CA-ryhmä

Ryhmän sanotaan olevan CA -ryhmä , CA-ryhmä tai keskittäjä -Abeli-ryhmä, jos minkä tahansa ei-identtisen elementin keskittäjä on Abelin aliryhmä . Äärilliset CA-ryhmät ovat historiallisesti tärkeitä varhaisena esimerkkinä myöhemmin Thompson–Fate-lauseessa käytetyistä luokittelutyypeistä ja yksinkertaisten äärellisten ryhmien luokittelusta . Jotkut tärkeät äärettömät ryhmät ovat CA-ryhmiä, kuten vapaat ryhmät , Tarskin hirviöt ja jotkut Burnside-ryhmät , ja paikallisesti rajalliset CA-ryhmät on luokiteltu tarkasti. CA-ryhmiä kutsutaan myös kommutatiivis-transitiivisiksi ryhmiksi (tai lyhennettynä CT-ryhmiksi ), koska kommutatiivisuus on transitiivinen relaatio ryhmän ei-identtisille elementeille, jos ja vain jos ryhmä on CA-ryhmä.

Historia

Jotkut matemaatikot luokittelivat paikallisesti äärelliset CA-ryhmät vuosina 1925-1998. Ensimmäiset äärelliset CA-ryhmät, jotka osoitettiin yksinkertaisiksi tai ratkaistaviksi , ilmestyivät Weissnerin artikkeliin [1] . Sitten Brouwer-Suzuki-Wall-lauseessa [2] osoitettiin, että parillisen järjestyksen äärelliset CA-ryhmät ovat Frobenius-ryhmiä , Abelin ryhmiä tai kaksiulotteisia projektiivisia erikoislineaariryhmiä äärellisen kentän yli . pariton, PSL(2, 2 f ) for . Lopuksi Suzukin artikkelissa [3] osoitettiin , että parittoman järjestyksen äärelliset CA-ryhmät ovat Frobenius-ryhmiä tai Abelin ryhmiä, eivätkä siksi ole ei-Abelin yksinkertaisia ​​ryhmiä.

CA-ryhmät ovat olleet tärkeitä yksinkertaisten äärellisten ryhmien luokittelussa . Michio Suzuki osoitti, että kaikilla äärellisillä yksinkertaisilla ei-kyvykkäillä CA-ryhmillä on tasainen järjestys . Tämä tulos laajennettiin ensin Feit-Hall-Thompson-lauseeseen, joka osoitti, että äärellisillä yksinkertaisilla ei-Abelin CN-ryhmillä on parillinen järjestys, ja sitten Thompson-Fate -lauseeseen , joka väittää, että mikä tahansa äärellinen yksinkertainen ei -Abelin CN-ryhmä ryhmällä on tasainen järjestys. Kuvaus äärellisten CA-ryhmien luokittelusta on annettu esimerkeinä 1 ja 2 Suzukin kirjassa [4] . Tarkempi kuvaus Frobenius-ryhmistä on Wun artikkelissa [5] , jossa osoitetaan, että äärellinen liukoinen CA-ryhmä on Abelin ryhmän ja automorfismin puolisuora tulo ilman kiinteää pistettä, ja päinvastoin mikä tahansa tällainen puolisuora tuote. on äärellinen liukoinen CA-ryhmä. Wu laajensi myös Suzukin ja muiden luokittelua paikallisesti äärellisiin ryhmiin .

Esimerkkejä

Mikä tahansa Abelin ryhmä on CA-ryhmä, ja ryhmä, jolla on ei-triviaali keskus, on CA-ryhmä, jos ja vain jos se on Abelin. Äärilliset CA-ryhmät luokitellaan - ratkaistavissa olevat ryhmät ovat Abelin ryhmien puolisuoria tuloja syklisillä ryhmillä siten, että mikä tahansa ei-triviaali elementti toimii ilman kiinteää pistettä, ja se sisältää ryhmät, kuten dihedraaliset ryhmät luokkaa 4 k + 2, ja vuorotteleva ryhmä 4 järjestyspistettä 12 , kun taas ratkaisemattomat ryhmät ovat kaikki yksinkertaisia ​​ja 2-ulotteisia projektiivisia erityisiä lineaarisia ryhmiä PSL(2, 2 n ) for . Äärettömät CA-ryhmät sisältävät suuren alkueksponentin vapaat ryhmät , PSL(2, R ) ja Burnside -ryhmät [6] . Joitakin uudempia tuloksia äärettömässä tapauksessa on Wun julkaisussa [5] , mukaan lukien paikallisesti äärellisten CA-ryhmien luokittelu . Wu huomautti myös, että Tarskin hirviöt ovat ilmeisiä esimerkkejä äärettömistä yksinkertaisista CA-ryhmistä.

Muistiinpanot

  1. ↑ Weisner, 1925 .
  2. ↑ Brauer, Suzuki, Wall, 1958 .
  3. ↑ Suzuki, 1957 .
  4. ↑ Suzuki, 1986 , s. 291-305.
  5. ↑ 12 Wu , 1998 .
  6. ↑ Lyndon, Schupp, 2001 , s. kymmenen.

Kirjallisuus