Jakajatoiminto

Jakajafunktio on aritmeettinen funktio , joka liittyy kokonaisluvun jakajiin . Funktio tunnetaan myös jakajafunktiona . Sitä käytetään erityisesti tutkittaessa Riemannin zeta-funktion ja Eisenstein-sarjan välistä suhdetta modulaarisille muodoille . Opiskeli Ramanujan , joka johti useita tärkeitä yhtäläisyyksiä modulaarisessa aritmeettisessa ja aritmeettisessa identiteetissä .

Läheisesti tähän funktioon liittyy summausjakajafunktio , joka, kuten nimestä voi päätellä, on jakajafunktion summa .

Määritelmä

Funktio " positiivisten jakajien summa " σ x ( n ) reaali- tai kompleksiluvulle x määritellään n : n positiivisten jakajien x : nnen potenssien summana . Funktio voidaan ilmaista kaavalla

\sigma _{{x}}(n)=\sum _{{d|n}}d^{x}\,\!,

jossa tarkoittaa " d jakaa n ". Merkintöjä d ( n ), ν( n ) ja τ( n ) (saksan kielestä Teiler = jakaja) käytetään myös merkitsemään σ 0 ( n ), eli jakajien lukumäärän funktiota [1] [2] . Jos x on 1, funktiota kutsutaan sigmafunktioksi tai jakajien summaksi [3] , ja indeksi jätetään usein pois, joten σ( n ) vastaa σ 1 ( n ) [4] . ${d|n}$

Alikvootin summa s(n)n:lle onomienjakajiensasumma (eli .n) −n(1) ja on yhtä suuri kuin σ[5]nkaikki jakajat paitsi itse

Esimerkkejä

Esimerkiksi σ 0 (12) on luvun 12 jakajien lukumäärä:

{\begin{aligned}\sigma _{{0}}(12)&=1^{0}+2^{0}+3^{0}+4^{0}+6^{0}+12 ^{0}\\&=1+1+1+1+1+1=6,\end{tasattu}}

kun taas σ 1 (12) on kaikkien jakajien summa:

{\begin{aligned}\sigma _{{1}}(12)&=1^{1}+2^{1}+3^{1}+4^{1}+6^{1}+12 ^{1}\\&=1+2+3+4+6+12=28,\end{tasattu}}

ja oikeiden jakajien alikvoottisumma s(12) on:

{\begin{aligned}s(12)&=1^{1}+2^{1}+3^{1}+4^{1}+6^{1}\\&=1+2+3 +4+6=16.\end{tasattu}}

Arvotaulukko

n	Jakajat	σ 0 ( n )	σ 1 ( n )	s ( n ) = σ 1 ( n ) − n	Kommentit
yksi	yksi	yksi	yksi	0	neliö: arvo σ 0 ( n ) on pariton; aste 2: s( n ) = n − 1 (melkein täydellinen)
2	1.2	2	3	yksi	alkuluku: σ 1 (n) = 1+n, joten s(n) =1
3	1.3	2	neljä	yksi	alkuluku: σ 1 (n) = 1+n, joten s(n) =1
neljä	1,2,4	3	7	3	neliö: σ 0 ( n ) pariton; teho 2: s ( n ) = n − 1 (melkein täydellinen)
5	1.5	2	6	yksi	alkuluku: σ 1 (n) = 1+n, joten s(n) =1
6	1,2,3,6	neljä	12	6	ensimmäinen täydellinen luku : s ( n ) = n
7	1.7	2	kahdeksan	yksi	alkuluku: σ 1 (n) = 1+n, joten s(n) =1
kahdeksan	1,2,4,8	neljä	viisitoista	7	teho 2: s ( n ) = n − 1 (melkein täydellinen)
9	1,3,9	3	13	neljä	neliö: σ 0 ( n ) pariton
kymmenen	1,2,5,10	neljä	kahdeksantoista	kahdeksan
yksitoista	1.11	2	12	yksi	alkuluku: σ 1 (n) = 1+n, joten s(n) =1
12	1,2,3,4,6,12	6	28	16	ensimmäinen ylimääräinen numero : s ( n )> n
13	1.13	2	neljätoista	yksi	alkuluku: σ 1 (n) = 1+n, joten s(n) =1
neljätoista	1,2,7,14	neljä	24	kymmenen
viisitoista	1,3,5,15	neljä	24	9
16	1,2,4,8,16	5	31	viisitoista	neliö: σ 0 ( n ) pariton; teho 2: s ( n ) = n − 1 (melkein täydellinen)

Tapaukset ja niin edelleen tulevat sarjoissa A001157 , A001158 , A001159 , A001160 , A013954 , A013955 ... $x=2$ $x=3$

Ominaisuudet

Kokonaisluvuille, jotka eivät ole neliöitä, jokaisella n:n jakajalla d on parin jakaja n/d, joten se on aina parillinen sellaisille luvuille. Neliöiden kohdalla yhdellä jakajalla, nimittäin , ei ole paria, joten se on niille aina pariton. $\sigma _{{0}}(n)$ ${\sqrt n}$ $\sigma _{{0}}(n)$

Alkuluvulle p , _

{\begin{aligned}\sigma _{0}(p)&=2\\\sigma _{0}(p^{n})&=n+1\\\sigma _{1}(p)& =p+1\end{tasattu}}

koska määritelmän mukaan alkuluku on jaollinen vain ykkösellä ja itsellään. Jos p n # tarkoittaa ensisijaista niin

\sigma _{0}(p_{n}\#)=2^{n}

Se on selvää kaikille . $1<\sigma _{0}(n)<n$ $\sigma (n)>n$ $n > 2$

Jakajafunktio on kertova , mutta ei täysin kertova .

Jos kirjoitamme

n=\prod _{{i=1}}^{r}p_{i}^{{a_{i}}}

missä r = ω ( n ) on n: n alkujakajien lukumäärä , p i on i :s alkujakaja ja a i on p i :n suurin potenssi , joka jakaa n :n ,

\sigma _{x}(n)=\prod _{{i=1}}^{{r}}{\frac {p_{{i}}^{{(a_{{i}}+1)x }}-1}{p_{{i}}^{x}-1}}

joka vastaa:

\sigma _{x}(n)=\prod _{{i=1}}^{r}\sum _{{j=0}}^{{a_{i}}}p_{i}^{{ jx}}=\prod _{{i=1}}^{r}(1+p_{i}^{x}+p_{i}^{{2x}}+\cdots +p_{i}^{ {a_{i}x}}).

Kun x = 0, saadaan, että d ( n ) on:

\sigma _{0}(n)=\prod _{{i=1}}^{r}(a_{i}+1).

Esimerkiksi luvulla n \u003d 24 on kaksi alkujakajaa - p 1 \u003d 2 ja p 2 \u003d 3. Koska 24 on luvun 2 3 × 3 1 tulo , niin 1 \u003d 3 ja 2 \ u003d 1 .

Nyt voimme laskea : $\sigma _{0}(24)$

{\begin{aligned}\sigma _{0}(24)&=\prod _{{i=1}}^{{2}}(a_{i}+1)\\&=(3+1) (1+1)=4\kertaa 2=8.\loppu{tasattu}}

24:n kahdeksan jakajaa ovat 1, 2, 4, 8, 3, 6, 12 ja 24.

Huomaa myös, että s ( n ) = σ ( n ) − n . Tässä s ( n ) tarkoittaa luvun n oikeiden jakajien summaa, eli jakajia, lukuun ottamatta itse lukua n . Tätä funktiota käytetään määrittämään luvun täydellisyys - niille s ( n ) = n . Jos s ( n ) > n , n : tä kutsutaan ylimääräiseksi ja jos s ( n ) < n , n : tä kutsutaan riittämättömäksi .

Jos n on kahden potenssi, eli , niin s (n) = n - 1 , mikä tekee n : stä melkein täydellisen . $n=2^{k}$ $\sigma (n)=2\kertaa 2^{k}-1=2n-1,$

Esimerkkinä kahdelle yksinkertaiselle p :lle ja q :lle (missä p < q ), olkoon

n=pq.

Sitten

\sigma (n)=(p+1)(q+1)=n+1+(p+q),

\phi (n)=(p-1)(q-1)=n+1-(p+q),

n+1=(\sigma (n)+\phi (n))/2,

p+q=(\sigma (n)-\phi (n))/2,

missä φ ( n ) on Euler-funktio .

Sitten yhtälön juuret p ja q :

(xp)(xq)=x^{2}-(p+q)x+n=x^{2}-[(\sigma (n)-\phi (n))/2]x+[ (\sigma (n)+\phi (n))/2-1]=0

voidaan ilmaista arvoilla σ ( n ) ja φ ( n ) :

p=(\sigma (n)-\phi (n))/4-{\sqrt {[(\sigma (n)-\phi (n))/4]^{2}-[(\ sigma (n)+\phi (n))/2-1]}},

q=(\sigma (n)-\phi (n))/4+{\sqrt {[(\sigma (n)-\phi (n))/4]^{2}-[(\ sigma (n)+\phi (n))/2-1]}}.

Kun tiedämme n ja joko σ ( n ) tai φ ( n ) (tai tietäen p+q ja joko σ ( n ) tai φ ( n )), voimme helposti löytää p ja q .

Vuonna 1984 Roger Heath-Brown todisti sen

\sigma _{0}(n)=\sigma _{0}(n+1)

tapahtuu äärettömän monta kertaa.

Riviyhteys

Kaksi Dirichlet-sarjaa , joissa käytetään jakajatoimintoa:

\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac {\sigma _{{a}}(n)}{n^{s}}}=\zeta (s)\zeta (sa) ,

ja merkinnällä d ( n ) = σ 0 ( n ) saadaan

\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac {d(n)}{n^{s}}}=\zeta ^{2}(s),

ja toinen rivi

\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac {\sigma _{a}(n)\sigma _{b}(n)}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s)\zeta (sa)\zeta (sb)\zeta (sab)}{\zeta (2s-ab))).

Lambert -sarja jakajafunktiolla:

\sum _{{n=1}}^{\infty }q^{n}\sigma _{a}(n)=\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac {n ^{a}q^{n}}{1-q^{n}}}

mille tahansa kompleksille | q | ≤ 1 ja a .

Tämä summa näkyy myös Eisenstein - sarjan Fourier - sarjassa ja Weierstrassin elliptisten funktioiden invarianteissa .

Asymptoottinen kasvunopeus

Mitä tulee o-pieneen , jakajafunktio tyydyttää epätasa-arvon (katso apostolin kirjan sivu 296 [6] )

kaikille

\epsilon >0,\quad d(n)=o(n^{\epsilon }).

Severin Wiegert antoi tarkemman arvion

\limsup _{{n\to \infty }}{\frac {\log d(n)}{\log n/\log \log n}}=\log 2.

Toisaalta, koska alkulukujen määrä on ääretön ,

\liminf _{{n\to \infty }}d(n)=2.

Suuren O:n suhteen Dirichlet osoitti , että jakajafunktion keskimääräinen järjestys täyttää seuraavan epäyhtälön (katso apostolin kirjan lause 3.3)

kaikille

x\geq 1,\sum _{{n\leq x}}d(n)=x\log x+(2\gamma -1)x+O({\sqrt {x}}),

missä on Euler-Mascheronin vakio . $\gamma$

Tehtävä parantaa rajaa tässä kaavassa on Dirichlet-jakajan ongelma $O({\sqrt {x)))$

Sigma-funktion käyttäytyminen on epätasaista. Sigmafunktion asymptoottinen kasvunopeus voidaan ilmaista kaavalla:

\limsup _{{n\rightarrow \infty }}{\frac {\sigma (n)}{n\,\log \log n}}=e^{\gamma },

jossa lim sup on arvon yläraja . Tämä tulos on Grönwallin vuonna 1913 julkaistu lause [7] . Hänen todistuksensa käyttää Mertensin kolmatta lausetta , joka väittää sen

\lim _{{n\to \infty }}{\frac {1}{\log n}}\prod _{{p\leq n}}{\frac {p}{p-1}}=e^ {{\gamma }},

missä p on alkuluku.

Vuonna 1915 Ramanujan osoitti, että Riemannin hypoteesin mukaan epätasa-arvo

\ \sigma (n)<e^{\gamma }n\log \log n

(Robinin epätasa-arvo)

pätee kaikkiin riittävän suuriin n [8] . Vuonna 1984 Guy Robin osoitti, että epäyhtälö on totta kaikille n ≥ 5041, jos ja vain jos Riemannin hypoteesi on totta [9] . Tämä on Robinin lause ja epäyhtälö tuli laajalti tunnetuksi lauseen todistamisen jälkeen. Suurin tunnettu epäyhtälöä rikkova luku on n = 5040. Jos Riemannin hypoteesi on totta, ei ole tätä suurempia ja epäyhtälöä rikkovia lukuja. Robin osoitti, että jos hypoteesi on väärä, epäyhtälöä rikkovia lukuja n on äärettömän monta , ja tiedetään, että pienimmän sellaisista luvuista n ≥ 5041 täytyy olla superredundantti luku [10] . On osoitettu, että epäyhtälö pätee suurille parittomille neliövapaille luvuille ja että Riemannin hypoteesi vastaa epäyhtälöä kaikille lukuille n , jotka ovat jaollisia alkuluvun viidennellä potenssilla [11] .

Jeffrey Lagarias osoitti vuonna 2002, että Riemannin hypoteesi vastaa väitettä

\sigma (n)\leq H_{n}+\ln(H_{n})e^{{H_{n}}}

mille tahansa luonnolliselle n :lle , missä on n: s harmoninen luku [ 12] . $H n$

Robin osoitti, että epätasa-arvo

\ \sigma (n)<e^{\gamma }n\log \log n+{\frac {0.6483\ n}{\log \log n))

pätee arvolle n ≥ 3 ilman lisäehtoja.

Muistiinpanot

↑ Long, Calvin T. (1972), Elementary Introduction to Number Theory (2. painos), Lexington: DC Heath and Company, LCCN 77-171950, sivu 46
↑ OEIS - sekvenssi A000005 _
↑ Pettofrezzo, Anthony J.; Byrkit, Donald R. (1970), Elements of Number Theory, Englewood Cliffs: Prentice Hall, LCCN 77-81766, s. 58
↑ OEIS - sekvenssi A000203 _
↑ OEIS - sekvenssi A001065 _
↑ "Apostol Apostol, Tom M. (1976), Johdatus analyyttiseen lukuteoriaan, matematiikan perustutkintotekstit, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3 , MR 0434929, Zbl10031
↑ Grönwall, Thomas Hakon (1913), "Joitakin asymptoottisia lausekkeita lukuteoriassa", Transactions of the American Mathematical Society 14: 113-122, doi: 10.1090/S0002-9947-1913-1500940-6
↑ Ramanujan, Srinivasa (1997), "Highly Composite Numbers, annotated Jean-Louis Nicolas and Guy Robin", The Ramanujan Journal 1 (2): 119-153, doi: 10.1023/A:1009764017495, ISSN 4095, 8. 1606180
↑ Robin, Guy (1984), "Grandes valeurs de la fonction somme des diviseurs et hypothèse de Riemann", Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, Neuvième Série 63 (2): 187-213, ISSN 0021-7874
↑ Akbary, Amir; Friggstad, Zachary (2009), "Superabundant numbers and the Riemann hypothesis", American Mathematical Monthly 116 (3): 273-275, doi: 10.4169/193009709X470128
↑ YoungJu Choie, Nicolas Lichiardopol Pieter Moree Patrick Solé Robinin kriteeristä Riemannin hypoteesille 2007 Journal de théorie des nombres de Bordeaux, ISSN=1246-7405, v19, numero 2, sivut=357-372
↑ Lagarias, Jeffrey C. (2002), "Riemannin hypoteesia vastaava alkeisongelma", The American Mathematical Monthly 109 (6): 534-543, doi: 10.2307/2695443, ISSN 0002-9890, ISSN 0002-9890, J9002-9820, J9004983, J.

Linkit

Bach, Eric ; Shallit, Jeffrey , Algorithmic Number Theory , osa 1, 1996, MIT Press. ISBN 0-262-02405-5 , katso sivu 234 osiossa 8.8.
Weisstein, Eric W. Robin's Theorem (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
Huardin , Ou:n, Spearmanin ja Williamsin laatima tiettyjen jakajafunktioita sisältävien konvoluutiosummien perusarviointi PDF. Sisältää alkeellisen (eli ei perustu modulaaristen muotojen teoriaan) todisteen jakajien summan konvoluutiosta, kaavoja lukujen esittämiseksi eri tavoin kolmiolukujen summana .

Numerot jakautuvuusominaisuuksien mukaan
Yleistä tietoa	Kokonaislukujen faktorointi Jaettavuus yhtenäinen jakaja Jakajatoiminto alkuluku Aritmetiikan peruslause Aritmeettinen luku
Faktorisointilomakkeet	alkuluku Yhdistelmänumero Semiprime suorakaiteen muotoinen numero Sphenic numero Neliötön luku Täysi moninkertainen Täydellinen tutkinto Akilleuksen numero sileä numero Tavallinen numero karkea luku epätavallinen määrä
Rajoitettujen jakajien kanssa	täydellinen numero Hieman riittämättömät määrät Hieman tarpeettomia numeroita Monitoiminen luku Hemitäydelliset luvut hypertäydellinen luku super täydellinen numero yhtenäinen alkuluku puolitäydellinen luku pararytminen numero Erdős-Nicolas numero
Lukuja, joissa on monia jakajia	Ylimääräiset numerot Primitiiviset ylimääräiset numerot Erittäin tarpeettomia numeroita Super Redundant Numbers Todella tarpeettomia lukuja superkomposiittiluku Erittäin superkomposiittiluku outo numero
Liittyy alikvoottisekvensseihin _	pyhä numero ystävällisiä numeroita julkisia numeroita Melko ystävällisiä numeroita
Muut	Ei tarpeeksi numeroita kaverin numerot sublimoituja numeroita Malmi numerot nöyrä numero Samat numerot ekstravagantti numero