Lorentzin voima

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 7. lokakuuta 2022 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 7 muokkausta .

Lorentzin voima on voima , jolla sähkömagneettinen kenttä vaikuttaa klassisen (ei-kvantti) sähködynamiikan [1] mukaan pistevarautuneeseen hiukkaseen [2] [3] . Joskus Lorentz-voimaksi kutsutaan voimaa, joka vaikuttaa nopeudella liikkuvaan varaukseen vain magneettikentän puolelta , usein täydeksi voimaksi - sähkömagneettisen kentän puolelta yleensä [4] , toisin sanoen sivulta. sähkö- ja magneettikentistä . _ Kansainvälisessä yksikköjärjestelmässä (SI) se ilmaistaan [5] [2] : $\mathbf{v}$ $q\$ $\mathbf {E}$ $\mathbf {B}$

${\vec {\mathbf {F} }}=q\left({\vec {\mathbf {E} }}+[{\vec {\mathbf {v} }},{\vec {\mathbf {B} }}]\oikea).$

Varaukseen q vaikuttava sähkömagneettinen voima on yhdistelmä sähkökentän suunnassa vaikuttavasta voimasta , joka on verrannollinen kentän suuruuteen ja varauksen määrään, sekä voimasta, joka vaikuttaa suorassa kulmassa magneettikenttään ja nopeus , joka on verrannollinen magneettikentän, varauksen ja nopeuden suuruuteen. Tämän peruskaavan muunnelmat kuvaavat virtaa kuljettavaan johtimeen kohdistuvaa magneettista voimaa (jota kutsutaan joskus Laplace-voimaksi), sähkömotorista voimaa langan silmukassa, joka liikkuu alueen läpi, jolla on magneettikenttä ( Faraday induktiolaki ) ja voimaa siirtää varautuneita hiukkasia. $\mathbf {E}$ $\mathbf {B}$ $\mathbf{v}$

Tieteen historioitsijat ehdottavat, että tämä laki viittasi James Clerk Maxwellin artikkeliin , joka julkaistiin vuonna 1865 [6] . Hendrik Lorenz antoi täydellisen johdannaisen tästä kaavasta vuonna 1895 [7] määrittäessään sähkövoiman vaikutuksen muutama vuosi sen jälkeen, kun Oliver Heaviside tunnisti oikein magneettivoiman vaikutuksen [8] [9] .

Lorentzin voimalle, kuten myös hitausvoimille , Newtonin kolmas laki ei päde (tämä pätee vain, jos kentän luovaa magneettia ei pidetä osana järjestelmää). Vain muotoilemalla tämä Newtonin laki liikemäärän säilymisen laiksi suljetussa hiukkasjärjestelmässä ja sähkömagneettisessa kentässä on mahdollista palauttaa sen pätevyys Lorentzin voimille [10] .

Tällaisen väitteen täydellinen johtaminen edellyttää "kentän liikemäärän" käsitteen määrittelyä, ja ehkä ainoa tapa tehdä tämä on Emma Noetherin lause (ja siihen läheisesti liittyvä energia-momenttitensorin käsite) klassisessa (ei-kvantti). ) kenttäteoria Lagrangin formalismissa. Kentän/aallon ominaisimpulssi ("valonpaine") on kuitenkin c kertaa pienempi kuin sen ominaisenergia, missä c on valon nopeus, ja monissa todellisissa teknisissä sovelluksissa on katoavan pieni määrä. Mitä ZSI:n pätevyys tarkoittaa vain yhdelle varautuneelle aineelle, ja vuorostaan, jos aine koostuu vain kahdesta materiaalipisteestä - Newtonin kolmannen lain pätevyys (se vastaa ZSI:tä suljetussa järjestelmässä, joka on materiaalipisteiden/kappaleiden pari).

Lorentzin voima E:n ja B:n määritelmänä

Monet sähkömagnetismin oppikirjat käyttävät Lorentzin voimaa sähkö- ja magneettikenttien E ja B määritelmänä [11] [12] [13] . Erityisesti Lorentzin voima ymmärretään seuraavana empiirisenä lausumana:

Sähkömagneettinen voima F , joka vaikuttaa testivaraukseen tietyllä hetkellä ja tietyllä hetkellä, on sen varauksen q ja nopeuden v määrätty funktio , joka voidaan parametroida täsmälleen kahdella vektorilla E ja B toiminnallisessa muodossa :

\mathbf {F} =q(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} )

Tämä lauseke pätee myös tapauksessa, jossa hiukkanen liikkuu nopeudeltaan lähellä valonnopeutta ( v = | v | ≈ c ). [14] Siten kaksi vektorikenttää E ja B määritellään kaikessa tilassa ja ajassa, ja niitä kutsutaan "sähkökentiksi" ja "magneettikentiksi". Kentät on määritelty kautta avaruuden ja ajan sähkömagneettiseen kenttään asetetun testivarauksen kokeman voiman suhteen.

E :n ja B :n määritelmänä Lorentzin voima on vain periaatteellinen määritelmä, koska todellinen hiukkanen (toisin kuin hypoteettinen testikappale, jonka massa ja varaus on äärettömän pieni) luo omat äärelliset kentänsä E ja B muuttaen sähkömagneettista voimaa. se kokee. Lisäksi magneettikentässä oleva varaus liikkuu yleensä kaarevaa polkua pitkin, eli kiihtyvyydellä - mikä tarkoittaa, että se lähettää säteilyä ja menettää liike-energiaa (katso esimerkiksi artikkelit bremsstrahlung tai synchrotron radiation ). Nämä vaikutukset johtuvat sekä suorasta vaikutuksesta (ns. säteilyreaktiovoimasta ) että epäsuorista (vaikuttamalla lähellä olevien varausten ja virtojen liikkeisiin).

Yhtälö

Varautunut hiukkanen

Ulkoisen sähkökentän E ja magneettikentän B aiheuttamaan hiukkaseen, jolla on sähkövaraus q ja hetkellinen nopeus v , vaikuttava voima F saadaan kaavalla ( SI-yksiköissä ): [15]

${\vec {\mathbf {F} }}=q({\vec {\mathbf {E} }}+[{\vec {\mathbf {v} }},{\vec {\mathbf {B } }}])$

jossa x - merkki tarkoittaa ristituloa (kaikki lihavoitu suuret ovat vektoreita). In Cartesian Components

F_{x}=q(E_{x}+v_{y}B_{z}-v_{z}B_{y}),

F_{y}=q(E_{y}+v_{z}B_{x}-v_{x}B_{z}),

F_{z}=q(E_{z}+v_{x}B_{y}-v_{y}B_{x}).

Yleisesti ottaen sähkö- ja magneettikentät riippuvat koordinaateista ja ajasta. Siksi eksplisiittisessä muodossa Lorentzin voima voidaan kirjoittaa muodossa

\mathbf {F} \left(\mathbf {r} ,\mathbf {\piste {r)) ,t,q\right)=q\left[\mathbf {E} (\mathbf {r}, t)+\mathbf {\piste {r)) \times \mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)\oikea]

missä r on varautuneen hiukkasen paikkavektori, t on aika ja piste tarkoittaa ajan derivaatta.

Positiivisesti varautunut hiukkanen kiihtyy samaan suuntaan kuin kenttä E , mutta sen liikerata kaartuu kohtisuoraan sekä hetkellisen nopeusvektorin v että kentän B suhteen gimlet-säännön mukaisesti (jos oikean käden sormet ovat ojennettuna osoittamaan v :n suuntaan ja sitten kaareva niin, että se osoittaa suuntaan B , silloin ojennettuna oleva peukalo osoittaa suuntaan F ).

Termiä q E kutsutaan sähkövoimaksi ja termiä q ( v × B ) magneettivoimaksi [16] . Joidenkin määritelmien mukaan termi "Lorentzin voima" viittaa erityisesti magneettisen voiman kaavaan [17] , kun taas kaavalle sähkömagneettisen kokonaisvoiman (mukaan lukien sähköinen voima) annetaan eri nimi. Seuraavassa termi "Lorentzin voima" viittaa kokonaisvoiman ilmaisuun.

Lorentzin voiman magneettinen komponentti ilmenee voimana, joka vaikuttaa magneettikenttään sijoitettuun virtaa kuljettavaan johtimeen. Tässä yhteydessä tätä voimaa kutsutaan myös Laplace-voimaksi.

Lorentzin voima on voima, jonka sähkömagneettinen kenttä kohdistaa varautuneeseen hiukkaseen, tai. toisin sanoen nopeus, jolla lineaarinen liikemäärä siirtyy sähkömagneettisesta kentästä hiukkaseen. Siihen liittyy teho, joka on nopeus, jolla energia siirtyy sähkömagneettisesta kentästä hiukkaseen:

\mathbf {v} \cdot \mathbf {F} =q\,\mathbf {v} \cdot \mathbf {E}

Magneettikenttä ei toimi, koska magneettinen voima on aina kohtisuorassa hiukkasen nopeuteen nähden.

Jatkuva lataus

Jatkuvalle varauksen jakautumiselle liikkeessä Lorentzin voiman yhtälö saa differentiaalimuodon

\mathrm {d} \mathbf {F} =\mathrm {d} q\left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)\,\!

missä on voima, joka vaikuttaa pieneen tilavuuselementtiin varauksella . Jos tämän yhtälön molemmat osat jaetaan tämän pienen varausjakauman fragmentin tilavuudella, saadaan lauseke $\mathrm {d} \mathbf {F}$ $\mathrm {d} q$ ${\mathrm {d}}V$

\mathbf {f} =\rho \left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)\,\!

missä on voimatiheys (voima tilavuusyksikköä kohti) ja varaustiheys ( varaus tilavuusyksikköä kohti). Lisäksi varauksen liikettä vastaava virrantiheys on yhtä suuri kuin ${\mathbf {f))$ $\rho$

\mathbf {J} =\rho \mathbf {v} \,\!

niin, että Lorentzin voiman yhtälön jatkuva analogi on lauseke [18]

$\mathbf {f} =\rho \mathbf {E} +\mathbf {J} \times \mathbf {B} \,\!$

Täysi voima voidaan saavuttaa laskemalla tilavuusintegraali varausjakauman yli:

\mathbf {F} =\iiint \!(\rho \mathbf {E} +\mathbf {J} \times \mathbf {B} )\,\mathrm {d} V\,\!

Eliminoimalla ja käyttämällä Maxwellin yhtälöitä vektorilaskennan teoreemojen avulla tätä yhtälön muotoa voidaan käyttää Maxwellin jännitystensorin johtamiseen ja yhdistämällä Poynting-vektoriin saadaan yleisesti käytetyn sähkömagneettisen kentän energia-momenttitensori T suhteellisuusteoria [18] . $\rho$ ${\mathbf {J}}$ ${\boldsymbol {\sigma ))$ $\mathbf {S}$

Lorentzin voima (tilavuusyksikköä kohti ) voidaan kirjoittaa muodossa [18] ${\boldsymbol {\sigma ))$ $\mathbf {S}$

\mathbf {f} =\nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma }}-{\dfrac {1}{c^{2}}}{\dfrac {\partial \mathbf {S} }{\ osittainen t}}\,\!

missä on valon nopeus, ∇ · tarkoittaa tensorikentän divergenssiä . Tämä yhtälö ei liitä varauksen määrää ja sen nopeutta sähkö- ja magneettikentissä, vaan energian virtausta ( energiavirtaa aikayksikköä kohden matkan yksikköä kohti) kentissä varauksen jakautumiseen vaikuttavan voiman kanssa. $c$

Lorentz-voimaan liittyvä tehotiheys materiaalissa on yhtä suuri kuin

\mathbf {J} \cdot \mathbf {E}

Jos jaamme kokonaisvarauksen ja kokonaisvirran niiden vapaisiin ja sidottuihin osiin, käy ilmi, että Lorentzin voiman tiheys on yhtä suuri kuin

\mathbf {f} =(\rho _{f}-\nabla \cdot \mathbf {P} )\mathbf {E} +(\mathbf {J} _{f}+\nabla \times \mathbf {M} +{\frac {\partial \mathbf {P} }{\partial t)))\times \mathbf {B}

missä on vapaan varauksen tiheys; - polarisaatio ; on ilmaisten maksujen nykyinen tiheys; ja on magnetointi. Siten Lorentzin voima voi selittää kestomagneettiin kohdistuvan vääntömomentin ulkoisen magneettikentän vuoksi. ${\näyttötyyli \rho _{f))$ ${\mathbf {P}}$ ${\displaystyle \mathbf {J} _{f))$ $\mathbf {M}$

Yhtälö CGS-yksiköissä

Yllä olevat kaavat käyttävät SI-yksiköitä, jotka ovat yleisimpiä kokeilijoiden, teknikkojen ja insinöörien keskuudessa. CGS-järjestelmässä, joka on yleisempi teoreettisten fyysikkojen keskuudessa, Lorentzin voima saa muodon

\mathbf {F} =q_{\mathrm {cgs} }\left(\mathbf {E} _{\mathrm {cgs} }+{\frac {\mathbf {v} }{c))\times \mathbf {B} _{\mathrm {cgs} }\oikea)

missä c on valon nopeus . Vaikka tämä yhtälö näyttää hieman erilaiselta, se on täysin ekvivalentti, koska uudet suureet liittyvät kahdessa yksikköjärjestelmässä suhteiden avulla.

q_{\mathrm {cgs} }={\frac {q_{\mathrm {SI} }}{\sqrt {4\pi \epsilon _{0)))),\quad \mathbf {E} _ {\mathrm {cgs} }={\sqrt {4\pi \epsilon _{0))}\,\mathbf {E} _{\mathrm {SI} },\quad \mathbf {B} _{\mathrm {cgs} }={\sqrt {4\pi /\mu _{0))}\,{\mathbf {B} _{\mathrm {SI} )),\quad c={\frac {1}{ \sqrt {\varepsilon _{0}\mu _{0)))).

missä ε 0 on tyhjön permittiivisyys ja μ 0 on tyhjön magneettinen permeabiliteetti . Käytännössä jälkiliitteet "cgs" ja "SI" jätetään aina pois, ja yksikköjärjestelmän tulee olla selkeä asiayhteydestä.

Erikoistapaukset

Tasaisessa magneettikentässä, joka on suunnattu kohtisuoraan nopeusvektoriin nähden, Lorentzin voiman vaikutuksesta varautunut hiukkanen liikkuu tasaisesti pitkin vakiosäteistä ympyrää (kutsutaan myös gyrosäteeksi). Lorentzin voima on tässä tapauksessa keskipitkävoima: $r$

GHS	SI
${mv^{2} \over r}={\|q\| \over c}vB\Rightarrow r={cm \over \|q\|}\cdot {v \over B}$	${\displaystyle {mv^{2} \over r}=\|q\|vB\Rightarrow r={m \over \|q\|}\cdot {v \over B))$

Lorentzin voiman työ on nolla, koska voima- ja nopeusvektorit ovat aina ortogonaalisia. Nopeudella , joka on paljon pienempi kuin valonnopeus , ympyrätaajuus ei riipu : $v\$ $\omega \$ $v\$

GHS	SI
${\displaystyle \omega ={\|q\|B \over mc))$	$\omega ={\|q\|B \over m}$

Jos varautunut hiukkanen liikkuu magneettikentässä siten, että nopeusvektori muodostaa kulman magneettisen induktiovektorin kanssa , niin hiukkasen liikerata on kierre, jonka säde ja ruuvin nousu : $v\$ $\mathbf {B}$ $\alpha\$ $r\$ $h\$

GHS	SI
${\displaystyle r={mc \over \|q\|}\cdot {v\sin \alpha \over B))$ , $h={2\pi \over B}\cdot {mc \over \|q\|}\cdot v\cos \alpha$	${\displaystyle r={m \over \|q\|}\cdot {v\sin \alpha \over B))$ , $h={2\pi \over B}\cdot {m \over \|q\|}\cdot v\cos \alpha$

Historia

Ensimmäiset yritykset mitata sähkömagneettista voimaa tehtiin 1700-luvun puolivälissä. Johann Tobias Mayer ja muut olettivat vuonna 1760 [19] , että Henry Cavendishin vuonna 1762 [20] määrittämä voima magneettinapoissa, kuten sähköisesti varautuneissa esineissä, noudattaa käänteisen neliön lakia . Kummassakaan tapauksessa kokeellinen todiste ei kuitenkaan ollut täydellinen eikä ratkaiseva. Vasta vuonna 1784 Charles-Augustin de Coulomb pystyi vääntövaakaa käyttäen osoittamaan lopullisesti kokeellisesti, että tämä oli totta. [21] Pian sen jälkeen, kun Hans Christian Oersted löysi vuonna 1820 sähkövirran vaikuttavan magneettiseen neulaan, André-Marie Ampère pystyi samana vuonna kokeellisesti saamaan kaavan kahden välisen voiman kulmariippuvuudelle. nykyiset elementit. [22] [23] Kaikissa näissä kuvauksissa voimaa on aina kuvattu aineen ominaisuuksilla ja kahden massan tai varauksen välisillä etäisyyksillä, ei sähkö- ja magneettikentillä. [24]

Moderni sähkö- ja magneettikenttien käsite syntyi ensin Michael Faradayn teorioissa , erityisen onnistunut oli hänen ideansa voimalinjoista, joka myöhemmin sai täydellisen matemaattisen kuvauksen Lord Kelviniltä ja James Clerk Maxwellilta . [25] Nykyajan näkökulmasta Maxwellin vuonna 1865 laatimassa sähkömagneettisen kentän yhtälössä voidaan saada yhtälö Lorentzin voimalle suhteessa sähkövirtoihin [6] , vaikka Maxwellin aikana ei ollut selvää, miten hänen siirtymävarattujen kohteiden voimiin liittyvät yhtälöt. J. J. Thomson oli ensimmäinen, joka yritti johtaa Maxwellin kenttäyhtälöistä liikkuvaan varautuneeseen esineeseen vaikuttavat sähkömagneettiset voimat kohteen ominaisuuksien ja ulkoisten kenttien suhteen. Kiinnostunut varautuneiden hiukkasten käyttäytymisestä katodisäteissä , Thomson julkaisi vuonna 1881 artikkelin, jossa hän määritteli hiukkasiin vaikuttavan voiman ulkoisen magneettikentän vuoksi [8]

\mathbf {F} ={\frac {q}{2}}\mathbf {v} \times \mathbf {B} .

Thomson päätteli kaavan oikean perusmuodon, mutta joidenkin virheiden ja epätäydellisen bias-virran kuvauksen vuoksi hän sisällytti virheellisen skaalauskertoimen puoleen ennen kaavaa. Oliver Heaviside keksi modernin vektorimerkinnän ja kirjoitti Maxwellin kenttäyhtälöt uudelleen niiden ehdoilla; hän myös (1885 ja 1889) korjasi virheet Thomsonin johtamisessa ja päätyi oikeaan muotoon liikkuvaan varautuneeseen hiukkaseen vaikuttavalle magneettiselle voimalle. [8] [25] [26] Lopulta vuonna 1895 [7] [27] Hendrik Lorentz keksi nykyaikaisen kaavan sähkömagneettiselle voimalle, joka sisälsi sekä sähkö- että magneettikentät. Lorentz hylkäsi alun perin Maxwellin kuvauksen eetteristä ja johtumisesta. Sen sijaan Lorentz huomautti erot aineen ja valopitoisen eetterin välillä ja kirjoitti Maxwellin yhtälöt mikroskooppisessa mittakaavassa. Käyttämällä kiinteää eetteriversiota Maxwell Heavisiden yhtälöistä ja soveltamalla Lagrangian mekaniikkaa (katso alla), Lorentz päätyi oikeaan ja täydelliseen lain muotoon sähkömagneettiselle voimalle, joka nyt kantaa hänen nimeään. [25] [28]

Hiukkasten liikeradat Lorentzin voiman vaikutuksesta

Monissa käytännön kiinnostavissa tapauksissa sähköisesti varautuneen hiukkasen (esimerkiksi elektronin tai ionin plasmassa ) liikettä magneettikentässä voidaan pitää suhteellisen nopean ympyräliikkeen superpositiona pisteen ympäri, joka ajautuu johonkin suuntaan. kohtisuorassa sähkö- ja magneettikenttiä vastaan. Poikkeamisnopeudet voivat vaihdella varaustilan, massan tai lämpötilan mukaan, mikä voi johtaa sähkövirtoihin tai kemialliseen erottumiseen.

Lorentzin voiman merkitys

Kun nykyaikaiset Maxwell-yhtälöt kuvaavat kuinka sähköisesti varautuneet hiukkaset ja virrat tai liikkuvat varautuneet hiukkaset aiheuttavat sähkö- ja magneettikenttiä, Lorentzin voima täydentää tätä kuvaa kuvaamalla voimaa, joka vaikuttaa liikkuvaan pistevaraukseen q sähkömagneettisten kenttien läsnä ollessa. [15] [29] Vaikka Lorentzin voima kuvaa E :n ja B :n toimintaa pistevarauksessa, tällaiset sähkömagneettiset voimat eivät ole koko kuvaa. Varautuneet hiukkaset voivat olla yhteydessä muihin voimiin, erityisesti painovoima- ja ydinvoimiin. Siten Maxwellin yhtälöt eivät erotu muista fysikaalisista laeista, vaan liittyvät niihin varaus- ja virrantiheyksien kautta. Pistevarauksen reaktio Lorentzin lakiin on yksi näkökohta; E :n ja B : n synnyttäminen virtojen ja varausten avulla on toinen.

Todellisissa materiaaleissa Lorentzin voima ei kuvaa riittävästi varautuneiden hiukkasten kollektiivista käyttäytymistä, ei periaatteessa eikä laskelmien kannalta. Varautuneet hiukkaset materiaaliväliaineessa eivät vain reagoi kenttiin E ja B, vaan myös luovat nämä kentät itse. Varausten ajallisen ja spatiaalisen reaktion määrittämiseksi on tarpeen ratkaista monimutkaisia kuljetusyhtälöitä, esimerkiksi Boltzmann-yhtälö, Fokker-Planck- yhtälö tai Navier-Stokes-yhtälöt . Katso esimerkiksi Magnetohydrodynamiikka , nestedynamiikka , sähköhydrodynamiikka , suprajohtavuus , tähtien evoluutio . Näiden ongelmien ratkaisemiseksi on kehitetty kokonainen fyysinen laite. Katso esimerkiksi Greenin–Kubo- kaavat ja Greenin funktio (monikappaleteoria).

Voima virtaa johtavaan johtoon

Kun sähkövirtaa kuljettava lanka asetetaan magneettikenttään, jokainen liikkuva varaus, joka muodostaa virran, kokee Lorentz-voiman, ja yhdessä ne voivat luoda johtoon makroskooppisen voiman (kutsutaan joskus Laplace-voimaksi ). Yhdistämällä yllä oleva Lorentzin laki sähkövirran määritelmään saadaan suoran kiinteän johdon tapauksessa seuraava yhtälö: [30]

\mathbf {F} =I{\boldsymbol {\ell }}\times \mathbf {B}

missä ℓ on vektori, jonka suuruus on yhtä suuri kuin langan pituus ja suunta on johdinta pitkin yhdistettynä tavallisen virran I suuntaan .

Jos lanka ei ole suora, vaan taivutettu, siihen vaikuttava voima lasketaan soveltamalla tätä kaavaa jokaiseen äärettömään pieneen langanpalaan d ℓ ja lisäämällä sitten kaikki nämä voimat integroimalla . Muodollisesti tuloksena oleva voima, joka vaikuttaa kiinteään jäykkään johtoon, jonka läpi tasavirta I kulkee , on yhtä suuri kuin

\mathbf {F} =I\int \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\times \mathbf {B}

Tämä on täysi teho. Lisäksi vääntömomenttia ja muita vaikutuksia esiintyy yleensä, jos vaijeri ei ole täysin jäykkä.

Eräs sovellus tästä on Ampèren voimalaki , joka kuvaa kuinka kaksi virtaa kuljettavaa johtoa houkuttelevat tai hylkivät toisiaan virran suunnasta riippuen, kun ne kumpikin kokevat Lorentz-voiman toisen virran luomasta magneettikentästä.

EMF

Magneettinen voima ( q v × B ) Lorentzin voiman lausekkeessa on vastuussa motiivista sähkömotorisesta voimasta (tai motiivista EMF :stä ), ilmiöstä, joka on monien sähkögeneraattoreiden toiminnan taustalla. Kun johdin liikkuu magneettikentän alueen läpi, magneettikenttä kohdistaa vastakkaisia voimia langan elektroneihin ja ytimiin, mikä luo EMF:n. Termiä "moottorin EMF" käytetään tähän ilmiöön, koska EMF johtuu langan liikkeestä .

Muissa sähkögeneraattoreissa magneetit liikkuvat, mutta johtimet eivät. Tässä tapauksessa EMF johtuu sähkövoimasta (q E ) Lorentzin voiman yhtälössä. Kyseinen sähkökenttä syntyy muuttuvan magneettikentän vaikutuksesta, mikä johtaa indusoituneeseen emf:iin, kuten Maxwell-Faraday yhtälö kuvaa . [31]

Molempia näistä EMF:istä huolimatta niiden selvästi erilaisesta alkuperästä kuvataan samalla yhtälöllä, nimittäin EMF on langan läpi kulkevan magneettivuon muutosnopeus . Tämä on Faradayn sähkömagneettisen induktion laki, katso alla. Einsteinin erityinen suhteellisuusteoria johtui osittain halusta ymmärtää paremmin tämä näiden kahden vaikutuksen välinen yhteys. [31] Itse asiassa sähkö- ja magneettikentät ovat yhden sähkömagneettisen kentän eri puolia (kentänvoimakkuustensorin Fij yhden matriisin eri elementtejä), ja kun siirrytään yhdestä inertiaalisesta viitekehyksestä toiseen (eli sovelletaan operaatio, jossa kanta vaihdetaan matriisiin Fij), osa sähkömagneettisesta vektorikentästä E voidaan korvata kokonaan tai osittain B :llä tai päinvastoin . [32]

Lorentzin voima ja Faradayn induktiolaki

Magneettikentässä olevalle lankasilmukalle Faradayn induktiolaki sanoo, että indusoitu sähkömotorinen voima (EMF) langassa on:

{\mathcal {E}}=-{\frac {\mathrm {d} \Phi _{B}}{\mathrm {d} t}}

missä

\Phi _{B}=\iint _{\Sigma (t)}\mathrm {d} \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)

- magneettivuo silmukan läpi, B - magneettikenttä, Σ ( t ) - pinta, jota rajoittaa suljettu ääriviiva ∂Σ ( t ), hetkellä t , d A - pinta-alavektorin Σ ( t ) äärettömän pieni elementti (arvo on pinnan äärettömän pienen alueen ala, vektorin suunta on kohtisuora tähän pinnan alueeseen nähden).

EMF: n merkki määräytyy Lenzin lain mukaan . Tämä ei päde vain kiinteälle johdolle, vaan myös liikkuvalle johdolle.

Faradayn sähkömagneettisen induktion lain ja Maxwellin yhtälöiden perusteella voidaan saada Lorentzin voima. Päinvastoin on myös totta: Lorentzin voimaa ja Maxwellin yhtälöitä voidaan käyttää Faradayn lain johtamiseen .

Olkoon Σ ( t ) translaatiolanka, jonka nopeus on vakio v, ja Σ ( t ) langan sisäpinta. EMF suljetun polun ∂Σ ( t ) ympärillä määritetään lausekkeella [33]

{\mathcal {E}}=\oint _{\partial \Sigma (t)}\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\cdot \mathbf {F} /q

missä

\mathbf {E} =\mathbf {F} /q

on sähkökenttä ja d ℓ on ääriviivan ∂Σ ( t ) äärettömän pieni vektorialkio.

Suunta d ℓ ja d A on epäselvä. Oikean merkin saamiseksi käytetään oikean käden sääntöä , kuten artikkelissa Kelvin-Stokesin lause on kuvattu.

Yllä olevaa tulosta voidaan verrata Faradayn sähkömagneettisen induktion lakiin, joka esiintyy nykyaikaisissa Maxwellin yhtälöissä, jota tässä kutsutaan Maxwell-Faraday-yhtälöksi :

\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t))\ .

Maxwell-Faraday-yhtälö voidaan kirjoittaa integraalimuodossa Kelvin-Stokes-lauseen avulla. [34]

Maxwell-Faraday yhtälö saa muodon

\oint _{\partial \Sigma (t)}\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\cdot \mathbf {E} (\mathbf {r} ,\ t)=-\ \iint _{\Sigma (t)}\mathrm {d} \mathbf {A} \cdot {{\mathrm {d} \,\mathbf {B} (\mathbf {r} ,\ t)} \over \mathrm { d}t}

ja Faradayn laki

\oint _{\partial \Sigma (t)}\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\cdot \mathbf {F} /q(\mathbf {r} ,\ t)=-{ \frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\iint _{\Sigma (t)}\mathrm {d} \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} (\mathbf {r } ,\t).

Nämä kaksi lauseketta ovat samanarvoisia, jos lanka ei liiku. Käyttämällä Leibnizin integraalisääntöä ja div B = 0, voidaan saada,

\oint _{\partial \Sigma (t)}\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\cdot \mathbf {F} /q(\mathbf {r} ,t)=-\iint _{\Sigma (t)}\mathrm {d} \mathbf {A} \cdot {\frac {\partial }{\partial t))\mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)+\oint _{\partial \Sigma (t)}\!\!\!\!\mathbf {v} \times \mathbf {B} \,\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell ))

ja Maxwell Faradayn yhtälöä käyttäen,

\oint _{\partial \Sigma (t)}\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\cdot \mathbf {F} /q(\mathbf {r} ,\ t)=\oint _{\partial \Sigma (t)}\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\cdot \mathbf {E} (\mathbf {r} ,\ t)+\oint _{\partial \Sigma ( t)}\!\!\!\!\mathbf {v} \times \mathbf {B} (\mathbf {r} ,\ t)\,\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}

koska tämä pätee kaikkiin langan asemiin

\mathbf {F} =q\,\mathbf {E} (\mathbf {r} ,\ t)+q\,\mathbf {v} \times \mathbf {B} (\mathbf {r}, \t).

Faradayn induktiolaki pätee riippumatta siitä, onko lankasilmukka jäykkä ja paikallaan, vai onko se liikkeessä tai muodonmuutosprosessissa, ja myös riippumatta siitä, onko magneettikenttä ajallisesti vakio vai muuttuu. Kuitenkin on aikoja, jolloin Faradayn laki on joko riittämätön tai vaikea käyttää, ja Lorentzin lakia on sovellettava.

Jos magneettikenttä on ajasta riippumaton ja johtava silmukka liikkuu kentän läpi, silmukkaan tuleva magneettivuo ΦB voi muuttua monella tavalla. Esimerkiksi jos magneettikenttä muuttuu paikasta riippuen ja silmukka siirtyy toiseen kohtaan, jonka arvo on erilainen B , - Φ B muuttuu. Vaihtoehtoisesti, jos silmukan suunta muuttuu suhteessa B :hen , differentiaalielementti B ⋅ d A muuttuu B :n ja d A:n välisen kulman vuoksi, ja myös F B muuttuu. Kolmantena esimerkkinä, jos osa sähköpiiri kulkee homogeenisen, ajasta riippumattoman magneettikentän läpi ja piirin toinen osa pysyy paikallaan, jolloin koko suljetun piirin yhdistävä magneettivuo voi muuttua piirin osien sijainnin suhteellisesta siirtymisestä johtuen ajan myötä (pinta ∂Σ ( t ), ajasta riippuen) . Kaikissa kolmessa tapauksessa Faradayn induktiolaki ennustaa Φ B :n muutoksen synnyttämän emf:n ilmaantumisen .

Maxwell-Faraday yhtälöstä seuraa, että jos magneettikenttä B muuttuu ajan myötä, niin sähkökenttä E on ei-konservatiivinen , eikä sitä voida ilmaista skalaarikentän gradienttina , koska sen kihara ei ole nolla. [35] [36]

Lorentzin voima potentiaalien suhteen

Kentät E ja B voidaan korvata vektorimagneettisella potentiaalilla A ja ( skalaari ) sähköstaattisella potentiaalilla ϕ

\mathbf {E} =-\nabla \phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t))

\mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A}

missä ∇ on gradientti, ∇⋅ on divergentti, ∇ × on kihara .

Voima kirjoitetaan muodossa

\mathbf {F} =q\left[-\nabla \phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t))+\mathbf {v} \times (\nabla \times \mathbf {A} )\right].

Käyttämällä kolmoistuotteen identiteettiä tämä lauseke voidaan kirjoittaa uudelleen muotoon

$\mathbf {F} =q\left[-\nabla \phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t))+\nabla \left(\mathbf {v} \cdot \mathbf {A} \right)-\left(\mathbf {v} \cdot \nabla \right)\mathbf {A} \oikea],$

Tässä koordinaatit ja nopeuskomponentit tulee käsitellä itsenäisinä muuttujina, joten nabla-operaattori toimii vain, ei ; näin ollen ei ole tarvetta käyttää Feynman-indeksimerkintää yllä olevassa yhtälössä. Ketjusääntöä käyttämällä kokonaisderivaata on : $\mathbf {A}$ $\mathbf{v}$ $\mathbf {A}$

{\frac {\mathrm {d} \mathbf {A} }{\mathrm {d} t))={\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t))+(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {A}

joten yllä oleva lauseke tulee

\mathbf {F} =q\left[-\nabla (\phi -\mathbf {v} \cdot \mathbf {A} )-{\frac {\mathrm {d} \mathbf {A} }{ \mathrm {d} t}}\oikea]

Jos v = ẋ, yhtälö voidaan kirjoittaa uudelleen kätevään Euler-Lagrange-muotoon

$\mathbf {F} =q\left[-\nabla _{\mathbf {x} }(\phi -{\dot {\mathbf {x} }}\cdot \mathbf {A} )+{\ frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\nabla _{\dot {\mathbf {x} }}(\phi -{\dot {\mathbf {x} }}\cdot \mathbf {A} )\right]$

missä merkintä

$\nabla _{\mathbf {x} }={\hattu {x}}{\dfrac {\partial }{\partial x}}+{\hat {y}}{\dfrac {\partial }{ \partial y))+{\hat {z)){\dfrac {\partial }{\partial z))$

$\nabla _{\dot {\mathbf {x} }}={\hat {x}}{\dfrac {\partial }{\partial {\dot {x}}}}+{\hat {y )){\dfrac {\partial }{\partial {\piste {y))))+{\hat {z))){\dfrac {\partial }{\partial {\piste {z))))$ .

Lorentzin voima ja analyyttinen mekaniikka

Lagrangian varautuneelle hiukkaselle, jonka massa on m ja varaus q sähkömagneettisessa kentässä, kuvaa hiukkasen dynamiikkaa sen energian perusteella, ei siihen vaikuttavan voiman perusteella. Klassinen lauseke annetaan seuraavasti: [37]

L={\frac {m}{2}}\mathbf {\piste {r}} \cdot \mathbf {\piste {r}} +q\mathbf {A} \cdot \mathbf {\piste { r}} -q\phi

missä A ja ϕ ovat potentiaalikenttiä, kuten edellä on osoitettu. Suuruutta voidaan pitää potentiaalisena funktiona nopeudesta riippuen. [38] Lagrangen yhtälöitä käyttämällä voidaan jälleen saada yllä annettu yhtälö Lorentzin voimalle. $V=q(\phi -\mathbf {A} \cdot \mathbf {\piste {r)) )$

Potentiaalinen energia riippuu hiukkasen nopeudesta, joten voima riippuu nopeudesta, ja näin ollen se ei ole konservatiivinen.

Relativistinen Lagrange

L=-mc^{2}{\sqrt {1-\left({\frac {\piste {\mathbf {r} }}{c}}\right)^{2}}}+q\ mathbf {A} (\mathbf {r} )\cdot {\piste {\mathbf {r} }}-q\phi (\mathbf {r} )\,\!

Toiminta on hiukkasen relativistinen polun pituus tila-ajassa , josta on vähennetty potentiaalisen energian osuus, plus lisäosuus, joka kvanttimekaanisesti on ylimääräinen vaihe, jonka varautunut hiukkanen saa liikkuessaan vektoripotentiaalia pitkin.

Lorentzin voiman relativistinen muoto

Lorentzin voiman kovarianttimuoto.

Kenttätensori

Käyttämällä metristä allekirjoitusta (1, −1, −1, −1) Lorentzin voima varaukselle q voidaan kirjoittaa [39] kovarianttimuodossa :

${\frac {\mathrm {d} p^{\alpha }}{\mathrm {d} \tau }}=qF^{\alpha \beta }U_{\beta }$

jossa p α on neliulotteinen liikemäärä , joka määritellään seuraavasti

p^{\alpha }=\left(p_{0},p_{1},p_{2},p_{3}\right)=\left(\gamma mc,p_{x},p_{ y},p_{z}\oikea)\,,

τ on hiukkasen oikea aika , F αβ on sähkömagneettisen kentän kontravarianttitensori

F^{\alpha \beta }={\begin{pmatrix}0&-E_{x}/c&-E_{y}/c&-E_{z}/c\\E_{x}/c&0&-B_ {z}&B_{y}\\E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{pmatrix}}

ja U on partikkelin kovariantti 4-nopeus, joka määritellään seuraavasti:

U_{\beta }=\left(U_{0},U_{1},U_{2},U_{3}\right)=\gamma \left(c,-v_{x},-v_ {y},-v_{z}\oikea)\,,

missä on Lorentzin tekijä

\gamma (v)={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}={\frac {1}{ \sqrt {1-{\frac {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}{c^{2}}}}}}

Kentät muunnetaan kiinteään järjestelmään nähden vakionopeudella liikkuvaksi järjestelmäksi käyttämällä:

F'^{\mu \nu }={\Lambda ^{\mu }}_{\alpha }{\Lambda ^{\nu }}_{\beta }F^{\alpha \beta }\ ,,

missä Λ μ α on Lorentzin muunnostensori .

Käännös vektorimerkitykseksi

Voiman α = 1 komponentti ( x -komponentti) on

{\frac {\mathrm {d} p^{1}}{\mathrm {d} \tau }}=qU_{\beta }F^{1\beta }=q\left(U_{0} F^{10}+U_{1}F^{11}+U_{2}F^{12}+U_{3}F^{13}\oikea).

Korvaamalla sähkömagneettisen kentän F kovarianttitensorin komponentit saadaan

{\frac {\mathrm {d} p^{1}}{\mathrm {d} \tau }}=q\left[U_{0}\left({\frac {E_{x}}{ c}}\oikea)+U_{2}(-B_{z})+U_{3}(B_{y})\oikea].

Kovarianttien nelinopeuksien komponentteja käyttämällä

{\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} p^{1}}{\mathrm {d} \tau }}&=q\gamma \left[c\left({\frac { E_{x}}{c}}\oikea)+(-v_{y})(-B_{z})+(-v_{z})(B_{y})\right]\\&=q\ gamma \left(E_{x}+v_{y}B_{z}-v_{z}B_{y}\right)\\&=q\gamma \left[E_{x}+\left(\mathbf { v} \times \mathbf {B} \right)_{x}\right]\,.\end{aligned}}

Laskenta α = 2 , 3 (voiman komponentit y- ja z-suunnissa ) johtaa samanlaisiin tuloksiin, joten yhdistämällä kolme yhtälöä yhdeksi:

{\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} \tau }}=q\gamma \left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {Kirkas)\,,

ja koska koordinaattiajan dt ja oikean ajan dτ erot liittyvät Lorentz-tekijään,

dt=\gamma (v)d\tau \,,

Lopulta voit kirjoittaa

{\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}=q\left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \oikea)\,.

Tämä on täsmälleen Lorentzin laki, mutta p on relativistinen lauseke,

\mathbf {p} =\gamma (v)m_{0}\mathbf {v} \,.

Lorentzin voima tila-aikaalgebrassa (STA)

[ tarkista käännös ! ] Sähkö- ja magneettikentät riippuvat tarkkailijan nopeudesta, joten Lorentzin lain relativistinen muoto voidaan parhaiten osoittaa koordinaateista riippumattomalla lausekkeella sähkömagneettisille ja magneettikentille. , ja mielivaltainen ajan suunta, . Avaruus-aika-algebran (tai geometrisen aika-avaruusalgebran), kuten pseudoeuklidisessa avaruudessa [40] määritellyn Clifford-algebran , avulla kirjoitamme ${\mathcal {F}}$ $\gamma _{0}$

\mathbf {E} =({\mathcal {F}}\cdot \gamma _{0})\gamma _{0}

i\mathbf {B} =({\mathcal {F}}\wedge \gamma _{0})\gamma _{0}

${\mathcal {F}}$ on aika-avaruusbivektori (suuntautunut litteä segmentti analogisesti vektorin kanssa, joka on suunnattu viivasegmentti), jolla on kuusi vapausastetta, jotka vastaavat tehosteita (kierroksia aika-avaruustasoissa) ja rotaatioita (kiertoja avaruudessa) -avaruuslentokoneita). Pistetulo vektorilla vetää vektorin (tilaalgebrassa) translaatioosasta, kun taas ulompi tulo luo trivektorin (tilaalgebrassa), joka on kaksoisvektorin kanssa, joka on tavallinen magneettikenttävektori. Relativistinen nopeus saadaan (aikakaltaisista) muutoksista aikakoordinaattivektorissa , jossa $\gamma _{0}$ $v={\piste {x}}$

v^{2}=1,

(joka osoittaa valintamme mittarin), ja nopeus on

\mathbf {v} =cv\wedge \gamma _{0}/(v\cdot \gamma _{0}).

Lorentzin lain oikea muoto (invariantti on riittämätön termi, koska muunnoksia ei ole määritelty)

$F=q{\mathcal {F}}\cdot v$

Tässä järjestys on tärkeä, koska bivektorin ja vektorin välinen pistetulo on antisymmetrinen. Tällä aika-avaruuden jakamalla voidaan saada nopeus ja kentät, kuten edellä on osoitettu, mikä antaa tavanomaisen ilmaisun.

Lorentzin voima yleisessä suhteellisuusteoriassa

Yleisessä suhteellisuusteoriassa metrisen tensorin ja sähkömagneettisen kentän avulla avaruudessa liikkuvan hiukkasen, jolla on massa ja varaus , liikeyhtälö on annettu $m$ $e$ $g_{{ab}}$ ${\displaystyle F_{ab))$

m{\frac {du_{c}}{ds}}-m{\frac {1}{2}}g_{ab,c}u^{a}u^{b}=eF_{cb} u^{b}\;,

jossa ( on otettu lentorataa pitkin), , ja . $u^{a}=dx^{a}/ds$ ${\displaystyle dx^{a))$ $g_{ab,c}=\partial g_{ab}/\partial x^{c}$ ${\displaystyle ds^{2}=g_{ab}dx^{a}dx^{b))$

Yhtälö voidaan kirjoittaa myös muodossa

m{\frac {du_{c}}{ds}}-m\Gamma _{abc}u^{a}u^{b}=eF_{cb}u^{b}\;,

missä ovat Christoffel-symbolit (vääntövapaa metrinen yhteys yleisessä suhteellisuusteoriassa), tai as ${\displaystyle \Gamma _{abc))$

m{\frac {Du_{c}}{ds}}=eF_{cb}u^{b}\;,

missä on yleisen suhteellisuusteorian kovarianttidifferentiaali (metrinen, vääntövapaa). $D$

Sovellukset

Lorentz-voima on läsnä monissa laitteissa, mukaan lukien:

Lorentzin voiman (tarkemmin sanottuna sen erikoistapaus - Ampère-voima ) pääsovellus on sähkökoneet (sähkömoottorit ja generaattorit). Lorentzin voimaa käytetään laajalti elektronisissa instrumenteissa varautuneiden hiukkasten ( elektronien ja joskus ionien ) vaikutukseen, kuten television katodisädeputkissa , sekä massaspektrometriassa ja MHD-generaattoreissa .
Lorentzin voimaa käytetään myös hiukkaskiihdyttimissä : se asettaa kiertoradan, jota pitkin nämä hiukkaset liikkuvat.
Railtyessä käytetään Lorentzin voimaa .
Lorentzin nopeusmittari on kosketukseton johtavan nesteen nopeuden mittaus.
Syklotronit ja muut pyöreän liikkeen hiukkaskiihdyttimet
Massaspektrometrit
Nopeussuodattimet
Magnetronit

Katso myös

Säteilyn kitka

Muistiinpanot

↑ Afanasiev, G. N. Vanhoja ja uusia ongelmia Aharonov-Bohm-ilmiön teoriassa // Alkuainehiukkasten ja atomiytimen fysiikka. - 1990. - T. 21 . - S. 172-250 . Arkistoitu alkuperäisestä 12. helmikuuta 2022.
↑ 1 2 Lorentzin voima / V. S. Bulygin // Suuri venäläinen tietosanakirja : [35 nidettä] / ch. toim. Yu. S. Osipov . - M . : Suuri venäläinen tietosanakirja, 2004-2017.
↑ M. A. Miller, E. V. Suvorov. Lorentzin voima // Physical Encyclopedia : [5 osassa] / Ch. toim. A. M. Prokhorov . - M .: Neuvostoliiton Encyclopedia (osa 1-2); Great Russian Encyclopedia (vols. 3-5), 1988-1999. — ISBN 5-85270-034-7 .
↑ Tällainen kaksinaisuus termin "Lorentzin voima" käytössä johtuu ilmeisesti historiallisista syistä: tosiasia on, että vain sähkökentästä peräisin olevaan pistevaraukseen vaikuttava voima tunnettiin kauan ennen kuin Lorentz - Coulombin laki löydettiin vuonna 1785. Lorentz puolestaan sai yleisen kaavan sekä sähkö- että magneettikenttien vaikutukselle, joka eroaa edellisestä pelkästään magneettikentän lausekkeella. Siksi molempia kutsutaan aivan loogisesti hänen nimellä.
↑ H -kenttä mitataan ampeereina metriä kohti (A/m) SI-yksiköinä ja oerstedinä (Er) CGS-yksiköinä. Kansainvälinen yksikköjärjestelmä (SI) . NIST-viittaus vakioille, yksiköille ja epävarmuudelle . National Institute of Standards and Technology. Haettu 9. toukokuuta 2012. Arkistoitu alkuperäisestä 31. joulukuuta 2016. (määrätön)
↑ 1 2 Huray, Paul G. Maxwellin yhtälöt . - Wiley-IEEE, 2010. - S. 22. - ISBN 978-0-470-54276-7 . Arkistoitu 21. marraskuuta 2021 Wayback Machinessa
↑ 1 2 Per F. Dahl, Flash of the Cathode Rays: A History of JJ Thomson's Electron , CRC Press, 1997, s. kymmenen.
↑ 1 2 3 Paul J. Nahin, Oliver Heaviside Arkistoitu 3. huhtikuuta 2021, the Wayback Machine , JHU Press, 2002.
↑ Bolotovsky B.M. Oliver Heaviside . - Moskova: Nauka, 1985. - S. 43-44. - 260 s. Arkistoitu 14. maaliskuuta 2022 Wayback Machinessa
↑ Matveev A. N. Mekaniikka ja suhteellisuusteoria. - 3. painos - M. Higher School 1976. - S. 132.
↑ Katso esimerkiksi Jackson, ss. 777-8.
↑ JA Wheeler. Painovoima . - W.H. Freeman & Co, 1973. - ISBN 0-7167-0344-0 . . Nämä kirjoittajat käyttävät Lorentzin voimaa tensorimuodossa sähkömagneettisen tensorin F määrittäjänä , vuorostaan kentät E ja B.
↑ ON Grant. sähkömagnetismi. - John Wiley & Sons, 1990. - s. 122. - ISBN 978-0-471-92712-9 .
↑ ON Grant. sähkömagnetismi. - John Wiley & Sons, 1990. - s. 123. - ISBN 978-0-471-92712-9 .
↑ 1 2 Katso Jackson, sivu 2. Kirjassa luetellaan neljä nykyaikaista Maxwellin yhtälöä ja todetaan sitten: "Myös olennainen varautuneiden hiukkasten liikkeen huomioon ottamiseksi on Lorentzin voimayhtälö, F = q ( E + v × B ), joka antaa voima, joka vaikuttaa pistevaraukseen q sähkömagneettisten kenttien läsnä ollessa."
↑ Katso Griffiths, sivu 204.
↑ Katso esimerkiksi Lorentz Instituten verkkosivusto, arkistoitu 17. joulukuuta 2021, Wayback Machine tai Griffiths.
↑ 1 2 3 Griffiths, David J. Johdatus sähködynamiikkaan . – 3. - Upper Saddle River, New Jersey [ua] : Prentice Hall, 1999. - ISBN 978-0-13-805326-0 .
↑ Delon, Michel. Encyclopedia of the Enlightenment . - Fitzroy Dearborn Publishers, 2001. - s . 538 . — ISBN 157958246X .
↑ Goodwin, Elliot H. The New Cambridge Modern History Volume 8: The American and French Revolutions, 1763–93. - Cambridge University Press, 1965. - s. 130. - ISBN 9780521045469 .
↑ Meyer, Herbert W. Sähkön ja magnetismin historia. - Burndy Library, 1972. - S. 30–31. — ISBN 0-262-13070-X .
↑ Verschuur, Gerrit L. Piilotettu vetovoima: Magnetismin historia ja mysteeri. — Oxford University Press, 1993. — s . 78–79 . — ISBN 0-19-506488-7 .
↑ Darrigol Olivier. Elektrodynamiikka Amperesta Einsteiniin. - Oxford University Press, 2000. - s. 9 , 25. - ISBN 0-19-850593-0 .
↑ Verschuur, Gerrit L. Piilotettu vetovoima: Magnetismin historia ja mysteeri . - Oxford University Press, 1993. - ISBN 0-19-506488-7 .
↑ 1 2 3 Darrigol, 2000 , s. 126–131 , 139–144.
↑ Heaviside, Oliver (huhtikuu 1889). "Sähkömagneettisista vaikutuksista, jotka johtuvat sähköistyksen liikkeestä eristeen läpi" . Filosofinen aikakauslehti . Arkistoitu alkuperäisestä 2021-02-21 . Haettu 15.03.2021 . Käytöstä poistettu parametri |deadlink=( ohje )
↑ Lorentz, Hendrik Antoon, Versuch einer Theorie der electrischen und optischen Erscheinungen in bewegten Körpern , 1895.
↑ Whittaker E.T. Eetterin ja sähkön teorioiden historia: Descartesin ajalta 1800-luvun loppuun . - Longmans, Green and Co., 1910. - S. 420-423. — ISBN 1-143-01208-9 .
↑ Katso Griffiths, sivu 326, jossa todetaan, että Maxwellin yhtälöt "yhdessä [Lorentzin] voimalain kanssa… tiivistävät klassisen sähködynamiikan koko teoreettisen sisällön".
↑ Fysiikan kokeet . www.physicsexperiment.co.uk . Haettu 14. elokuuta 2018. Arkistoitu alkuperäisestä 8. heinäkuuta 2018.
↑ 1 2 Katso Griffiths, sivut 301-3.
↑ Tai L. Chow. Sähkömagneettinen teoria . - Sudbury MA: Jones ja Bartlett, 2006. - S. 395. - ISBN 0-7637-3827-1 . Arkistoitu 3. huhtikuuta 2021 Wayback Machinessa
↑ Landau, LD, Lifshitz, EM, & Pitaevskiĭ, LP Jatkuvan median sähködynamiikka; Osa 8 Teoreettisen fysiikan kurssi . — Toiseksi. - Oxford: Butterworth-Heinemann, 1984. - P. §63 (§49, s. 205–207 vuoden 1960 painoksessa). - ISBN 0-7506-2634-8 .
↑ Roger F. Harrington. Johdatus sähkömagneettiseen tekniikkaan . - Mineola, New York: Dover Publications, 2003. - S. 56. - ISBN 0-486-43241-6 . Arkistoitu 3. huhtikuuta 2021 Wayback Machinessa
↑ MNO Sadiku. Sähkömagnetiikan elementit . — Neljäs. — NY/Oxford: Oxford University Press, 2007. — s. 391. — ISBN 978-0-19-530048-2 . Arkistoitu 3. huhtikuuta 2021 Wayback Machinessa
↑ Landau, 1984 , s. §63.
↑ Klassinen mekaniikka (2. painos), TWB Kibble, European Physics Series, McGraw Hill (UK), 1973, ISBN 0-07-084018-0 .
↑ Lanczos, Cornelius, 1893-1974. Mekaniikan variaatioperiaatteet. — Neljäs. - New York, tammikuu 1986. - ISBN 0-486-65067-7 .
↑ Jackson, JD Luku 11
↑ Hestenes. Avaruus-aikalaskenta . Haettu 15. maaliskuuta 2021. Arkistoitu alkuperäisestä 9. toukokuuta 2021. (määrätön)

Kirjallisuus

Feynman, Richard Phillips. The Feynman luentoja fysiikasta (3 osa) / Richard Phillips Feynman, Robert B. Leighton, Matthew L. Sands. - Pearson / Addison-Wesley, 2006. - ISBN 0-8053-9047-2 . : volyymi 2.
Griffiths, David J. Johdatus sähködynamiikkaan. - Prentice-Hall, 1999. - ISBN 0-13-805326-X .
Jackson, John David. Klassinen sähködynamiikka . - Wiley, 1999. - ISBN 0-471-30932-X .
Serway, Raymond A. Fysiikkaa tutkijoille ja insinööreille modernin fysiikan kanssa / Raymond A. Serway, John W., Jr. Jewett. — Thomson Brooks/Cole, 2004. — ISBN 0-534-40846-X .
Srednicki, Mark A. Kvanttikenttäteoria. - Cambridge University Press, 2007. - ISBN 978-0-521-86449-7 .

Linkit

Lorentzin voiman suunnan määrittäminen. Oikea ruuvisääntö YouTubessa