Lasker-Noether -lause

Lasker-Noether-lause sanoo, että jokainen Noether- renkaan ihanne voidaan kirjoittaa primääriideaalien äärelliseksi leikkauspisteeksi . Tällaista ihanteen esitystä kutsutaan primaariseksi hajotukseksi . Pääideaalialueen tapauksessa tämä vastaa esitystä alkuihanteiden potenssien äärellisenä leikkauspisteenä (tai tulona ) , eli se yleistää aritmeettisen peruslauseen . Vuonna 1905 Emanuel Lasker osoitti lauseen polynomirenkaiden tai konvergenttien potenssisarjojen erikoistapauksessa ; lauseen yleisen tapauksen todisti Emmy Noether vuonna 1921.

Lause voidaan yleistää moduuleiksi, jolloin siinä todetaan, että mikä tahansa äärellisesti generoidun moduulin Noether-renkaan alimoduuli voidaan esittää ensisijaisten alimoduulien äärellisenä leikkauspisteenä . Tämä lausunto on yleistys primaaritekijöihin hajoamisesta rakennelauseesta äärellisesti generoiduille moduuleille pääideaalien alueille .

Noetherin opiskelija Greta Hermann julkaisi ensimmäisen algoritmin primäärihajotelman löytämiseksi polynomirenkaasta .

Määritelmät

Olkoon R kommutatiivinen rengas , M ja N  sen päällä olevia  moduuleja .

• Moduulin M nollajakaja on renkaan R  alkio x siten, että xm = 0 jollekin nollasta poikkeavalle m : lle M :stä .
• Renkaan R alkiota x kutsutaan nilpotenttiksi funktiossa M , jos x n M = 0 jollekin luonnolliselle n :lle .
• Moduulia kutsutaan toissijaiseksi , jos jokainen sen nollajakaja on nilpotentti . Esimerkki: Abelin ryhmät, joiden järjestys on yhtä suuri kuin alkuluvun potenssi, ja vapaat Abelin ryhmät.
• Moduulin N alimoduulia M kutsutaan ensisijaiseksi , jos N/M on toissijainen.
• Ideaali I on ensisijainen, jos se on R : n ensisijainen alimoduuli R - moduulina, eli kun jokainen R /I :n nollajakaja on nilpotentti .
• Moduulin N alimoduulia M kutsutaan redusoitumattomaksi, jos se ei ole kahden sen kanssa yhteensopimattoman alimoduulin leikkauspiste.
• Moduuliin M  liittyvä pääideaali on pääideaali, joka on moduulin jonkin elementin tuhoaja.

Sanamuoto

Lasker - Noether-lause moduuleille sanoo, että jokainen äärellisesti generoidun moduulin Noetherian-renkaan alimoduuli on ensisijaisten alimoduulien äärellinen leikkauspiste. Renkaiden tapauksessa tämä lause sanoo, että jokainen Noetherin renkaan ihanne on primääriideoiden äärellinen leikkauspiste.

Vastaava formulaatio: jokainen äärellisesti generoitu moduuli Noetherian renkaan yli on toissijaisten moduulien äärellisen tuotteen alimoduuli.

Lasker-Noether-lause seuraa välittömästi seuraavista kolmesta tosiasiasta:

• Jokainen äärellisesti generoidun moduulin alimoduuli Noether-renkaan yli on rajallisen määrän redusoitumattomien alimoduulien leikkauspiste.
• Jos M  on äärellisesti generoidun moduulin N redusoitumaton alimoduuli Noether-renkaan yli, niin korkeintaan yksi alkuideaali liittyy N/M :ään.
• Noetherian renkaan yli äärellisesti generoitu moduuli on toissijainen silloin ja vain, jos siihen liittyy korkeintaan yksi alkuideaali.

Minimaalinen hajoaminen ja ainutlaatuisuus

Tässä osiossa sana "moduuli" tarkoittaa "äärellisesti generoitua moduulia Noetherian renkaan R yli ".

Moduulin N alimoduulin M ensisijaisen hajotuksen sanotaan olevan minimaalinen, jos se sisältää mahdollisimman pienen määrän ensisijaisia ​​alimoduuleita. Kaikille minimaalisille hajotuksille ensisijaisten komponenttien siihen liittyvät alkuideaalit määritellään yksiselitteisesti – nämä ovat moduulin N/M niihin liittyvät alkuideaalit . Lisäksi ensisijaiset komponentit, jotka vastaavat minimaalisia assosioituneita alkuideaaleja (eli ne, jotka eivät sisällä muita assosioituneita alkulukuja), on myös määritelty yksiselitteisesti.

Esimerkki: olkoon N = R = k [ x , y ] jollekin kentälle k ja M  ideaali ( xy , y 2 ). Silloin M :llä on kaksi erillistä minimaalista ensisijaista hajotusta: M = ( y ) ∩ ( x , y 2 ) = ( y ) ∩ ( x + y , y 2 ). Minimiassosioitu alkuideaali on ( y ), toinen assosioitunut alkuideaali ( x , y ) ei ole minimi.

Kirjallisuus

• Atiyah M, McDonald I. Johdatus kommutatiiviseen algebraan . - M: Mir, 1972
• Zarissky O., Samuel R. Kommutatiivinen algebra, - M .: IL, 1963.
• Leng S. Algebra, - M .: Mir, 1968.
• Lasker, E. (1905), Zur Theorie der Moduln und Ideale , Math. Ann. T. 60: 19–116 , DOI 10.1007/BF01447495 
• Noether, Emmy (1921), Idealtheorie in Ringbereichen , Mathematische Annalen T. 83(1):24, doi : 10.1007 / BF01464225 , < http://www.springerlink.com/content/m3457w8h624fulltext447pdf > )  
• Markov, VT (2001), Primary decomposition , julkaisussa Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer , ISBN 978-1-55608-010-4