Kulmamomentti

kulmamomentti
${\vec {L}}={\vec {r}}\times {\vec {p}}\,$
Ulottuvuus	L 2 MT -1
Yksiköt
SI	m 2 kg / s _
GHS	cm 2 g / s _
Huomautuksia
pseudovektori

Kulmamomentti ( liikemäärä suhteessa pisteeseen , myös: liikemäärä , kulmamomentti , liikemäärä , kulmaliikemäärä ) on fysikaalinen suure, joka kuvaa pyörivän liikkeen määrää ja riippuu siitä kuinka paljon massaa pyörii, kuinka se jakautuu avaruudessa ja mikä kulmanopeuskierto tapahtuu [1] .

Yhdelle aineelliselle pisteelle kulmaliikemäärä on yhtä suuri kuin pisteen sädevektorin ja sen liikemäärän vektoritulo , pistejärjestelmässä - tällaisten tulojen summa. Vakiomerkintä: , SI-yksikkö : m 2 kg/s. Arvo riippuu sädevektorien O alkupisteen sijainnin valinnasta. $\mathbf{L}$ $\mathbf{L}$

Suljetun järjestelmän kulmaliikemäärä säilyy . Se on yksi kolmesta liikkeen additiivisesta ( energia , liikemäärä , kulmamomentti) integraalista . Ulkoisten voimien läsnä ollessa kulmamomentin derivaatta ajan suhteen on yhtä suuri kuin voimien momentti (suhteessa samaan alkuun O).

Kulmamomentin käsitteen pääasiallinen käyttö liittyy ongelmiin, jotka liittyvät todelliseen pyörimiseen (erityisesti keskus- tai aksiaalisymmetrian ollessa läsnä; silloin O valitaan yleensä keskeltä tai akselilta). Mutta arvo voidaan laskea muissa tilanteissa, esimerkiksi hiukkasen suoraviivaiselle liikkeelle mielivaltaisen pisteen O ohi, joka ei ole liikeviivalla ja jota pidetään tavanomaisesti keskipisteenä. $\mathbf{L}$

Jos jäykkää kappaletta pyöritetään kiinteän akselin ympäri, usein ei käytetä itse kulmamomenttia, vaan sen projektiota tälle akselille - tällaista määrää kutsutaan kulmamomentiksi akselin ympäri . $L_{\parallel }$

Kulmamomentin käsite otettiin alun perin käyttöön klassisessa mekaniikassa, mutta siinä on yleistyksiä kvanttimekaniikassa ja sähködynamiikassa.

Kulmamomentti klassisessa mekaniikassa

Määritelmä

Materiaalipisteen kulmaliikemäärä suhteessa johonkin vertailupisteeseen määräytyy sen sädevektorin ja liikemäärän vektoritulolla : $\mathbf L$

{\mathbf {L}}={\mathbf {r}}\times {\mathbf {p}}

missä on hiukkasen sädevektori suhteessa valittuun kiinteään vertailupisteeseen, on hiukkasen liikemäärä. $\mathbf {r}$ ${\mathbf p}$

Kulmamomentin määritelmästä seuraa sen additiivisuus : järjestelmälle, joka koostuu useista aineellisista pisteistä,

\mathbf {L} =\sum \limits _{i}\mathbf {L} _{i}=\sum _{i}\mathbf {r} _{i}\times \mathbf {p} _ {i}

Hiukkasten lukumäärä voi olla ääretön, esimerkiksi, jos kyseessä on kiinteä kappale, jolla on jakautunut massa.

Koska liikemäärä saadaan ristitulolla , se on pseudovektori , joka on kohtisuorassa sekä vektoreihin että vektoreihin nähden . $\mathbf {r}$ ${\mathbf p}$

Kulmamomentti voidaan laskea minkä tahansa origon O suhteen (tuloksena olevat erilaiset arvot liittyvät ilmeisellä tavalla); kuitenkin useimmiten (mukavuuden ja tarkkuuden vuoksi) se lasketaan suhteessa massakeskipisteeseen, jäykän kappaleen kiinteään pyörimispisteeseen tai johonkin johonkin muuhun jonkin valitsemaan pisteeseen. $\mathbf{L}$

Pisteen O valinta liittyy joskus ongelman luonteeseen. Joten kun tarkastellaan planeetan kiertoliikettä Auringon ympäri, on luonnollista ottaa Aurinko alkuperäksi ja omaa kiertokulkuaan analysoitaessa tämän planeetan keskipiste. Luonnollisesti saadaan kaksi erilaista kulmamomenttia: ja . $\mathbf {L} _{\mathrm {orbit} }$ $\mathbf {L} _{\mathrm {spin} }$

Laskeminen yleisessä tapauksessa

Jos on materiaalipiste , jonka massa liikkuu nopeudella ja joka sijaitsee sädevektorin kuvaamassa pisteessä , niin kulmamomentti lasketaan myös kaavalla $m$ $\mathbf{v}$ $\mathbf {r}$ $\mathbf {p} =m\mathbf {v}$

\mathbf {L} =\mathbf {r} \times m\mathbf {v}

Kappaleen kulmamomentin laskemiseksi se on jaettava äärettömän pieniksi paloiksi ( -tiheys) ja summattava niiden momentit aineellisten pisteiden liikemäärämomenteiksi, eli otettava integraali : $dm=\rho (\mathbf {r} )dV$ $\rho$

{\displaystyle \mathbf {L} =\int \limits _{V}{\mathbf {dL} }=\int \limits _{V}{\mathbf {r} \times \mathbf {v} \,dm} =\int \limits _{V}{\mathbf {r} \times \mathbf {v} \,\rho dV))

Käytännössä se annetaan kolmen koordinaatin funktiona ja on tarpeen suorittaa kolminkertainen integrointi: $\rho$

\mathbf {L} =\iiint {(x\mathbf {i} +y\mathbf {j} +z\mathbf {k} )\times \mathbf {v} \,\rho (x,y, z)\,dx\,dy\,dz}

Jos oletetaan, että se on yleistetty funktio , joka sisältää mahdollisesti delta-kaltaisia termejä, niin tämä kaava soveltuu sekä hajautetuille että diskreeteille järjestelmille. $\rho(x,y,z)$

Kiinteän akselin tapaus

Tärkeä "vauhdin" käsitteen käyttötarkoitus on liike kiinteän akselin ympäri. Tällaisessa tilanteessa ei useinkaan oteta huomioon itse kulmaliikemäärää (pseudovektoria), vaan sen projektiota akselille pseudoskalaarina , jonka etumerkki riippuu pyörimissuunnasta:

L_{\parallel }=\pm |\mathbf {r_{\perp }} \times \mathbf {p_{\perp }} |

Parallelismi-suorasuuntaisuus ( , ) on tarkoitettu akseliin nähden; , . Tässä tapauksessa etäisyys akselista materiaalipisteeseen, jota kutsutaan "olkapääksi". Tämän projektion arvo, toisin kuin itse momentti, ei muutu, kun origoa O siirretään akselilla. Hajautettuun järjestelmään $\rinnakkais$ $\perp$ $\mathbf {r} =\mathbf {r_{\perp }} +\mathbf {r_{\parallel }}$ $\mathbf {p} =\mathbf {p_{\perp }} +\mathbf {p_{\parallel }}$ ${\displaystyle r_{\perp ))$

L_{\parallel }=\pm \left|\int {\mathbf {r_{\perp }} \times \mathbf {v_{\perp }} \,\rho dV}\right|

Jos samaan aikaan kaikki kappaleen pisteet liikkuvat ympyröissä (pyörivät) samalla kulmanopeudella eli numeerisesti , niin aineelliselle pisteelle massa tai systeemille on vastaavasti $\omega$ ${\displaystyle v=\omega r_{\perp ))$ $m$

L_{\parallel }=\pm \omega mr_{\perp }^{2}\quad

tai .

{\displaystyle \quad L_{\parallel }=\pm \omega \int {r_{\perp }^{2}\,\rho dV))

Suuruutta kutsutaan joskus kulmamomentiksi akselin ympäri. Rinnakkaissymboli y ja merkki ennen lauseketta voidaan jättää pois, jos on selvää mitä sanotaan. $L_{\parallel }$ $L$

Täysin jäykällä kappaleella viimeisen integraalin arvoa kutsutaan hitausmomentiksi pyörimisakselin ympäri ja sitä merkitään . Sitten tietue saa muodon tai vektorimuodossa . Jos tunnetaan kappaleen massakeskipisteen läpi kulkevan akselin hitausmomentti ja pyöriminen tapahtuu toisen sen kanssa yhdensuuntaisen akselin ympäri, niin tarvittava hitausmomentti löydetään Steinerin lauseella . $minä$ $\,L_{\parallel }=\pm I\omega \,$ $\mathbf {L} =I{\boldsymbol {\omega }}$

Kulmamomentin säilyminen

Liikemäärän säilymislaki : Suljetun järjestelmän minkä tahansa kiinteän pisteen kokonaiskulmaliikemäärä pysyy vakiona ajan myötä.

Kulmamomentin derivaatta ajan suhteen on voimamomentti :

{\frac {d\mathbf {L} }{dt}}=\sum _{i}{\frac {d\mathbf {r} _{i}}{dt}}\times \mathbf {p } _{i}+\sum _{i}\mathbf {r} _{i}\times {\frac {d\mathbf {p} _{i}}{dt}}=\sum _{i}\ mathbf {r} _{i}\times \mathbf {F} _{i}=\mathbf {\tau _{ext))

Siten vaatimus järjestelmän sulkemisesta voidaan heikentää vaatimukseen, että ulkoisten voimien päämomentti (kaikkien hiukkasten kokonaismäärä) on nolla: $i$

\mathbf {L} =\mathrm {constant} \leftrightarrow \mathbf {\tau _{ext)) =0

missä on hiukkasjärjestelmään kohdistettujen voimien momentti. (Mutta tietysti, jos ulkoisia voimia ei ole ollenkaan, tämä vaatimus täyttyy.) Samanlainen säilymislaki pätee kulmamomentille kiinteän akselin ympäri. $\mathbf {\tau _{ext}}$

Noetherin lauseen mukaan liikemäärän säilymislaki seuraa avaruuden isotropiasta eli avaruuden muuttumattomuudesta mielivaltaisen kulman läpi tapahtuvan pyörimisen suhteen. Kierrettäessä mielivaltaisen äärettömän pienen kulman läpi hiukkasen sädevektori muuttuu numerolla ja nopeudet muuttuvat . Järjestelmän Lagrange -funktio ei muutu tällaisen pyörimisen aikana avaruuden isotropian vuoksi. Siksi $\delta \varphi$ $i$ ${\displaystyle \delta \mathbf {r} _{i}=\delta \varphi \times \mathbf {r} _{i))$ ${\displaystyle \delta \mathbf {v} _{i}=\delta \varphi \times \mathbf {v} _{i))$ ${\mathcal L}$

\delta \mathcal L = \mathcal L(\mathbf{r}_i + \delta\mathbf{r}_i,\; \mathbf{v}_i + \delta\mathbf{v}_i) - \mathcal L(\ mathbf{r}_i,\; \mathbf{v}_i) = \sum \limits_i \left( \frac{\partial \mathcal L}{\partial \mathbf r_i} \delta \varphi \times\mathbf r_i + \ frac{\partial \mathcal L}{\partial \mathbf v_i} \delta \varphi \times \mathbf v_i \right)=0.

Ottaen huomioon , missä on -:nnen hiukkasen yleinen liikemäärä , jokainen termi summassa viimeisestä lausekkeesta voidaan kirjoittaa uudelleen muotoon $\frac{\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\mathbf v_{i}}} = \mathbf {p_{i}},\; \frac{\partial \mathcal {L}}{\partial \mathbf {r_{i}}} = \mathbf {\piste p_{i}}$ ${\mathbf p}_{i}$ $i$

\dot {\mathbf p_i} \,\delta \varphi \times \mathbf r_i + \mathbf p_i\,\delta \varphi \times \mathbf {\dot r_i}.

Nyt, käyttämällä sekatuoteominaisuutta , suoritamme vektorien syklisen permutoinnin, jonka tuloksena saamme poistamalla yhteisen tekijän:

\delta \mathcal L = \delta \varphi \sum \limits_i \left( \mathbf r_i \times \dot {\mathbf p_i} + \dot {\mathbf r_i} \times \mathbf p_i \right) = \delta \frac{d}{dt} \sum \limits_i (\mathbf r_i \times \mathbf p_i) = \delta \varphi \frac{d \mathbf L}{dt} = 0,

missä on järjestelmän kulmamomentti. Ottaen huomioon mielivaltaisuuden , se seuraa tasa-arvosta $\mathbf L = \sum \mathbf L_i = \sum \mathbf r_i \times \mathbf p_i$ $\delta \varphi$ $\delta \mathcal L = 0$ ${\frac {d\mathbf {L} }{dt}}=0.$

Aiheeseen liittyvät käsitteet

Kun tarkastellaan kiertoon liittyviä ongelmia, tulevat esiin edellä osittain mainitut käsitteet:

kulmamomentti suhteessa akseliin (termi koostuu neljästä sanasta) - kulmamomentin projektio akselille;
jäykän kappaleen hitausmomentti (katso myös joidenkin kappaleiden hitausmomentit );
voimamomentti (alias: vääntömomentti, kiertomomentti, vääntömomentti);
voimamomentin impulssi (yksikkö - N ms ) - voimamomentin vaikutuksen mitta suhteessa tiettyyn akseliin tietyn ajanjakson aikana ( kiertoliikkeessä ). $\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {r} \times \mathbf {F} (t)\;dt$

Huolimatta yhteensopivuudesta "vauhdin" kanssa, nämä käsitteet eivät ole synonyymejä termille "vauhti" ja niillä on itsenäinen merkitys.

Kulmamomentti sähködynamiikassa

Kun kuvataan varautuneen hiukkasen liikettä sähkömagneettisessa kentässä, kanoninen liikemäärä ei ole muuttumaton . Tämän seurauksena kanoninen kulmaliikemäärä ei myöskään ole muuttumaton. Sitten otetaan todellinen vauhti, jota kutsutaan myös "kineettiseksi momentiksi": $s$ $\mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p}$

\mathbf {p} -{\frac {e\mathbf {A} }{c)),

missä on sähkövaraus , on valon nopeus , on vektoripotentiaali . Siten sähkömagneettisessa kentässä varautuneen hiukkasen (invariantti) Hamiltonin on: $e$ $c$ $A$ $m$

H =\frac{1}{2m} \left( \mathbf{p} -\frac {e \mathbf{A} }{c}\right)^2 + e\varphi,

missä on skalaaripotentiaali . Tästä potentiaalista seuraa Lorentzin laki . Invariantti kulmamomentti eli "kineettinen kulmamomentti" määritellään seuraavasti: $\varphi$

K= \mathbf{r} \times \left( \mathbf{p} -\frac {e \mathbf{A} }{c}\oikea).

Kulmamomentti kvanttimekaniikassa

Momenttioperaattori

Kvanttimekaniikassa kulmaliikemäärä kvantisoidaan , mikä tarkoittaa , että se voi muuttua vain "kvanttitasoilla" tarkasti määriteltyjen arvojen välillä. Hiukkasten kulmaliikemäärän projektion mille tahansa akselille niiden avaruudellisen liikkeen vuoksi on oltava kokonaisluku kerrottuna ( pylväällä - Planckin vakio jaettuna ). $\hbar$ $h$ $2\pi$

Kokeet osoittavat, että useimmilla hiukkasilla on vakio sisäinen kulmaliikemäärä, joka on riippumaton niiden liikkeestä avaruudessa. Tämä pyörimiskulmamomentti on aina sekä fermionien että bosonien kerrannainen . Esimerkiksi levossa olevalla elektronilla on kulmamomentti . [2] $\hbar/2$ $\hbar$ $\hbar/2$

Klassisessa määritelmässä kulmaliikemäärä riippuu 6 muuttujasta , , , , , ja . Kääntämällä tämä kvanttimekaanisiksi määritelmiksi Heisenbergin epävarmuusperiaatetta käyttäen , huomaamme, että kaikkia kuutta muuttujaa ei ole mahdollista laskea samanaikaisesti millään tarkkuudella . Siksi on olemassa raja, mitä voimme oppia tai laskea käytännön kulmaliikemäärästä. Tämä tarkoittaa, että paras asia, jonka voimme tehdä, on laskea samanaikaisesti kulmamomenttivektorin ja minkä tahansa sen komponenttien (projektioiden) suuruus. ${\displaystyle r_{x))$ ${\displaystyle r_{y))$ ${\displaystyle r_{z))$ $p_{x}$ $p_{y}$ $p_{z}$

Matemaattisesti kokonaiskulmaliikemäärä kvanttimekaniikassa määritellään fysikaalisen suuren operaattoriksi kahden spatiaaliseen liikkeeseen liittyvän osan summasta - atomifysiikassa tällaista momenttia kutsutaan orbitaaliksi ja hiukkasen sisäiseksi spiniksi, vastaavasti, pyöritä. Ensimmäinen operaattori vaikuttaa aaltofunktion spatiaalisiin riippuvuuksiin:

{\hat {\mathbf {L} }}={\hattu {\mathbf {r} }}\times {\hat {\mathbf {p} }}

missä ja ovat koordinaatti- ja liikemääräoperaattorit, vastaavasti, ja toinen on sisäiselle spinille. Erityisesti yksittäiselle hiukkaselle, jossa ei ole sähkövarausta ja spiniä , kulmamomenttioperaattori voidaan kirjoittaa seuraavasti: $\hat{\mathbf{r}}$ $\hat{\mathbf{p}}$

{\hat {\mathbf {L} }}=-i\hbar (\mathbf {r} \times \nabla )

missä on nabla-operaattori . Tämä on kulmamomenttioperaattorin yleinen muoto, mutta ei tärkein, sillä on seuraavat ominaisuudet: $\nabla$

[L_i,\; L_j ] = i \hbar \varepsilon_{ijk} L_k, \quad\left[L_i,\; \mathbf{L}^2 \right] = 0

missä on Levi-Civitan symboli ; $\varepsilon_{ijk}$

ja vielä tärkeämpiä substituutioita hiukkasen Hamiltonilla ilman varausta ja spiniä:

\vasen[L_i,\; H \oikea] = 0

Pyörimissymmetria

Momentum-operaattoreita kohdataan yleisesti ratkaistaessa pallomaisten koordinaattien pallosymmetriaongelmia . Sitten tilaesityksen kulmaliikemäärä:

-{\frac {1}{\hbar ^{2}}}\mathbf {L} ^{2}={\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial }{ \partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}{\ frac {\partial ^{2}}{\partial \varphi ^{2}}}.

Kun tämän operaattorin ominaisarvot löydetään, saadaan seuraava:

L^{2}\mid l,\;m\rangle ={\hbar }^{2}l(l+1)\mid l,\;m\rangle ,

L_z \mid l,\; m \rang = \hbar m \mid l,\; soi,

jossa , ovat kokonaislukuja siten, että ovat pallomaisia funktioita . $l$ $m$ $-l\leq m\leq l,$ $\lang\theta ,\; \varphi \midl,\; m \rang = Y_{l,\;m}(\theta,\;\varphi)$

Muistiinpanot

↑ Pivarski, Jim Spin . Symmetry Magazine (maaliskuu 2013). Haettu 28. huhtikuuta 2014. Arkistoitu alkuperäisestä 15. huhtikuuta 2014. (määrätön)
↑ [ Tietoa Nobel-komitean verkkosivuilta (englanniksi) . Haettu 3. marraskuuta 2017. Arkistoitu alkuperäisestä 18. toukokuuta 2008. (määrätön) Tiedot Nobel-komitean verkkosivuilta (englanniksi )

Kirjallisuus

Biedenharn L., Lauck J. Angular momentum in quantum physics. Teoria ja sovellukset. - M .: Mir, 1984. - T. 1. - 302 s.
Blokhintsev D. I. Kvanttimekaniikan perusteet. - M .: Nauka, 1976. - 664 s.
Boum A. Kvanttimekaniikka: perusteet ja sovellukset. - M .: Mir, 1990. - 720 s.
Varshalovich D. A. , Moskalev A. N., Khersonsky V. K. Kulmamomentin kvanttiteoria . - L .: Nauka, 1975. - 441 s.
Zar R. Kulmamomentin teoria. Fysiikan ja kemian tilavaikutuksista. - M .: Mir, 1993. - 352 s.