Janko Ryhmä J2

Ryhmäteoria
Peruskonseptit	Alaryhmä Normaali alaryhmä Tekijäryhmä Työ suoraan puolisuorat vapaa
Algebralliset ominaisuudet	kommutatiivista ryhmää Syklinen ryhmä tilattu ryhmä Muutosryhmä Ratkaistava ryhmä Schreierin Lemma Lagrangen lause Sylowin lauseet Yksinkertaisten äärellisten ryhmien luokittelu
rajalliset ryhmät	Äärillinen syklinen ryhmä C n Symmetrinen ryhmä S n Dihedral ryhmä D n Vaihteleva ryhmä A n Kleinin neljän hengen ryhmä Mathieun ryhmät M11 _ M12 _ M22 _ M23 _ M24 _ Conway-ryhmät Yhteistyö 1 Co2_ _ Co3_ _ Jankon ryhmät J1_ _ J2_ _ J3_ _ J4_ _ Kalastajaryhmät F22 _ F 23 F24 _ Hirviö (M)
Topologiset ryhmät	Valheryhmät Ortogonaalinen ryhmä O(n) Erityinen ortogonaalinen ryhmä SO(n) Yhtenäinen ryhmä U(n) Erityinen yhtenäinen ryhmä SU(n) Symplektinen ryhmä Sp(n) Poikkeuksellisen yksinkertainen Lorentzin ryhmä Poincarén ryhmä
Algoritmit ryhmissä	Schreier - Sims Todd - Coxeter Fourier-muunnos

Janko-ryhmä J 2 , Hall-Janco-ryhmä ( HJ ) tai Hall-Janco-Wells- ryhmä on satunnainen järjestysryhmä.

2 7 • 3 3 • 5 2 • 7 = 604800.

Historia ja ominaisuudet

J 2 on yksi 26 satunnaisesta ryhmästä . Toinen nimi on Hall-Yanko-Wells -ryhmä . Vuonna 1969 Zvonimir Janko ennusti J 2 :n yhdeksi kahdesta yksinkertaisesta ryhmästä, joiden involuutiokeskittäjänä on 2 1+4 :A 5 (toinen on Jankon ryhmä J 3 ). Hall ja Wells [1] rakensivat ryhmän 3100 pisteen permutaatioryhmäksi .

Sekä Schur-kertoimella että ulkoisella automorfismiryhmällä on järjestys 2.

J 2 on ainoa neljästä Janko-ryhmästä, joka on hirviön alitekijä , joten ryhmä on osa perhettä, jota Robert Griss kutsui onnelliseksi . Koskaryhmä löytyy Conwayn Co1-ryhmästä , se on myös osa toista onnekasperhettä .

Näkymät

J 2 on Hall-Janko-graafin indeksikahdesta automorfismiryhmästä koostuva alaryhmä , joka johtaa permutaatioesitykseen, joka on kertaluokkaa 100. Ryhmä on Hall-Jankon lähes kahdeksankulmaisen automorfismiryhmän indeksin kaksi alaryhmä [2] , joka johtaa permutaatioesitykseen järjestyksessä 315.

Ryhmällä on modulaarinen esitys ulottuvuudesta kuusi neljän elementin kentässä. Jos ominaisuudella kahdella meillä on w 2 + w + 1 = 0, niin J 2 generoidaan kahdella matriisilla

{\mathbf {A} }=\left({\begin{matrix}w^{2}&w^{2}&0&0&0&0\\1&w^{2}&0&0&0&0\\1&1&w^{2}&w^{2 }&0&0\\w&1&1&w^{2}&0&0\\0&w^{2}&w^{2}&w^{2}&0&w\\w^{2}&1&w^{2}&0&w^{2}&0\end{matriisi }}\oikea)

{\mathbf {B} }=\left({\begin{matrix}w&1&w^{2}&1&w^{2}&w^{2}\\w&1&w&1&1&w\\w&w&w^{2}&w^{2} &1&0\\0&0&0&0&1&1\\w^{2}&1&w^{2}&w^{2}&w&w^{2}\\w^{2}&1&w^{2}&w&w^{2}&w\end{matrix}} \oikea).

Nämä matriisit täyttävät yhtälöt

{\mathbf {A} }^{2}={\mathbf {B} }^{3}=({\mathbf {A} }{\mathbf {B} })^{7}=({ \mathbf {A} }{\mathbf {B} }{\mathbf {A} }{\mathbf {B} }{\mathbf {B} })^{12}=1.

J 2 on Hurwitz-ryhmä , kolmioryhmän (2,3,7) äärellinen homeomorfinen kuva .

Yllä annettu matriisiesitys muodostaa upotuksen Dixon-ryhmään G2 ( 4 ) . G 2 :ssa (4) on kaksi kosettia ja ne ovat ekvivalentteja kentän F 4 automorfismissa . Niiden leikkauspiste ("todellinen" aliryhmä) on yksinkertainen ryhmä luokkaa 6048. G2 ( 4 ) puolestaan on isomorfinen Conway-ryhmän Co1 alaryhmän kanssa .

Alaryhmien enimmäismäärä

Ryhmän J 2 maksimialaryhmiä on 9 kosettia . Jotkut Hall-Janko-kaavion toiminnot kuvattu tässä termeillä.

Luokan 6048 U 3 (3) on yksipisteinen stabilisaattori, jonka kiertoradat 36 ja 63.

Yksinkertainen ryhmä, joka sisältää 36 yksinkertaista alaryhmää 168 ja 63 involuutiota, kaikki kosetit vaikuttavat 80 pisteeseen. Näitä involuutioita löytyy 12 168 alaryhmästä. Sen keskittäjä on rakenteeltaan 4.S 4 , joka sisältää 6 lisäinvoluutiota.

3. PGL(2,9) luokkaa 2160 - sen alitekijä A 6
2 1+4 :A 5 astetta 1920 on 80 pisteeseen vaikuttava involuution keskittäjä
2 2+4 :(3 × S 3 ) järjestys 1152
A 4 × A 5 tilauksesta 720.

Sisältää 2 2 × A 5 (noin 240), keskitin 3 involuutiota, joista jokainen vaikuttaa 100 pisteeseen

A 5 × D 10 noin 600
PGL(2,7) järjestys 336
5 2 :D 12 tilaa 300
A 5 tilaus 60

Konjugaatioluokat

Yhdenkään elementin maksimijärjestys ei ylitä 15:tä. Permutaatioina elementit vaikuttavat Hall-Janko-graafin 100 kärkeen.

Tilaus	Elementit	Pyörien ja sarjojen rakenne
1 = 1	1 = 1	1 luokka
2 = 2	315 = 3 2 • 5 • 7	2 40 , 1 luokka
2 = 2	2520 = 2 3 • 3 2 • 5 • 7	2 50 , 1 luokka
3 = 3	560 = 2 4 • 5 • 7	3 30 , 1 luokka
3 = 3	16800 = 2 5 • 3 • 5 2 • 7	3 32 , 1 luokka
4 = 2 2	6300 = 2 2 • 3 2 • 5 2 • 7	2 6 4 20 , 1 luokka
5 = 5	4032 = 2 6 • 3 2 • 7	5 20 , 2 luokkaa
5 = 5	24192 = 2 7 • 3 3 • 7	5 20 , 2 luokkaa
6 = 2 • 3	25200 = 2 4 • 3 2 • 5 2 • 7	2 4 3 6 6 12 , 1. luokka
6 = 2 • 3	50400 = 2 5 • 3 2 • 5 2 • 7	2 2 6 16 , 1. luokka
7 = 7	86400 = 2 7 • 3 3 • 5 2	7 14 , 1. luokka
8 = 2 3	75600 = 2 4 • 3 3 • 5 2 • 7	2 3 4 3 8 10 , 1. luokka
10 = 2 • 5	60480 = 2 6 • 3 3 • 5 • 7	10 10 , 2 luokkaa
10 = 2 • 5	120960 = 2 7 • 3 3 • 5 • 7	5 4 10 8 , 2 luokkaa
12 = 2 2 • 3	50400 = 2 5 • 3 2 • 5 2 • 7	3 2 4 2 6 2 12 6 , 1 luokka
15 = 3 • 5	80640 = 2 8 • 3 2 • 5 • 7	5 2 15 6 , 2 luokkaa

Muistiinpanot

↑ Hall, Wales, 1968 .
↑ Lähes kahdeksankulmio 315 pisteessä . Haettu 4. syyskuuta 2017. Arkistoitu alkuperäisestä 29. heinäkuuta 2021. (määrätön)

Kirjallisuus

Robert L. Griess , Jr. Kaksitoista satunnaista ryhmää. - Berlin, Heidelberg, New York: Springer-Verlag, 1998. - (Springer-monogrammit matematiikassa). — ISBN 3-540-62778-2 .
Hall M., Wales D. Yksinkertainen tilausryhmä 604 800 // Journal of Algebra . - 1968. - T. 9 . — S. 417–450 . — ISSN 0021-8693 . - doi : 10.1016/0021-8693(68)90014-8 .
Janko Z. Muutamia uusia yksinkertaisia äärellisen järjestyksen ryhmiä. I // Symposia Mathematica (INDAM, Rooma, 1967/68). - Boston, MA: Academic Press , 1969. - V. 1. - S. 25-64.
Wales DB Järjestyksen 604800 yksinkertaisen ryhmän ainutlaatuisuus SL(6,4)-alaryhmänä // Journal of Algebra 11. - 1969. - s. 455-460 .
Wales DB Generators of the Hall–Janko -ryhmän G2(4) alaryhmänä // Journal of Algebra. - 1969. - T. 13 . — S. 513–516 . — ISSN 0021-8693 . - doi : 10.1016/0021-8693(69)90113-6 .

Linkit

MathWorld: Janko Groups arkistoitu 5. syyskuuta 2017 Wayback Machinessa
Rajallisten ryhmien edustajien atlas: J 2
J 2 :n alaryhmähila

Ryhmäteoria
Peruskonseptit	Alaryhmä Normaali alaryhmä Tekijäryhmä Työ suoraan puolisuorat vapaa
Algebralliset ominaisuudet	kommutatiivista ryhmää Syklinen ryhmä tilattu ryhmä Muutosryhmä Ratkaistava ryhmä Schreierin Lemma Lagrangen lause Sylowin lauseet Yksinkertaisten äärellisten ryhmien luokittelu
rajalliset ryhmät	Äärillinen syklinen ryhmä C n Symmetrinen ryhmä S n Dihedral ryhmä D n Vaihteleva ryhmä A n Kleinin neljän hengen ryhmä Mathieun ryhmät M11 _ M12 _ M22 _ M23 _ M24 _ Conway-ryhmät Yhteistyö 1 Co2_ _ Co3_ _ Jankon ryhmät J1_ _ J2_ _ J3_ _ J4_ _ Kalastajaryhmät F22 _ F 23 F24 _ Hirviö (M)
Topologiset ryhmät	Valheryhmät Ortogonaalinen ryhmä O(n) Erityinen ortogonaalinen ryhmä SO(n) Yhtenäinen ryhmä U(n) Erityinen yhtenäinen ryhmä SU(n) Symplektinen ryhmä Sp(n) Poikkeuksellisen yksinkertainen Lorentzin ryhmä Poincarén ryhmä
Algoritmit ryhmissä	Schreier - Sims Todd - Coxeter Fourier-muunnos