Intervalliaritmetiikka

Intervalliaritmetiikka  on matemaattinen rakenne , joka määrittää todellisille intervalleille toiminnot , jotka ovat samanlaisia ​​kuin tavallinen aritmetiikka. Tätä matematiikan aluetta kutsutaan myös intervallianalyysiksi tai intervallilaskemiseksi . Tämä matemaattinen malli on kätevä erilaisten sovellettavien objektien tutkimiseen [1] :

• Määrät, joiden arvot tunnetaan vain likimääräisesti , eli määritellään äärellinen väli, johon nämä arvot sisältyvät.
• Määrät, joiden arvot vääristyvät pyöristysvirheiden vuoksi laskelmien aikana .
• satunnaismuuttujat .

Intervalliaritmetiikan objektit ja operaatiot voidaan nähdä reaalilukumallin yleistyksenä, minkä vuoksi intervalleja kutsutaan useissa lähteissä intervalliluvuiksi . Tämän mallin käytännön merkitys johtuu siitä, että mittausten ja laskelmien tuloksissa on lähes aina jokin virhe, joka on otettava huomioon ja arvioitava.

Tausta

Intervalliaritmetiikka ei ole täysin uusi ilmiö matematiikassa; hän on esiintynyt useita kertoja historiassa eri nimillä. Esimerkiksi Archimedes III vuosisadalla eKr. e.. laskettu ala- ja ylärajat luvulle :

Vaikka intervallilaskelmat eivät olleet yhtä suosittuja kuin muut numeeriset menetelmät, niitä ei unohdettu kokonaan.

Intervallilaskennan uusi historia alkaa vuonna 1931 Rosalind Cecily Youngin [2] työllä , jossa annettiin säännöt intervallien ja muiden reaalilukujen osajoukkojen laskentaan. Vuonna 1951 ilmestyi Paul S. Dwyerin lineaarialgebran oppikirja , jossa tätä aihetta pohdittiin digitaalisten järjestelmien luotettavuuden parantamisen näkökulmasta - intervalleilla arvioitiin liukulukuihin liittyviä pyöristysvirheitä [3] . Vuonna 1958 Teruo Sunaga julkaisi yksityiskohtaisen asiakirjan intervallialgebran soveltamisesta numeeriseen analyysiin [4] .

1900-luvun jälkipuoliskolla tietokonelaskennan tarpeet aiheuttivat intervallianalyysin nopean kehityksen lähes samanaikaisesti ja itsenäisesti Neuvostoliitossa, USA:ssa, Japanissa ja Puolassa. Vuonna 1966 ilmestyi amerikkalaisen matemaatikon Ramon Mooren kirja "Interval Analysis" [ 5 ] . Tämän työn ansiona oli, että se tarjosi yksinkertaisesta periaatteesta lähtien yleisen menetelmän virheiden automaattiseen analysointiin, ei vain pyöristämisestä johtuviin virheisiin.

Seuraavien kahden vuosikymmenen aikana Karl Nickel ja hänen opiskelijansa Freiburgin yliopistossa tekivät Saksassa tärkeää tutkimusta intervallianalyysistä ja sen sovelluksista Ulrich Kulischin [ ja Götz Ahlefeldin ryhmissä Karlsruhen yliopistossa. ] [7] ja muut.

1960-luvulla Eldon R. Hansen laajensi intervallilähestymistapaa lineaarisiin yhtälöjärjestelmiin ja antoi sitten merkittävän panoksen globaaliin optimointiin , mukaan lukien nykyinen Hansen-menetelmä, joka on ehkä laajimmin käytetty intervallialgoritmi [8] . Tämän ongelman klassisilla menetelmillä on usein ongelma suurimman (tai pienimmän) globaalin arvon määrittämisessä (ne voivat löytää vain paikallisen optimin eivätkä voi löytää parhaita arvoja); Helmut Rachek ja John George Rockne kehittivät muunnelman haara- ja sidottumenetelmästä , jota siihen asti oli sovellettu vain kokonaislukuarvoihin.

Vuonna 1988 Rudolf Lohner kehitti Fortran - pohjaisen ohjelmiston Cauchyn ongelman todistamiseksi tavallisten differentiaaliyhtälöiden järjestelmissä [9] .

1990-luvulta lähtien alkoi julkaista kansainvälistä "Interval Computing" - "Interval Computations" -lehteä, joka vuonna 1995 nimettiin uudelleen "Reliable Computing" ("Reliable Computing"). Lehden pääaiheita ovat näyttöön perustuvat laskelmat, intervallianalyysin menetelmät ja sen sovellukset.

Venäjällä ja Neuvostoliitossa V. M. Bradis on ollut aktiivisesti mukana intervallien teemoissa 1920-luvulta lähtien . Vuonna 1962 yksi Siberian Mathematical Journal -lehden ensimmäisistä numeroista julkaisi Leonid Vitalievich Kantorovichin artikkelin , joka itse asiassa hahmotteli intervallianalyysin perusteita osittain järjestetyissä tiloissa ja uusien tekniikoiden sovelluksia. Hänen artikkelissaan tämä aihe määritettiin laskennallisen tieteemme prioriteetiksi [10] . Sodanjälkeisenä aikana yksi ensimmäisistä oli Yu. I. Shokinin kirja "Interval Analysis" [11] . Seuraavana vuonna oppikirja T.I. Nazarenko ja L.V. Marchenko "Johdatus laskennallisen matematiikan intervallimenetelmiin" [12] ja vuonna 1986 - S. A. Kalmykovin, Yu. I. Shokinin ja Z. Kh. Yuldaševin monografia "Intervallianalyysin menetelmät" [13] .

Toimenpiteet intervalleilla

Tarkastellaan kaikkia mahdollisia äärellisiä reaalivälejä . Niiden toiminnot määritellään seuraavasti:

• Lisäys: [ a , b ] + [ c , d ] = [ a + c , b + d ]
• Vähennys: [ a , b ] − [ c , d ] = [ a − d , b − c ]
• Kertolasku: [ a , b ] × [ c , d ] = [min ( ac , ad , bc , bd ), max ( ac , ad , bc , bd )]
• Jako: [ a , b ] / [ c , d ] = [min ( a/c , a/d , b/c , b/d ), max ( a/c , a/d , b/c , b/ d )]

Määritelmästä voidaan nähdä, että summaväli sisältää kaikki mahdolliset summavälien lukujen summat ja määrittää tällaisten summien joukon rajat. Muita toimia käsitellään samalla tavalla. Huomaa, että jakooperaatio määritellään vain, jos jakajaväli ei sisällä nollaa.

Degeneroituneet intervallit, joiden alku ja loppu ovat samat, voidaan tunnistaa tavallisilla reaaliluvuilla. Heille yllä olevat määritelmät sopivat yhteen klassisten aritmeettisten operaatioiden kanssa.

Käyttöominaisuudet

Intervallien yhteen- ja kertolasku on sekä kommutatiivista että assosiatiivista . Mutta summalla kertomisen täysimittaisen distributiivisuuden sijasta tapahtuu ns. osajakauma:

Väliaritmeettisen variaatiot ja laajennukset

IEEE 1788

IEEE 1788-2015 -tietokonetoteutusstandardi intervalliaritmetiikkaa varten otettiin käyttöön kesäkuussa 2015. [14] Standardin kehittämisen aikana ja sitä seuraavina vuosina valmistettiin useita vapaasti hajautettuja viitetoteutuksia: [15] C++-kirjasto libieeep1788 [ 16] -kirjasto C++:lle, JInterval-kirjasto Java-kielelle sekä paketti, joka toteuttaa intervallin. laskelmat ilmaisille matemaattisille ohjelmistoille GNU Octave [17] .

Standardin vähimmäisosajoukko, jonka tarkoituksena on yksinkertaistaa ja nopeuttaa sen käyttöönottoa – IEEE Std 1788.1-2017 – hyväksyttiin joulukuussa 2017 ja julkaistiin helmikuussa 2018. [18]

Ohjelmisto

Intervalliaritmeettisia toteutuksia on useita erilaisissa ohjelmistopaketeissa [19] . Usein ne on suunniteltu erikoiskirjastoiksi. Useat Fortran- ja C++-kääntäjät sisältävät tuen intervalliarvoille erityisenä tietotyyppinä.

Katso myös

• Likimääräiset laskelmat
• IEEE 754

Muistiinpanot

1. ↑ Shary, 2019 , s. kahdeksantoista.
2. ↑ Young, Rosalind Cicely (1931). moniarvoisten määrien määrä. Mathematische Annalen, 104(1), 260-290. (Tämä on hänen väitöskirjansa Cambridgen yliopistossa ).
3. ↑ Dwyer, Paul Sumner (1951). Lineaariset laskelmat. Oxford, Englanti: Wiley. (Michiganin yliopisto)
4. ↑ Intervallialgebran teoria ja sen soveltaminen numeeriseen analyysiin  //  RAAG Memoirs: Journal. - 1958. - Ei. 2 . - s. 29-46 .
5. ↑ Intervallianalyysi  . _ - Englewood Cliff, New Jersey, USA: Prentice Hall , 1966. - ISBN 0-13-476853-1 .
6. ↑ Grundzüge der Intervallrechnung // Jahrbuch Überblicke Mathematik  (saksa) / Laugwitz, Detlef. - Mannheim, Saksa: Bibliographisches Institut , 1969. - Bd. 2. - S. 51-98.
7. ↑ Wissenschaftliches Rechnen mit Ergebnisverifikation. Eine Einführung  (saksa) . - Wiesbaden: Springer Vieweg Verlag , 1989. - ISBN 3-528-08943-1 .
8. ↑ Globaali optimointi intervallianalyysin  avulla . – 2. - New York, USA: Marcel Dekker , 2004. - ISBN 0-8247-4059-9 .
9. ↑ Rudolf Lohnerin tavallisten differentiaaliyhtälöiden rajat Arkistoitu 11. toukokuuta 2018. (saksaksi)
10. ↑ Historialliset muistiinpanot .
11. ↑ Shokin, 1981 .
12. ↑ T. I. Nazarenko, L. V. Marchenko. Johdatus laskennallisen matematiikan intervallimenetelmiin "Oppikirja. Irkutsk: Irkutskin yliopiston kustantamo, 1982. - 108 s.
13. ↑ S. A. Kalmykov, Yu. I. Shokin, Z. Kh. Yuldashev Intervallianalyysin menetelmät. - Novosibirsk: Nauka, 1986, 224 s.
14. ↑ IEEE-standardi intervalliaritmeettiselle tasolle . Haettu 7. helmikuuta 2022. Arkistoitu alkuperäisestä 7. helmikuuta 2022. (määrätön)
15. ↑ Revol, Nathalie (2015). (Lähi)tulevaisuuden IEEE 1788 -standardi intervalliaritmeettiselle tasolle. 8. pieni intervallimenetelmien työpaja. Diat (PDF) Arkistoitu 2. kesäkuuta 2016 Wayback Machinessa
16. ↑ Alustavan IEEE P1788 -standardin C++-toteutus intervalliaritmetiikkaa varten . Haettu 31. heinäkuuta 2018. Arkistoitu alkuperäisestä 10. kesäkuuta 2018. (määrätön)
17. ↑ GNU Octave -välipaketti . Haettu 31. heinäkuuta 2018. Arkistoitu alkuperäisestä 9. marraskuuta 2016. (määrätön)
18. ↑ IEEE Std 1788.1-2017 – IEEE-standardi intervalliaritmeettiselle (yksinkertaistettu) . IEEE SA . IEEE Standards Association. Haettu 6. helmikuuta 2018. Arkistoitu alkuperäisestä 7. helmikuuta 2022. (määrätön)
19. ↑ Ohjelmisto intervallilaskentaa varten arkistoitu 2. maaliskuuta 2006 Wayback Machinessa , jonka on kerännyt Vladik Kreinovich , Texasin yliopisto El Pasossa

Kirjallisuus

• Alefeld G., Herzberger J .. Johdatus intervallilaskentaan . M.: Mir, 1987. 356 s.
• Dobronets B.S. Interval Mathematics . Krasnojarsk: KSU Publishing House, 2004.
• Shary S. P. Äärillisulotteinen intervallianalyysi . - Novosibirsk: XYZ, 2019. - 635 s.
• Shokin Yu. I. Intervallianalyysi . - Novosibirsk: Nauka-kustantamon Siperian haara, 1981.

Linkit

• Intervallianalyysi ja sen sovellukset .
  • Historialliset muistiinpanot .
• Intervalliaritmetiikka Mathworldissä . _