Parametrisoitu post-newtonilainen formalismi

Parametrisoitu post-newtonilainen formalismi ( PPN-formalismi ) on versio post-newtonisesta formalismista , jota voidaan soveltaa paitsi yleiseen suhteellisuusteoriaan myös muihin metrisiin painovoimateorioihin , kun kappaleiden liikkeet täyttävät Einsteinin ekvivalenssiperiaatteen . Tässä lähestymistavassa gravitaatiokentän kaikki mahdolliset riippuvuudet aineen jakautumisesta kirjoitetaan eksplisiittisesti valonnopeuden käänteisen neliön vastaavaan järjestykseen (tarkemmin sanottuna painovoiman nopeuden, vaikka yleensä rajoittuvat ensimmäiseen kertaluokkaan). ) ja yleisin lauseke on koottu gravitaatiokentän ja aineen liikkeen yhtälöiden ratkaisemiseen. Samaan aikaan erilaiset painovoimateoriat ennustavat kertoimien erilaisia arvoja - niin sanottuja PLT-parametreja - yleisesti. Tämä johtaa mahdollisesti havaittaviin vaikutuksiin, joiden suuruuden kokeelliset rajoitukset johtavat PNP-parametrien rajoituksiin ja vastaavasti niitä ennustavan painovoimateorian rajoituksiin. Voidaan sanoa, että PPN-parametrit kuvaavat eroja Newtonin ja kuvatun painovoimateorian välillä. PPN-formalismia voidaan soveltaa, kun gravitaatiokentät ovat heikkoja ja niitä muodostavien kappaleiden liikenopeudet ovat pieniä verrattuna valonnopeuteen (tarkemmin painovoiman nopeuteen) - kanonisia sovellusesimerkkejä ovat aurinkokunnan liike ja kaksoispulsaarijärjestelmät . [1] [2] $c^{{-2}}$

Historia

Ensimmäinen Newtonin jälkeisen approksimoinnin parametrisointi kuuluu Eddingtonille (Eddington, 1922 [3] ). Se tarkasteli kuitenkin vain gravitaatiokenttää tyhjiössä pallosymmetrisen staattisen kappaleen ympärillä [4] . Nordtvedt (Nordtvedt, 1968 [5] , 1969 [6] ) laajensi formalismin 7 parametriin, ja Will (1971 [7] ) esitti siihen kuvauksen taivaankappaleista energia-momenttitensorin laajennettuina jakaumina [ 4] .

Alla kuvatun formalismin yleisimmin käytetyt versiot perustuvat Ni (Ni, 1972 [8] ), Willin ja Nordtvedtin (Will & Nordtvedt, 1972 [9] ), Misnerin , Thornin ja Wheeler Gravityn [ 10] , ja Will [1] [2] , ja niillä on 10 parametria.

Beta-delta-merkintä

Kymmenen post-Newtonilaista parametria (PPN-parametria) luonnehtii täydellisesti useimpien metristen painovoimateorioiden käyttäytymistä heikon kentän rajalla [11] . PPN-formalismi on osoittautunut arvokkaaksi työkaluksi yleisen suhteellisuusteorian testaamiseen [12] . Willin (Will, 1971 [7] ), Ni (Ni, 1972 [8] ) ja Misnerin, Thornen ja Wheelerin (Misner et al., 1973 [10] ) merkinnöissä PPN-parametreilla on seuraava tavanomainen merkitys [ 13] :

$\gamma$	Kuinka vahva on lepomassayksikön synnyttämä spatiaalinen kaarevuus ? $g_{ij}$
$\beeta$	Kuinka suuri on epälineaarisuus gravitaatiokenttien lisäyksessä? $g_{{00}}$
$\beta_{1}$	Kuinka paljon painovoimaa kineettisen energian yksikkö tuottaa ? $g_{{00}}$ $\textstyle\frac12\rho_0v^2$
$\beta _{2}$	Kuinka paljon painovoimaa tuottaa gravitaatiopotentiaalienergian yksikkö ? $g_{{00}}$ $\rho_0/U$
$\beta_3$	Kuinka paljon painovoimaa kehon sisäisen energian yksikkö tuottaa ? $g_{{00}}$ $\rho_0\Pi$
$\beta_4$	Kuinka paljon painovoimaa paineyksikkö tuottaa ? $g_{{00}}$ $s$
$\zeta$	Ero radiaalisen ja poikittaisen kineettisen energian ilmentymisen välillä painovoimassa $g_{{00}}$
$\eta$	Ero säteittäisten ja poikittaisjännitysten ilmenemisen välillä painovoimassa $g_{{00}}$
$\Delta_1$	Kuinka paljon vastusta inertiaalisissa viitekehyksissä tuottaa liikemäärän yksikkö ? $g_{0j}$ $\rho_0v$
$\Delta_2$	Ero inertiaalisen vertailukehyksen vastusasteen välillä säteittäisessä ja poikittaissuunnassa

$g_{\mu \nu }$ on 4 x 4 symmetrinen metrinen tensori, ja spatiaaliset indeksit ja vaihtelevat välillä 1-3. $i$ $j$

Einsteinin teoriassa nämä parametrit vastaavat sitä tosiasiaa, että (1) Newtonin painovoima palautuu kappaleiden ja niiden massojen pienille liikenopeuksille, (2) energian, massan, liikemäärän ja liikemäärän säilymisen lait täyttyvät ja (3) teorian yhtälöt eivät riipu viitekehyksestä . Tällaisessa merkinnässä yleisellä suhteellisuusteorialla on PPN-parametrit

\gamma=\beta=\beta_1=\beta_2=\beta_3=\beta_4=\Delta_1=\Delta_2=1

ja [13] .

\zeta =\eta =0

Alfa-zeta-merkintä

Nykyaikaisempi versio (Will & Nordtvedt, 1972 [9] ), jota käytti myös Will (1981 [2] , 2014 [1] ), käyttää erilaista vastaavaa 10 PST-parametrin joukkoa.

\gamma=\gamma

\beta=\beta

\alpha_1=7\Delta_1+\Delta_2-4\gamma-4

\alpha_2=\Delta_2+\zeta-1

\alpha_3=4\beta_1-2\gamma-2-\zeta

\zeta_1=\zeta

\zeta_2=2\beta+2\beta_2-3\gamma-1

\zeta_3=\beta_3-1

\zeta_4=\beta_4-\gamma

\xi

saadaan osoitteesta .

3\eta=12\beta-3\gamma-9+10\xi-3\alpha_1+2\alpha_2-2\zeta_1-\zeta_2

Parametrien merkitys ja samalla - suositellun vertailukehyksen ( eetterin ) vaikutusten ilmenemisaste [14] . , , , ja mittaa energian, liikemäärän ja liikemäärän säilymisen lakien rikkomisaste [15] . $\alpha_{1}$ $\alpha_2$ $\alpha _{3}$ $\zeta_{1}$ $\zeta _{2}$ $\zeta _{3}$ $\zeta _{4}$ $\alpha _{3}$

Näissä PPN-merkinnöissä GR-parametrit ovat

\gamma=\beta=1

ja [16] .

\alpha _{1}=\alpha _{2}=\alpha _{3}=\zeta _{1}=\zeta _{2}=\zeta _{3}=\zeta _{4 }=\xi=0

Muunnelman alfa-zeta-metriikan tyyppi:

\begin{matrix}g_{00} = -1+2U-2\beta U^2-2\xi\Phi_W+(2\gamma+2+\alpha_3+\zeta_1-2\xi)\Phi_1 +2(3\ gamma-2\beta+1+\zeta_2+\xi)\Phi_2 \\ \ +2(1+\zeta_3)\Phi_3+2(3\gamma+3\zeta_4-2\xi)\Phi_4-(\zeta_1- 2\xi)A-(\alpha_1-\alpha_2-\alpha_3)w^2U \\ \ -\alpha_2w^iw^jU_{ij}+(2\alpha_3-\alpha_1)w^iV_i+O(\varepsilon^ 3) \end{matriisi}

g_{0i}=-\textstyle\frac12(4\gamma+3+\alpha_1-\alpha_2+\zeta_1-2\eta)V_i-\textstyle\frac12(1+\alpha_2-\zeta_1+2\xi)W_i - \textstyle\frac12(\alpha_1-2\alpha_2)w^iU-\alpha_2w^jU_{ij}+O(\varepsilon^{\frac52})\;,

g_{ij}=(1+2\gamma U)\delta _{ij}+O(\varepsilon ^{2})\;

jossa summaus oletetaan toistuvien indeksien perusteella, määritellään Newtonin potentiaalin maksimiarvoksi järjestelmässä , aineen nopeuden neliö tai vastaavat suureet (niillä kaikilla on sama suuruusluokka) on koordinaatin nopeus järjestelmän PPN suhteessa valittuun lepokehykseen on tämän nopeuden neliö, ja jos ja muuten, Kronecker-symboli [17] . $\varepsilon^2$ $U$ $w^i$ $w^2=w^iw^j\delta_{ij}$ $\delta_{ij}=1$ $i=j$ $0$

Yksinkertaisia metrinen potentiaalia on vain kymmenen: , , , , , , , , ja [18] , yhtä monta kuin PPN-parametreja, mikä takaa PNP-ratkaisun ainutlaatuisuuden kullekin painovoimateorialle [17] . Näiden potentiaalien muoto muistuttaa Newtonin teorian gravitaatiopotentiaalia - ne ovat yhtä suuria kuin tietyt aineen jakautumisen integraalit, esimerkiksi [18] , $U$ $U_{ij}$ $\Phi_W$ $A$ $\Phi _{1}$ $\Phi _{2}$ $\Phi_3$ $\Phi_4$ $V_i$ $W_i$

U(\mathbf{x},t)=\int{\rho_0\over|\mathbf{x}-\mathbf{x}'|}d^3x'.

Täydellinen luettelo metristen potentiaalien määritelmistä, katso Misner, Thorn, Wheeler (Misner et al., 1973 [19] ), Will (1981 [18] , 2014 [20] ) ja muut.

Menettely PPN-parametrien johtamiseksi painovoimateoriasta

Esimerkkejä analyysistä löytyy julkaisusta Will, 1981 [2] . Prosessi koostuu yhdeksästä vaiheesta [21] :

Vaihe 1: Muuttujien määrittely: (a) dynaamiset gravitaatiomuuttujat, kuten metriikka , gravitaatioskalaari , vektori- ja/tai tensorikenttä jne.; (b) edulliset geometriamuuttujat, kuten tasainen taustametriikka , kosmologinen aika jne.; c) materiaalikenttien (ei-gravitaatiokenttien) muuttujat. $g_{\mu \nu }$ $\phi$ $K_{\mu }$ ${\displaystyle B_{\mu \nu ))$ $\eta _{{\mu \nu ))$ $t$

Vaihe 2: Kosmologisten rajaehtojen määrittäminen: olettaen Friedmannin universumin (homogeeninen ja isotrooppinen), otamme käyttöön isotrooppiset koordinaatit maailmankaikkeuden lepokehyksessä (tähän ei aina tarvita täydellistä kosmologista ratkaisua). Saatuja taustakosmologisia kenttiä kutsutaan nimellä , , , . $g_{\mu \nu }^{(0)}={\mbox{diag}}(-c_{0},c_{1},c_{1},c_{1})$ $\phi _{0}$ ${\displaystyle K_{\mu }^{(0)))$ ${\displaystyle B_{\mu \nu }^{(0)))$

Vaihe 3: Otamme käyttöön uudet muuttujat ja tarvittaessa myös , , . ${\displaystyle h_{\mu \nu }=g_{\mu \nu }-g_{\mu \nu }^{(0)))$ ${\displaystyle \phi -\phi _{0))$ ${\displaystyle K_{\mu }-K_{\mu }^{(0)))$ ${\displaystyle B_{\mu \nu }-B_{\mu \nu }^{(0)))$

Vaihe 4: Korvaamme saadut lausekkeet ja aineen (yleensä ihanteellisen nesteen) energia-momenttitensorin gravitaatiokentän yhtälöihin ja hylkäämme liian korkeat termit myös muille dynaamisille gravitaatiomuuttujille. ${\displaystyle h_{\mu \nu ))$

Vaihe 5: Ratkaise yhtälöt enintään . Olettaen , että tämä määrä pyrkii olemaan nolla kaukana järjestelmästä , saamme muodon Newtonin metriikan muoto on , , . Siirrytään yksikköihin, joissa gravitaatiovakio, mitattuna nyt kaukana gravitaatioaineesta, on yhtä suuri kuin yksi . ${\displaystyle h_{00))$ $O(2)$ $h_{00}=2\alpha U$ $U$ $\alpha$ $G$ $g_{00}=-c_{0}+2\alpha U$ $g_{0j}=0$ ${\displaystyle g_{ij}=\delta _{ij}c_{1))$ $G_{\mbox{today}}=\alpha /c_{0}c_{1}=1$

Vaihe 6: Kenttäyhtälöiden linearisoidusta versiosta saadaan arvoon asti ja enintään . ${\displaystyle h_{ij))$ $O(2)$ ${\displaystyle h_{0j))$ $O(3)$

Vaihe 7: Etsi enintään . Tämä on vaikein vaihe, koska yhtälöistä tulee epälineaarisia. Energia-momenttitensori on myös laajennettava haluttuun järjestykseen. ${\displaystyle h_{00))$ $O(4)$

Vaihe 8: Siirry normaaliin DPL-kalibrointiin.

Vaihe 9: Vertaamalla saatua metriikkaa tunnettuun PST-lausekkeeseen, määritä teorian PST-parametrit. $g_{\mu \nu }$

Painovoimateorioiden vertailu

Taulukko, joka esittää 23 painovoimateorian PNP-parametrit, löytyy artikkelista " Vaihtoehtoiset painovoimateoriat ".

Useimmat metriset teoriat voidaan jakaa useisiin kategorioihin. Painovoiman skalaariteorioihin kuuluvat konformisesti litteät teoriat ja kerrostetut teoriat, joiden spatiaaliset osat ovat tiukasti ortogonaalisia ajan suuntaan.

Konformisesti tasaisissa teorioissa, kuten Nordströmin teorioissa , metriikka on yhtä suuri kuin ja siksi , mikä on täysin ristiriidassa havaintojen kanssa. Kerrostetuissa teorioissa, kuten Yilmaz teoriassa , metriikka on ja siksi , mikä taas on ristiriidassa havaintojen kanssa. $\mathbf {g} =f{\boldsymbol {\eta ))$ $\gamma =-1$ $\mathbf {g} =f_{1}\mathbf {d} t\otimes \mathbf {d} t+f_{2}{\boldsymbol {\eta ))$ $\alpha _{1}=-4(\gamma +1)$

Toinen teorioiden luokka on Whitehead -tyyppiset kvasilineaariset teoriat . Heille . Koska maan vuorovesien harmonisten suhteelliset amplitudit riippuvat ja , niiden mittaukset antavat mahdollisuuden hylätä kaikki tällaiset teoriat, lukuun ottamatta niin suurta arvoa . $\xi =\beta$ $\xi$ $\alpha_2$ $\xi$

Toinen teorioiden luokka on bimetriset teoriat . Se ei ole yhtä suuri kuin 0. Millisekunnin pulsareiden spin-akselin precessiotiedoista tiedämme, että , ja tämä hylkää tehokkaasti bimetriset teoriat. $\alpha_2$ ${\displaystyle |\alpha _{2}|<2\cdot 10^{-9))$

Seuraavaksi tulevat skalaari-tensoriteoriat , esimerkiksi Brans-Dicken teoria . Tällaisille teorioille ensimmäisessä approksimaatiossa . Raja antaa hyvin pienen arvon , joka luonnehtii "skalaarisen" gravitaatiovuorovaikutuksen astetta, ja kun kokeellisia tietoja jalostetaan, raja kaikelle kasvaa edelleen, joten tällaiset teoriat tulevat yhä vähemmän todennäköisiksi. $\gamma =\textstyle {\frac {1+\omega }{2+\omega }}$ ${\displaystyle \gamma -1<2,3\times 10^{-5))$ $1/\omega$ $\omega$

Viimeinen teorioiden luokka on vektori-tensoriteoriat . Heille gravitaatio "vakio" muuttuu ajan myötä, eikä se ole yhtä suuri kuin 0. Kuun laseretäisyys rajoittaa voimakkaasti gravitaatiovakion vaihtelua ja , joten nämä teoriat eivät myöskään näytä luotettavilta. $\alpha_2$ ${\displaystyle |\alpha _{2}|<2\cdot 10^{-9))$

Jotkut metriset teoriat eivät kuulu yllä oleviin luokkiin, mutta niissä on samanlaisia ongelmia.

PPN-parametrien kokeelliset rajoitukset

Arvot otettu Willin katsauksesta, 2014 [23]

Parametri	Rajat	tehosteita	Koe
$\gamma-1$	${\displaystyle 2.3\cdot 10^{-5))$	Shapiro-efekti , valon painovoimapoikkeama	Cassini-Huygensin lentorata
$\beta-1$	$8\cdot 10^{-5}$	Nordtvedt-efekti , perihelion muutos	Kuun laseretäisyys , planeettojen liikkeet aurinkokunnassa
$\xi$	$4\cdot 10^{-9}$	Pyörimisakselin precessio	Millisekunnin pulsarit
$\alpha_{1}$	$4\cdot 10^{-5}$	Ratatason siirto	Kuun lasermittaus, pulsari J1738+0333
$\alpha_2$	$2\cdot 10^{-9}$	Pyörimisakselin precessio	Millisekunnin pulsarit
$\alpha _{3}$	$4\cdot 10^{-20}$	itsekiihtyvyys	Pulsar- hidastustilastot
$\zeta_{1}$	$0,02$	-	Eri kokeilujen yhdistetty raja
$\zeta _{2}$	$4\cdot 10^{-5}$	Kaksoispulsarien kiihtyvyys	PSR 1913+16
$\zeta _{3}$	$10^{{-8}}$	Newtonin kolmas laki	Kuun kiihtyvyys
$\zeta _{4}$	$0,006$ ‡	-	Ei ole itsenäinen

‡ Perustuu Williin (1976 [24] , 2014 [1] ). Teoreettisesti joissakin painovoimateorioissa tämä rajoitus on mahdollista kiertää, silloin pätee Neen paperin (1972 [8] ) heikompi raja. $6\zeta_4=3\alpha_3+2\zeta_1-3\zeta_3$ $|\zeta_4|< 0,4$

Muistiinpanot

↑ 1 2 3 4 Tahto, 2014 .
↑ 1 2 3 4 5 Will, 1985 .
↑ Eddington, 1934 .
↑ 1 2 MTU, 1977 , osa 3, s. 315.
↑ Nordtvedt, 1968 .
↑ Nordtvedt, 1969 .
↑ 12 Will , 1971 .
↑ 1 2 3 Ni, 1972 .
↑ 1 2 Will & Nordtvedt, 1972 .
↑ 1 2 MTU, 1977 .
↑ MTU, 1977 , osa 3, s. 313.
↑ MTU, 1977 , osa 3, s. 314.
↑ 1 2 MTU, 1977 , osa 3, s. 317-318.
↑ Will, 1985 , s. 90-91.
↑ Will, 1985 , s. 99-100.
↑ Will, 1985 , 5.2. Yleinen suhteellisuusteoria.
↑ 1 2 Will, 1985 , s. 87.
↑ 1 2 3 Will, 1985 , 4.1. Post-Newtonin raja. d. Newtonin jälkeiset potentiaalit ..
↑ MTU, 1977 , osa 3. § 39.8. PPN-metriset kertoimet.
↑ Will, 2014 , s. 32-33, laatikko 2.
↑ Will, 1985 , 5.1. Laskutapa..
↑ Will, 2014 , 3.3 Kilpailevat painovoimateoriat.
↑ Will, 2014 , s. 46.
↑ Will, 1976 .

Kirjallisuus

Main

Will K. Gravitaatiofysiikan teoria ja kokeilu: Per. englannista. - M .: Energoatomizdat, 1985. - 296 s. — Kääntäjä Will, CM Theory and Experiment in Gravitational Physics. - Cambridge University Press, 1981, 1993. - ISBN 0-521-43973-6 .
Will CM Yleisen suhteellisuusteorian ja kokeilun vastakkainasettelu // Living Reviews in Relativity. - 2014. - Vol. 17 , ei. 4 . - doi : 10.12942/lrr-2014-4 . — . - arXiv : 1403.7377 . Arkistoitu alkuperäisestä 19. maaliskuuta 2015.

Lisätiedot

Misner, C., Thorn K., Wheeler J. Gravity. 3 osassa . - M . : Mir, 1977. - Kääntäjä Misner, CW, Thorne, KS & Wheeler, JA Gravitation. - W. H. Freeman and Co., 1973.
Eddington A.S. Suhteellisuusteoria . - L.-M.: GTTI, 1934. - Kääntäjä Eddington, AS The Mathematical Theory of Relativity . - Cambridge University Press, 1922.
Ni W.-T. Teoreettiset viitekehykset relativistisen painovoiman testaamiseen.IV. kokoelma painovoiman metristen teorioiden ja niiden POST Newtonin rajojen kokoelmasta // The Astrophysical Journal . - IOP Publishing , 1972. - Voi. 176 . - s. 769 . - doi : 10.1086/151677 . - .
Nordtvedt K. Massiivisten kappaleiden ekvivalenttiperiaate. II. Teoria (englanti) // Physical Review. - 1968. - Voi. 169 . - s. 1017-1025 . - doi : 10.1103/PhysRev.169.1017 . - .
Nordtvedt K. Massiivisten kappaleiden ekvivalenttiperiaate, mukaan lukien pyörimisenergia ja säteilypaine // Fyysinen katsaus. - 1969. - Voi. 180 . - s. 1293-1298 . - doi : 10.1103/PhysRev.180.1293 . - .
Will CM :n teoreettiset puitteet relativistisen painovoiman testaamiseen. II. Parametrisoitu post-Newtonilainen hydrodynamiikka ja Nordtvedtin vaikutus // The Astrophysical Journal . - IOP Publishing , 1971. - Voi. 163 . — s. 611 . - doi : 10.1086/150804 . - .
Will CM Aktiivinen massa relativistisessa painovoimassa - Kreuzerin kokeen teoreettinen tulkinta // The Astrophysical Journal . - IOP Publishing , 1976. - Voi. 204 . - s. 224-234 . - doi : 10.1086/154164 . - .
Will CM , Nordtvedt Jr., K. Relativistisen painovoiman säilymislait ja suositellut kehykset. I. Preferred-Frame teoriat ja laajennettu PPN-formalismi // The Astrophysical Journal . - IOP Publishing , 1972. - Voi. 177 . - s. 757 . - doi : 10.1086/151754 . - .