on yhtä suuri kuin +1 . Tämä ajatus esiintyi englantilaisen matemaatikon James Cocklen 1848 artikkelissa 8] .

Geometrinen tulkinta

Kompleksilukutasossa imaginaariluvut ovat pystyakselilla, joka on kohtisuorassa reaalilukuakseliin nähden . Eräs tapa tulkita imaginaarilukuja geometrisesti on tarkastella standardilukuviivaa , jossa positiiviset luvut ovat oikealla ja negatiiviset luvut vasemmalla. X -akselin pisteen 0 kautta y -akseli voidaan piirtää "positiivisella" suunnalla ylöspäin; "positiiviset" imaginaariluvut kasvavat suuruusluokkaa ylöspäin, kun taas "negatiiviset" imaginaariluvut kasvavat alaspäin. Tätä pystyakselia kutsutaan usein "kuvitteelliseksi akseliksi" ja se merkitään i ℝ , , tai ℑ . $\scriptstyle \mathbb {I}$

Tässä esityksessä kertominen -1 :llä vastaa 180 asteen kiertoa origosta. Kertominen i :llä vastaa 90 asteen kiertoa "positiiviseen" suuntaan (eli vastapäivään), ja yhtälö i 2 = −1 tulkitaan niin, että jos käytämme kahta 90 asteen kiertoa origon ympäri, tuloksena on yksi kierto 180 astetta. Kuitenkin 90 asteen käännös "negatiiviseen" suuntaan (eli myötäpäivään) tyydyttää myös tämän tulkinnan. Tämä kuvastaa sitä tosiasiaa, että − i on myös yhtälön x 2 = −1 ratkaisu . Yleensä kompleksiluvulla kertominen on analogista kompleksiluvun argumentin origon ympäri kiertämiseen ja sitten sen suuruuden mukaan skaalaamiseen.

Negatiivisten lukujen neliöjuuret

On oltava varovainen, kun työskentelet imaginaarilukujen kanssa, jotka ovat negatiivisten lukujen neliöjuurten pääarvoja [ . Esimerkiksi tällainen matemaattinen sofismi : [9]

6={\sqrt {36}}={\sqrt {(-4)(-9)))\neq {\sqrt {-4}}{\sqrt {-9}}=(2i)( 3i)=6i^{2}=-6.

Joskus se kirjoitetaan näin:

-1=i^{2}={\sqrt {-1}}{\sqrt {-1}}{\stackrel {\text{ (sofismi) }}{=}}{\sqrt {(- 1)(-1)}}={\sqrt {1}}=1.

Samanlainen matemaattinen sofismi syntyy, kun tasa-arvon muuttujilla ei ole vastaavia rajoituksia. Tässä tapauksessa yhtäläisyys epäonnistuu, koska molemmat luvut ovat negatiivisia. Tämä voidaan näyttää muodossa ${\sqrt {xy}}={\sqrt {x}}{\sqrt {y}}$

{\sqrt {-x}}{\sqrt {-y}}=i{\sqrt {x}}\ i{\sqrt {y}}=i^{2}{\sqrt {x}} {\sqrt {y}}=-{\sqrt {xy}}\neq {\sqrt {xy}},

jossa sekä x että y ovat ei-negatiivisia reaalilukuja.

Katso myös

Muistiinpanot

↑ Monimutkainen numero // " Mathematical Encyclopedia " / Päätoimittaja I. M. Vinogradov. - M . : "Neuvostoliiton tietosanakirja", 1982. - T. 3. - S. 708. - 1183 s. - (51 [03] M34).
↑ Giaquinta, Mariano; Modica, Giuseppe. Matemaattinen analyysi : Approksimaatio ja diskreetit prosessit . - kuvitettu. - Springer Science & Business Media , 2004. - S. 121. - ISBN 978-0-8176-4337-9 . Ote sivulta 121
↑ Hargittai, István. Viisinkertainen symmetria (uuspr.) . – 2. - World Scientific , 1992. - s. 153. - ISBN 981-02-0600-3 .
↑ Roy, Stephen Campbell. Kompleksiluvut : hila - simulointi ja zeta - funktiosovellukset . - Horwood, 2007. - P. 1. - ISBN 1-904275-25-7 .
↑ René Descartes, Discourse de la Méthode ... (Leiden, (Alankomaat): Jan Maire, 1637), kirja, lainattu: Geometry , kirja 3, s. 380. Sivulta 380: "Au reste tant les vrayes racines que les fausses ne sont pas tousjours reelles; mais quelquefois seulement imaginaires; c'est a dire qu'on peut bien tousjours en kuvittaja autant que jay dit en chasque Equation; mais qu'il n'y a quelquefois aucune quantité, qui vastaa a celles qu'on kuvittele, comme encore qu'on en puisse kuvittelija trois en celle cy, x 3 - 6xx + 13x - 10 = 0, il n'y en a toutefois qu'une reelle, qui est 2, & pour les deux autres, quoy qu'on les augmente, ou diminue, ou multiplie en la façon que je viens d'expliquer, on ne sçauroit les rendre autres qu'." ("Lisäksi sekä oikeat juuret että väärät [juuret] eivät aina ole todellisia; mutta joskus on vain kuvitteellisia [lukuja]; toisin sanoen jokaisessa yhtälössä voidaan aina edustaa niin monta kuin sanoin; mutta joskus sellaista suuruusluokkaa ei ole , joka vastaa mitä voidaan kuvitella, aivan kuten tässä [yhtälössä], x 3 - 6xx + 13x - 10 = 0, jossa vain yksi juuri on todellinen ja on 2, ja suhteessa kahteen muuhun, vaikka yksi kasvaa, tai vähentää tai moninkertaistaa niitä juuri selittämälläni tavalla, kukaan ei voi tehdä niistä erilaisia kuin kuvitteelliset [arvot].")
↑ Martinez, Albert A. (2006), Negative Math: How Mathematical Rules Can Be Positively Bent , Princeton: Princeton University Press, ISBN 0-691-12309-8 .
↑ Rozenfeld, Boris Abramovitš. Luku 10 // Ei-euklidisen geometrian historia: geometrisen avaruuden käsitteen kehitys (englanniksi) . - Springer, 1988. - s. 382. - ISBN 0-387-96458-4 .
↑ Cockle, James (1848) "Tietyistä kvaternioneja muistuttavista funktioista ja uudesta kuvitteellisesta algebrasta", London-Dublin-Edinburgh Philosophical Magazine , sarja 3, 33:435-9 ja Cockle (1849) "On a New Imaginary in Algebra ”, Filosofinen aikakauslehti 34:37-47
↑ Nahin, Paul J. Kuvitteellinen tarina: "i":n [neliöjuuri miinus yhdestä ] tarina . - Princeton University Press , 2010. - P. 12. - ISBN 978-1-4008-3029-9 . Ote sivulta 12

Kirjallisuus

Fikhtengolts G.M. Differentiaali- ja integraalilaskennan kurssi. - M. : Fizmatlit, 2003. - T. 2. - 810 s.
Ei, Paul. Imaginary Tale: tarina −1:n neliöjuuresta (englanniksi) . - Princeton: Princeton University Press , 1998. - ISBN 0-691-02795-1 .

Linkit

Kuinka voidaan osoittaa, että kuvitteellisia lukuja todella on olemassa? (Englanti)
Meidän aikanamme : kuvitteelliset numerot
5Numerot-ohjelma 4
Miksi käyttää kuvitteellisia numeroita? (Englanti)

Sanakirjat ja tietosanakirjat	Suuri tanskalainen Suuri katalaani Hienoa norjalaista Britannica (verkossa)
Bibliografisissa luetteloissa	GND : 4588957-0