Hyperboliset luvut

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 29.6.2020 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 6 muokkausta .

Hyperboliset luvut tai kaksoisluvut , parakompleksiluvut , jaetut kompleksiluvut , hyperbolisen tyyppiset kompleksiluvut , vastakompleksiluvut [1] ovat hyperkompleksilukuja muotoa " a + j b ", missä a ja b ovat reaalilukuja ja lisäksi j ≠ ±1 . $j^{2}=1,$

Määritelmä

Algebrallinen määritelmä

Mikä tahansa hyperbolinen luku voidaan esittää järjestetynä reaalilukuparina. Yhteen- ja kertolasku määritellään sääntöjen mukaan: ${\näyttötyyli (x,y).}$

{\näyttötyyli (x,y)+(x',y')=(x+x',y+y'),}

(x,y)\cdot (x',y')=(xx'+yy',xy'+yx').

Lomakkeen numerot tunnistetaan reaaliluvuilla, ja sitten vastaavat identiteetit ovat muotoa: ${\näyttötyyli(a,0)}$ $j=(0,1).$

{\näyttötyyli (x+jy)+(x'+jy')=(x+x')+j(y+y'),}

(x+jy)\cdot (x'+jy')=(xx'+yy')+j(xy'+yx').

Matriisiesitys _

Hyperboliset luvut voidaan esittää reaalilukujen matriiseina , kun taas hyperbolisten lukujen yhteen- ja kertolasku vastaa vastaavien matriisien yhteen- ja kertolaskua:

j={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix)),

x+jy={\begin{pmatrix}x&y\\y&x\end{pmatrix}}.

Aritmeettiset operaatiot

Lisäys: ${\näyttötyyli (a+bj)+(c+dj)=(a+c)+(b+d)j.}$
Vähennyslasku: ${\näyttötyyli (a+bj)-(c+dj)=(ac)+(bd)j.}$
Kertominen: ${\näyttötyyli (a+bj)\cdot (c+dj)=(ac+bd)+(bc+ad)j.}$
Jakaminen nollasta poikkeavalla jakajalla: ${\frac {a+bj}{c+dj}}={\frac {ac-bd}{c^{2}-d^{2}}}+{\frac {bc-ad}{ c^{2}-d^{2}}}j.$

Ominaisuudet

\mathrm {e} ^{jx}=\operaattorinimi {ch} x+j\operaattorinimi {sh} x,

missä sh ja ch ovat hyperbolinen sini ja kosini.

\operaattorin nimi {sh} jx=j\operaattorin nimi {sh} x

\operaattorin nimi {ch} jx=\operaattorin nimi {ch} x

Hyperboliset luvut muodostavat kaksiulotteisen assosiatiivisen - kommutatiivisen algebran reaalilukukentän yli . Hyperbolinen lukualgebra sisältää nollan jakajia (eli nollasta poikkeavia z :n ja w :n alkioita siten, että zw = 0 ) ja siksi, toisin kuin kompleksilukualgebra , se ei ole kenttä. Kaikki nollan jakajat ovat muotoa $a\cdot (1\pm j).$

Jos otat sen $\alpha =(1+j)/2$ $\beta =(1-j)/2,$

\alpha \beta =0,

\alpha ^{2}=\alpha

\beta ^{2}=\beta .

Mikä tahansa hyperbolinen luku voidaan esittää summana, jossa ja ovat reaalilukuja. Tässä esityksessä yhteen- ja kertolasku suoritetaan koordinaatistoittain. $\alpha x+\beta y,$ $x$ $y$

Siten hyperbolisten lukujen algebra voidaan hajottaa kahden reaalilukukentän suoraksi summaksi .

Sovellus

Hyperbolisia lukuja käytetään joskus relativistisessa kinematiikassa .

Muistiinpanot

↑ S. A. Zhilina. Vastasedenionalgebran relaatiokaaviot. Tieteellisten seminaarien muistiinpanot POMI, osa 482, s. 87-113.

Linkit

Numeeriset järjestelmät
Laskettavat sarjat	Luonnolliset luvut ( ) $\scriptstyle \mathbb {N}$ Kokonaisluvut ( ) $\scriptstyle \mathbb {Z}$ Järkevä ( ) $\scriptstyle \mathbb {Q}$ Algebrallinen ( ) $\scriptstyle {\overline {\mathbb {Q} }}$ Jaksot Laskettavissa Aritmeettinen
Reaaliluvut ja niiden laajennukset	Todellinen ( ) $\scriptstyle \mathbb {R}$ Monimutkainen ( ) $\scriptstyle \mathbb {C}$ Quaternions ( ) $\scriptstyle \mathbb {H}$ Cayleyn numerot (oktaavit, oktoniot) ( ) $\scriptstyle \mathbb {O}$ Sedenions ( ) $\scriptstyle \mathbb {S}$ Vaihtoehdot Kaksinkertainen Hyperkompleksi Superrealistinen Hypermateriaali surrealistinen
Numeeriset laajennustyökalut	Cayley-Dixonin menettely Frobenius-lause Hurwitzin lause
Muut numerojärjestelmät	kardinaaliluvut Järjestysluvut (transfinite, ordinaals) p-adic Yliluonnollisia lukuja intervallinumerot
Katso myös	kaksoisnumerot Irrationaalisia lukuja transsendenttiset numerot numerosäde Biquaternion