Hahmon alue

Tasaisen hahmon pinta- ala on summautuva numeerinen ominaisuus kuviolle , joka kuuluu kokonaan yhteen tasoon . Yksinkertaisimmassa tapauksessa, kun kuvio voidaan jakaa äärelliseen joukkoon yksikköneliöitä , pinta-ala on yhtä suuri kuin neliöiden lukumäärä.

Tietoja määritelmästä

Muodollinen esittely pinta-alan ja tilavuuden käsitteelle löytyy artikkelista Jordanin toimenpide , tässä annamme vain pääpiirteet määritelmästä kommentteineen.

Pinta- ala on reaaliarvoinen funktio , joka on määritelty tietylle euklidisen tason lukuluokalle ja joka täyttää neljä ehtoa:

Positiivinen - alue ei ole negatiivinen;
Normalisointi - neliön , jonka sivu on yhtenäinen, pinta-ala on 1;
Kongruenssi - yhteneväisillä lukuilla on yhtä suuri pinta-ala;
Additiivisuus - kahden hahmon liiton pinta-ala ilman yhteisiä sisäpisteitä on yhtä suuri kuin pinta-alojen summa.

Tässä tapauksessa tietty luokka on suljettava leikkauksen ja liitoksen sekä tasoliikkeen suhteen ja sisältää kaikki polygonit . Näistä aksioomista seuraa alueen monotonisuus , eli

Jos yksi kuvio kuuluu toiseen hahmoon, ensimmäisen pinta-ala ei ylitä toisen alaa:

Useimmiten joukko neliöityjä lukuja otetaan "tietylle luokalle" . Luvun sanotaan olevan neliöitävä , jos jollekin on olemassa monikulmion pari ja , niin että ja , missä tarkoittaa aluetta . $F$ $\varepsilon > 0$ $P$ $K$ $P\alajoukko F\alajoukko Q$ $S(Q)-S(P)<\varepsilon$ $S(P)$ $P$

Esimerkkejä neliöistä

monikulmiot;
mikä tahansa kuvio, jota rajoittaa tasauskäyrä , erityisesti ympyrä;
hahmo, jota rajoittaa Koch-lumihiutale , vaikka sen rajaa ei voida korjata.

Aiheeseen liittyvät määritelmät

Kahta lukua kutsutaan yhtä suureksi , jos niillä on sama pinta-ala.

Kommentit

On olemassa matemaattisesti tiukka, mutta moniselitteinen tapa määrittää alue kaikille tason rajatuille osajouksille. Toisin sanoen tason kaikkien rajoitettujen osajoukkojen joukossa on erilaisia aluefunktioita, jotka täyttävät yllä olevat aksioomit, ja neliömuotojen joukko on suurin lukujoukko, jolle alue määräytyy yksiselitteisesti.
- Sama voidaan tehdä pituudelle suoralla, mutta ei tilavuudelle euklidisessa avaruudessa , eikä myöskään yksikköpallon pinta- alalle euklidisessa avaruudessa (katso vastaavasti pallon tuplausparadoksi ja Hausdorffin paradoksi ).

Kaavat

Kuva	Kaava	Kommentti
suorakulmainen kolmio	${\tfrac {\sqrt {3}}{4}}{\cdot }a^{2}$	$a$ on kolmion sivun pituus.
Kolmio	${\sqrt {p{\cdot }(pa){\cdot }(pb){\cdot }(pc)))$	Heronin kaava . on semiperimeter , , Ja ovat pituudet puolin kolmion. $s$ $a$ $b$ $c$
Kolmio	${\tfrac {1}{2}}{\cdot }a{\cdot }b{\cdot }\sin \gamma$	$a$ ja ovat kolmion kaksi sivua, ja on niiden välinen kulma. $b$ $\gamma$
Kolmio	${\tfrac {1}{2}}{\cdot }b{\cdot }h$	$b$ ja - kolmion sivu ja tälle sivulle piirretty korkeus . $h$
Neliö	$a^2$	$a$ on neliön sivun pituus.
Suorakulmio	$a{\cdot }b$	$a$ ja ovat suorakulmion sivujen pituudet. $b$
Rombi	$a^{2}{\cdot }\sin \alpha ,{\tfrac {1}{2}}bc$	$a$ - rombin sivu, - sisäkulma, - diagonaalit . $\alpha$ $b,c$
Suunnikas	$b{\cdot }h$	$b$ - suunnikkaan yhden sivun pituus ja - tälle sivulle piirretty korkeus . $h$
Trapetsi	${\tfrac {1}{2}}{\cdot }(a+b){\cdot }h$	$a$ ja ovat yhdensuuntaisten sivujen pituudet, ja on niiden välinen etäisyys (korkeus). $b$ $h$
Nelikulmainen	${\tfrac {1}{2}}{\cdot }m{\cdot }n{\cdot }\sin \phi$	$n$ ja ovat diagonaalien pituudet ja on niiden välinen kulma. $m$ $\phi$
Tavallinen kuusikulmio	${\tfrac {3{\cdot }{\sqrt {3}}}{2}}{\cdot }a^{2}$	$a$ on kuusikulmion sivun pituus.
Tavallinen kahdeksankulmio	$2{\cdot }(1+{\sqrt {2))){\cdot }a^{2}$	$a$ on kahdeksankulmion sivun pituus.
säännöllinen monikulmio	${\frac {n{\cdot }a^{2}}{4{\cdot }\tan(\pi /n)))$	$a$ on monikulmion sivun pituus ja monikulmion sivujen lukumäärä. $n$
säännöllinen monikulmio	${\tfrac {1}{2}}{\cdot }a{\cdot }p$	$a$ on apoteemi (tai monikulmioon piirretyn ympyrän säde) ja on monikulmion kehä. $s$
Mielivaltainen monikulmio	${1 \over 2}\left\|\sum _{i=0}^{n-1}\det {\begin{pmatrix}x_{i}&x_{i+1}\\y_{i} &y_{i+1}\end{pmatrix}}\right\|$	Gaussin aluekaava . ovat -gonin kärkien koordinaatit, ${\näyttötyyli (x_{i},y_{i})}$ $n$ $(x_{n},y_{n})=(x_{0},y_{0})$
Ympyrä	${\displaystyle \pi {\cdot }r^{2))$ tai ${\frac {\pi {\cdot }d^{2}}{4}}$	$r$ on ympyrän säde ja sen halkaisija. $d$
ympyrän sektori	${\tfrac {1}{2}}{\cdot }r^{2}{\cdot }\theta$	$r$ ja ovat sektorin säde ja kulma ( radiaaneina ). $\theta$
Ellipsi	$\pi {\cdot }a{\cdot }b$	$a$ ja ovat ellipsin pää- ja sivupuoliakselit. $b$

Katso myös

Solujen katoaminen
Borel-mitta
Jordanin mitta
Lebesguen mitta
Suuntautunut alue
Neliö
Pinta-ala
Bolyai-Gerwin-lause tasa-alan monikulmion tasaosaosuudesta
Kolmio kolmioiden pinta-aloista
Nelikulmio nelikulmioiden alueista

Kirjallisuus

V. Boltyansky , Pinta-alan ja tilavuuden käsitteistä. Arkistoitu 5. toukokuuta 2017 paikassa Wayback Machine Kvant , No. 5, 1977
B. P. Heidman , Polygonien alueet Arkistoitu 10. kesäkuuta 2017, Wayback Machine , Mathematical Education Library , Issue 16, (2002).
§§ 244-276 julkaisussa A. P. Kiselev, Geometry by Kiselev , arΧiv : 1806.06942 [math.HO].
Merzon G. A., Yashchenko I. V. Pituus, pinta-ala, tilavuus. - MTSNMO, 2011. - ISBN 9785940577409 .
V. A. Rokhlin , Area and Volume Arkistoitu 11. huhtikuuta 2021 paikassa Wayback Machine , Encyclopedia of Elementary Mathematics, Book 5, Geometry, toimittajina P. S. Aleksandrov, A. I. Markushevich ja A. Ya. Khinchin.